雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下交換期權(quán)定價(jià)模型

陳智香，薛　紅

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下交換期權(quán)定價(jià)模型

陳智香，薛紅

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

摘要：在標(biāo)的資產(chǎn)服從雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程，利率、波動率均為常數(shù)的情況下，借助雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動隨機(jī)分析理論，建立雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下金融市場數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用保險(xiǎn)精算的方法，得到了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下交換期權(quán)的定價(jià)公式.

關(guān)鍵詞：雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動；交換期權(quán)；保險(xiǎn)精算

近幾年，隨著金融市場的快速發(fā)展，作為金融數(shù)學(xué)重要分支之一的期權(quán)定價(jià)理論也得到了飛速發(fā)展.新型期權(quán)不斷出現(xiàn)，交換期權(quán)就是一類新型奇異期權(quán)，它在進(jìn)出口國際貿(mào)易、進(jìn)出口結(jié)算等金融領(lǐng)域有著極為重要的作用. 1978年Margrabe[1]首次給出了在擴(kuò)散模型中交換期權(quán)的閉式解. 在股票價(jià)格遵循分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動所驅(qū)動的隨機(jī)微分方程的假設(shè)下，文獻(xiàn)[1-2]采用保險(xiǎn)精算的方法，給出了相應(yīng)的交換期權(quán)的定價(jià)公式. 但在這兩篇文章中均未考慮分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的相關(guān)性，這與實(shí)際不太相符. 在考慮布朗運(yùn)動相關(guān)性的前提下，文獻(xiàn)[3]應(yīng)用保險(xiǎn)精算的方法得到了交換期權(quán)的定價(jià)公式；文獻(xiàn)[4]應(yīng)用鞅方法得到了交換期權(quán)的定價(jià)公式；文獻(xiàn)[5]在考慮分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動相關(guān)性的前提下，應(yīng)用保險(xiǎn)精算的方法得到了交換期權(quán)的定價(jià)公式. 傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)方法(Black-Scholes模型、二叉樹模型、鞅方法)都是假設(shè)金融市場是無套利、均衡、完備的，如果市場是有套利或不完備時用傳統(tǒng)的方法求解就有一定困難，此時可以將問題轉(zhuǎn)化為公平保費(fèi)問題即保險(xiǎn)精算方法. 1998年Mogens Bladt，TinaHviid Rvdberg[6]首次提出期權(quán)定價(jià)的保險(xiǎn)精算方法. 關(guān)于保險(xiǎn)精算方法的應(yīng)用可參考文獻(xiàn)[6-8]. 文獻(xiàn)[9]首次提出了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動，指出雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動是比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動更一般的中心高斯過程. 因此本文在假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動，并且假設(shè)雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動具有一定的相關(guān)系數(shù)的條件下，利用保險(xiǎn)精算的方法，給出了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下交換期權(quán)的定價(jià)公式.

1雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下金融市場模型

定義1[9]稱高斯過程{BH,K(t),t≥0}為雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動，如果均值函數(shù)E(BH,K(t))=BH,K(0)=0,協(xié)方差函數(shù)

當(dāng)K=1時，雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動即為參數(shù)為H∈(0,1)的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動；特別地，當(dāng)K=1,H=1/2時，雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動即為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動. 關(guān)于雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的相關(guān)性質(zhì)和隨機(jī)分析基本理論見文獻(xiàn)[9].

假設(shè)市場上僅有兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)S1,S2，在T時刻價(jià)格為S1(T)，S2(T),0表示初始時刻，T表示到期日，{Si(t),t≥0,i=1,2}是定義在給定的完備化濾子概率空間(Ω,F,F(t)t≥0,P)上的隨機(jī)過程，{Ft,t≥0}是由Si(t)產(chǎn)生的自然濾子，且S1(t),S2(t)遵循如下過程

(1)

(2)

引理1[10]隨機(jī)微分方程(1)、(2)的解分別為

定義2[11]價(jià)格過程{Si(t),t≥0}在[0,t]上的期望回報(bào)率βi(u)，i=1,2,u∈[0,t]定義為

引理2 股票價(jià)格{Si(t),t≥0}在[0,t]上的期望回報(bào)率βi(u),u∈[0,t]為

βi(u)=μi,ui∈[0,t],i=1,2.

證明 由引理2.2可知

從而可得結(jié)果.

2雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下交換期權(quán)的定價(jià)

定義3[2]歐式期權(quán)的保險(xiǎn)精算價(jià)值為當(dāng)期權(quán)被執(zhí)行時，股票到期日的折現(xiàn)與執(zhí)行價(jià)的現(xiàn)值的差在股票價(jià)格實(shí)際分布概率測度下的期望值. 資產(chǎn)的折現(xiàn)價(jià)的計(jì)算方法為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(確定)按無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(隨機(jī)的)按期望收益率折現(xiàn). 則到期日為的交換期權(quán)在0時刻的保險(xiǎn)精算定價(jià)為

定理1 假設(shè)股票價(jià)格過程Si(t)，i=1,2遵循方程(1)、(2)，則：

C(S1(0),S2(0),0)=S1(0)N(d1)-S2(0)N(d2) ，

(3)

證明 由于股票價(jià)格過程S1(t),S2(t)遵循方程(1)、(2)，所以

所以

即

3.3 入庫：徹底清潔后將機(jī)子開進(jìn)機(jī)庫，無機(jī)庫的要加蓋防雨淋，日曬的簡易棚，用塑料袋將柴油、機(jī)油的加油口、空濾器、排氣管口包扎，以防塵土進(jìn)入。

等價(jià)于

(4)

則式(4)即為

d′=

則交換期權(quán)的價(jià)格為

C(S1(0),S2(0),0)=E{exp{-

=E[(exp{-μ1T}S1(T)-exp

{-μ2T}S2(T))]Iexp{-μ1T}S1(T)>exp{-μ2T}S2(T)]

=E1-E2

其中

則

同理可得E2=S2(0)N(d1)，所以C(S1(0),S2(0),0)=S1(0)N(d1)-S2(0)N(d2).

注1 當(dāng)K=1時，可得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下的交換期權(quán)定價(jià)公式 (見文獻(xiàn)[5]).特別地，當(dāng)H=1/2時，可得標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動環(huán)境下的交換期權(quán)定價(jià)公式(見文獻(xiàn)[3]).

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Exchange option pricing model in bi-fractional brownian motion environment

CHEN Zhi-xiang, XUE Hong

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048,China)

Abstract：Underlying asset process follows the stochastic differential equation driven by bi-fractional Brownian motion. The interest rate and volatility rate are constant, and the financial market mathematical model was set up by the stochastic analysis for bi-fractional Brownian motion. Using the actuarial approach, the pricing formula of exchange option in bi-fractional Brownian motion environment was obtained.

Key words：bi-fractional Brownian motion; exchange option; actuarial approach

收稿日期：2015-11-04.

基金項(xiàng)目:陜西省教育廳專項(xiàng)科研基金(14JK1299)

作者簡介：陳智香(1990-)，女，碩士，研究方向：隨機(jī)分析與金融.

通訊作者：薛紅(1964-)，男，博士，教授，研究方向：隨機(jī)分析及金融工程等.

中圖分類號：O211

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1672-0946(2016)03-0378-03