隨機利率下具有紅利支付的可轉(zhuǎn)換債券定價

薛　紅，金宇寰

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安710048)

隨機利率下具有紅利支付的可轉(zhuǎn)換債券定價

薛紅，金宇寰

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安710048)

摘要：假定股票價格遵循雙分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程，利率滿足Vasicek模型，建立雙分數(shù)布朗運動環(huán)境下金融市場數(shù)學(xué)模型，利用雙分數(shù)布朗運動的隨機分析理論和保險精算方法，得到具有紅利支付的可轉(zhuǎn)換債券定價公式.

關(guān)鍵詞：雙分數(shù)布朗運動；可轉(zhuǎn)換債券；保險精算；隨機利率

可轉(zhuǎn)換債券是指發(fā)行人依照法定程序發(fā)行、在一定時間內(nèi)依據(jù)約定條件可以轉(zhuǎn)換成股份的公司債券.可轉(zhuǎn)債是普通公司債券和認股權(quán)證的組合，兼具債權(quán)和股權(quán)的雙重屬性.文獻[1]假定股票遵循分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程，利率滿足Hull-White模型，利用分數(shù)布朗運動隨機分析理論與方法，得到可轉(zhuǎn)換債券的定價公式；文獻[2]在分數(shù)布朗運動環(huán)境下，隨機利率滿足Vasicek模型，得到隨機利率下具有紅利支付的可轉(zhuǎn)換債券的定價公式.雙分數(shù)布朗運動是一種比分數(shù)布朗運動更為廣泛的高斯過程，可以更好的用來刻畫金融資產(chǎn)的隨機波動性，關(guān)于雙分數(shù)布朗運動的概念和性質(zhì)可參見文獻[3-4].本文假定股票價格遵循雙分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程，利率滿足Vasicek模型，建立了雙分數(shù)布朗運動環(huán)境下金融市場數(shù)學(xué)模型，利用保險精算方法，得到了具有紅利支付的可轉(zhuǎn)換債券定價公式.

1雙分數(shù)布朗運動環(huán)境下金融市場模型

|t-s|2HK,s,t≥0,

其中：H∈(0,1),K∈(0,2)

當K=1時，雙分數(shù)布朗運動就退化為分數(shù)布朗運動，當K=1,H=1/2時，雙分數(shù)布朗運動就退化為標準布朗運動.

假定股票價格S(t)和利率r(t)分別滿足如下隨機微分方程

(1)

(2)

引理1 隨機微分方程的解為

引理2隨機微分方程(2)的解為

則

從而可證結(jié)果.

引理3[1]假定a,b,c,d,k為實數(shù)，且

ζ1～N(0,1),ζ2～N(0,1),cov(ζ1,ζ2)=ρ,

則

其中Φ(x)為標準正態(tài)分布函數(shù).

定義6[5]股票價格{S(t),t≥0}在[0,t]上的期望回報率β(u),u∈[0,t]定義為

引理5股票價格{S(t),t≥0}在[0,t]上的期望回報率

β(u)=μ(u)-q(u),u∈[t,T]

證明由引理1可知

又因為

所以

從而可得結(jié)果.

2具有紅利支付的可轉(zhuǎn)換債券定價

定義2 [1] 假設(shè)可轉(zhuǎn)換債券只在債券到期時刻T發(fā)生轉(zhuǎn)換，則可轉(zhuǎn)換債券到期時的現(xiàn)金流量VT可以表示為

其中:VT表示可轉(zhuǎn)換債券到期時刻T的價值，Pb表示純債券價值，C表示轉(zhuǎn)換價格，M表示債券面值，S(T)表示T時刻股票價格.

定義3 具有紅利支付的可轉(zhuǎn)換債券在0時刻的保險精算價值定義為

其中無風(fēng)險資產(chǎn)按利率r折現(xiàn)，風(fēng)險資產(chǎn)按其期望收益率β折現(xiàn).

定理1具有紅利支付的可轉(zhuǎn)換債券在0時刻的保險精算價格

其中：Φ(x)為標準正態(tài)分布函數(shù)，且

證明令

由引理5可得

令

則A={ζ<-d},B={ζ≥-d} 又因為

則

其中 ζ1～N(0,1),ζ2～N(0,1),且cov(ζ1,ζ2)=ε 所以

且

).

注 當K=1時，可得分數(shù)布朗運動環(huán)境下具有隨機利率和支付紅利的可轉(zhuǎn)換債券保險精算價格(見文獻[2])

其中：Φ(x)為標準正態(tài)分布函數(shù)，且

D1=σ2δ2T2H,D2=δ2(1-δ2)T2H

MH的定義見文獻[6].

特別地，當K=1,δ=0,q=0時，可得文獻[1]的結(jié)果.

參考文獻：

[1]薛紅, 李軍, 吳曉蕊. 隨機利率下可轉(zhuǎn)換債券定價[J]. 西安工程大學(xué)學(xué)報, 2011, 25(1): 119-121.

[2]LI C, XUE H. An actuarial approach to convertible bond pricing in fractional brownian motion environment[C]// Shanghai: the 3rd International Conference on E-Business and E-Government, 2012. 2404-2407.

[3]ES-SEBAIY K, TUDOR C. Multidimensional bifractional brownian motion: Ito and Tanaka formulas [J]. Stochastics and Dynamics, 2007, 7(3): 365-388.

[4]RUSSO F, TUDOR C. On the bifractional Brownian motion [J]. Stochastic Processes and their Applications, 2006, 116(5): 830-856.

[5]BLADT M T, RYDBERG H. An actuarial approach to option pricing under the physical measure and without market assumption [J]. Insurance: Mathematical And Economics, 1998, 22(1): 65- 73.

[6]BIAGINI F, HU Y, OKSENDAL B,etal. Stochastic calculus for fractional Brownian motion and applications [M]. New York: Springer, 2008.

Pricing convertible bond with dividend paying under stochastic interest rate

XUE Hong, JIN Yu-huan

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

Abstract：Assumed that asset price follows stochastic differential equation driven by the bifractional Brownian motion, and interest rate satisfies Vasicek interest rate model driven by the bifractional Brownian motion, the mathematical model for financial market was built. Using the stochastic analysis theory for bifractional Brownian motion and the method for actuarial mathematics, the pricing formula for convertible bond with dividend paying was obtained.

Key words：bifractional Brownian motion; convertible bond; actuary method; stochastic interest rate.

收稿日期：2015-07-02.

基金項目：陜西省自然科學(xué)基金項目(2016JM1031)

作者簡介：薛紅(1964-)，男，博士，教授，研究方向：隨機分析與金融工程、保險精算.

中圖分類號：O211

文獻標識碼：A

文章編號：1672-0946(2016)03-0369-03