探討美國(guó)職前教師小數(shù)迷思概念

曹雅玲

【摘要】作者根據(jù)在美國(guó)培育職前教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，來(lái)探討及分享美國(guó)職前教師在小數(shù)學(xué)習(xí)的迷思概念，并且提出有效的教學(xué)方法.

【關(guān)鍵詞】美國(guó)職前教師；小數(shù)學(xué)習(xí)；小數(shù)迷思概念

[小數(shù)]這個(gè)主題在小學(xué)數(shù)學(xué)教育上是一個(gè)重要的教學(xué)重點(diǎn)，從過(guò)去的研究結(jié)果及文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)不只是學(xué)童學(xué)習(xí)小數(shù)有許多的迷思概念產(chǎn)生，即使是職前教師也無(wú)可避免.小數(shù)的意義是由分?jǐn)?shù)與整數(shù)概念之延伸與統(tǒng)整所建立起來(lái)的（Behr&Post，1988），小數(shù)也可用于為以10為基底的位值系統(tǒng)從兩個(gè)方向無(wú)限延伸到很小和很大的值（van de Walle，1998）.以此觀點(diǎn)看來(lái)，小數(shù)的意義是來(lái)自分?jǐn)?shù)；小數(shù)的結(jié)構(gòu)是來(lái)自整數(shù)的位值概念，也可說(shuō)小數(shù)的位值系統(tǒng)是依據(jù)整數(shù)的位值系統(tǒng)而來(lái)的.但當(dāng)職前教師無(wú)法清楚掌握小數(shù)概念與問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)利用這些錯(cuò)誤概念來(lái)解釋，例如將其所知的整數(shù)或分?jǐn)?shù)知識(shí)過(guò)度類(lèi)推而產(chǎn)生教學(xué)的錯(cuò)誤.

根據(jù)作者教學(xué)經(jīng)驗(yàn)及文獻(xiàn)研究的發(fā)現(xiàn)，美國(guó)職前教師所產(chǎn)生對(duì)小數(shù)迷思概念可由以下幾方面來(lái)加以討論：小數(shù)的錯(cuò)誤概念與迷思、先備知識(shí)不足和小數(shù)計(jì)算的迷思的幾方面來(lái)加以討論.

美國(guó)職前教師在小數(shù)概念上常出現(xiàn)的錯(cuò)誤概念與迷思與先備知識(shí)不足

1.小數(shù)與整數(shù)的不同處

小數(shù)與整數(shù)的位值都是由左向右遞減，每一個(gè)位值都是其右邊的十倍；小數(shù)部分離小數(shù)點(diǎn)越遠(yuǎn)，其位值越小，而整數(shù)部分則是離小數(shù)點(diǎn)越遠(yuǎn)，其位值越大.如果職前教師理解不夠，就極易產(chǎn)生整數(shù)法則的迷思概念（Resnick，et al.，1989），誤認(rèn)為小數(shù)點(diǎn)后數(shù)字越多其值越大（如4.21會(huì)比4.8大）、或?qū)⑿?shù)點(diǎn)后的數(shù)位讀成整數(shù).如在比較小數(shù)的大小時(shí)，有的認(rèn)為小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字越多其值越大，也有的認(rèn)為其值越小，如0.7會(huì)小于0.48等錯(cuò)誤想法.如在教學(xué)中且借由認(rèn)識(shí)小數(shù)與整數(shù)之間的異同，加強(qiáng)小數(shù)與整數(shù)結(jié)構(gòu)上的學(xué)習(xí)，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)該著重在概念性的發(fā)展與小數(shù)符號(hào)的意義.

2.小數(shù)與分?jǐn)?shù)的不同處

小數(shù)可被視為不帶分母的十進(jìn)制分?jǐn)?shù)，雖然小數(shù)和分?jǐn)?shù)都可以用來(lái)代表不滿一個(gè)單位量的量，但在其符號(hào)表征上，卻有著極大的不同：分?jǐn)?shù)的分母代表著一個(gè)單位量被切割的份數(shù)，而分子則代表得到的份數(shù)，但小數(shù)的數(shù)字卻只代表得到的份數(shù)，而其切割的份數(shù)則被隱藏在位值內(nèi)；分?jǐn)?shù)的分割量是隨著分母的不同而得到不同的分?jǐn)?shù)，但小數(shù)的分割則被限制在10的冪次方中，如果職前教師理解不夠，就極易產(chǎn)生分?jǐn)?shù)法則的迷思概念（Resnick，et al.，1989），誤以為小數(shù)點(diǎn)后數(shù)字越多其值越?。ㄈ?.45會(huì)比3.2小）、或分?jǐn)?shù)與小數(shù)關(guān)系是由表面形式互換而成（如5.3和3/5相等）.在分?jǐn)?shù)與小數(shù)的轉(zhuǎn)換時(shí)，會(huì)將分母當(dāng)整數(shù)、分子當(dāng)小數(shù)或分子當(dāng)整數(shù)、分母當(dāng)小數(shù)，如5/8會(huì)當(dāng)成5.8或8.5；小數(shù)與分?jǐn)?shù)的不同處以及小數(shù)與整數(shù)的不同處，如果職前教師對(duì)小數(shù)的理解不夠，就極易產(chǎn)生迷思概念（Tsao，2005）.學(xué)生整數(shù)與分?jǐn)?shù)的先備知識(shí)一方面會(huì)幫助學(xué)習(xí)小數(shù)；而另一方面如先備知識(shí)不足時(shí)也會(huì)干擾學(xué)生建構(gòu)正確的小數(shù)概念.由此可見(jiàn)，小數(shù)的知識(shí)是從分?jǐn)?shù)和整數(shù)而來(lái)，而其迷思亦由分?jǐn)?shù)與小數(shù)而來(lái)；所以在教學(xué)時(shí)，應(yīng)對(duì)分?jǐn)?shù)與整數(shù)的概念進(jìn)行澄清.在含有整數(shù)的小數(shù)中亦可用此種方式進(jìn)行位元值的教學(xué)，如：8.437=8+4/10+3/100+7/1000.這種由分?jǐn)?shù)到小數(shù)的轉(zhuǎn)換可以幫助進(jìn)行位值的教學(xué)；此方式不僅可以澄清其位值概念亦可對(duì)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)換有更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，因此可藉由這三者（分?jǐn)?shù)、小數(shù)、整數(shù)）的連結(jié)加深其概念的理解，以避免美國(guó)職前教師將分?jǐn)?shù)和整數(shù)概念誤用.

3.缺乏小數(shù)稠密性的概念

也有不少美國(guó)職前教師缺乏小數(shù)稠密性的概念，也就是不知數(shù)與數(shù)之間可以無(wú)限制的被分割等.從分?jǐn)?shù)的角度切入，不難了解有限小數(shù)是由[十等分]分割產(chǎn)生的.百分之一的份量可從十分之一的份量再分割十等分產(chǎn)生的，而千分之一的份量可從百分之一的份量再分割十等分產(chǎn)生的……，因此，十等分的活動(dòng)可任意無(wú)限制繼續(xù)下去.而此無(wú)限制被分割的觀念正可用來(lái)說(shuō)明小數(shù)稠密性的性質(zhì)，亦即，任意兩個(gè)小數(shù)之間有無(wú)限多個(gè)小數(shù)存在.教師可利用數(shù)線的無(wú)限制分割，加強(qiáng)小數(shù)稠密性的概念，因?yàn)?.1是由1切割成十等份而來(lái)、0.01是由0.1割成十等份而來(lái)的、0.001是由0.01割成十等份而來(lái)的……，有助于理解小數(shù)稠密性的概念并且有助于小數(shù)知識(shí)的建構(gòu).在教學(xué)進(jìn)行時(shí)，透過(guò)等分割的概念，去解釋小數(shù)的十等分與整數(shù)的十倍不同的地方，以解釋小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)值為什么不能精讀的原因.

4.小數(shù)與數(shù)線對(duì)應(yīng)的困難

美國(guó)職前教師在數(shù)在線讀小數(shù)或標(biāo)小數(shù)時(shí)，常見(jiàn)會(huì)弄錯(cuò)兩格之間的單位，如0.01與0.02分成十格時(shí)，不知兩小格間代表的是0.001；且在小數(shù)與數(shù)線對(duì)應(yīng)的理解的確有其困難.錯(cuò)誤的主要原因是無(wú)法判斷每一小間隔所代表的大小，習(xí)慣以1、0.1或0.01當(dāng)作每一小間隔的大小，再點(diǎn)數(shù)間隔來(lái)做答.此反映出美國(guó)職前教師在小數(shù)與數(shù)線對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，未能引用分?jǐn)?shù)思考.在小數(shù)教學(xué)時(shí)，是需先透過(guò)分?jǐn)?shù)的意義來(lái)幫助學(xué)生了解小數(shù)的意義，除了強(qiáng)調(diào)小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系（1被十等分割后每一等份是0.1和0.1=1[]10；1被百等分割后每一等份是0.01和0.01=1[]100）需作加強(qiáng)外，也要進(jìn)一步透過(guò)整數(shù)的十進(jìn)制記數(shù)系統(tǒng)，讓學(xué)生了解1、0.1以及0.01彼此的關(guān)系，也就是說(shuō)10個(gè)0.1等于1和10個(gè)0.01等于0.1.教師透過(guò)多元化的情境教學(xué)，使用不同教具來(lái)表征小數(shù)符號(hào)表示單位被等分割后的結(jié)果和了解1、0.1以及0.01彼此的關(guān)系.教學(xué)中也應(yīng)強(qiáng)調(diào)數(shù)在線所給定相關(guān)的參考點(diǎn)數(shù)值，才能得知數(shù)線中的起始點(diǎn)與透過(guò)兩個(gè)參考點(diǎn)間等分割的情況以判斷每一間隔的大小，進(jìn)而能正確標(biāo)示出數(shù)在線各點(diǎn)的小數(shù)數(shù)值.

5.度量衡單復(fù)名數(shù)的轉(zhuǎn)換問(wèn)題

美國(guó)職前教師在度量衡單復(fù)名數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)，易未考慮到大單位與小單位間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，常以小數(shù)點(diǎn)來(lái)當(dāng)作大單位與小單位的分界，易放錯(cuò)小數(shù)點(diǎn)，如1公尺20公分轉(zhuǎn)換到1.2公尺時(shí)，不能順利的進(jìn)行轉(zhuǎn)換；將小數(shù)點(diǎn)做為大單位與小單位的區(qū)隔，如下列錯(cuò)誤的發(fā)生；8.9公斤是8公斤9公克、

5公尺9公分是5.9公尺，在進(jìn)行度量衡單復(fù)名數(shù)轉(zhuǎn)換教學(xué)時(shí)，復(fù)習(xí)度量衡單復(fù)名數(shù)之間的關(guān)系，以減少此類(lèi)的錯(cuò)誤出現(xiàn)，

美國(guó)職前教師在小數(shù)計(jì)算上的迷思

1.小數(shù)乘法

由于小數(shù)加減法是對(duì)齊小數(shù)點(diǎn)后計(jì)算，而小數(shù)乘法是向右對(duì)齊后來(lái)計(jì)算，兩者間的差異容易讓學(xué)生感到困惑，因而混用.美國(guó)職前教師常見(jiàn)小數(shù)乘法迷思有：（1）職前教師最易放錯(cuò)積的小數(shù)點(diǎn)，尤以被乘數(shù)與乘數(shù)的積都是相同小數(shù)字的題目最明顯；常見(jiàn)的錯(cuò)誤例子如：0.2×0.4=0.8、1.27×2.35=298.45；（2）職前教師計(jì)算前先將被乘數(shù)與乘數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，計(jì)算后再將小數(shù)點(diǎn)放下；（3）有[乘變大]的錯(cuò)誤迷思.由于小數(shù)加減法是對(duì)齊小數(shù)點(diǎn)后計(jì)算，而小數(shù)乘法是向右對(duì)齊后來(lái)計(jì)算，兩者間的差異容易讓學(xué)生感到困惑，因而混用.針對(duì)這類(lèi)錯(cuò)誤迷思問(wèn)題，建議教師利用先將小數(shù)換成數(shù)、利用分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)倍概念進(jìn)行解題后，再將分?jǐn)?shù)換成小數(shù)，再借此引導(dǎo)學(xué)生小數(shù)相乘會(huì)變小的概念.如：0.2=2/10；0.4=4/10；0.2×0.4=2/10×4/10=8/100=0.08

在小數(shù)乘法計(jì)算的教學(xué)方面，建議教師在透過(guò)分?jǐn)?shù)乘法協(xié)助學(xué)生理解積數(shù)小數(shù)點(diǎn)的處理原則時(shí)，應(yīng)先復(fù)習(xí)分母為10的冪次的分?jǐn)?shù)與小數(shù)互換，并協(xié)助學(xué)生從中找出分母與小數(shù)數(shù)中小數(shù)點(diǎn)位置的關(guān)系.

2.小數(shù)除法

美國(guó)職前教師小數(shù)除法常見(jiàn)迷思有：（1）職前教師易放錯(cuò)商與余數(shù)的小數(shù)點(diǎn)；（2）在有余數(shù)的除法中，常忽略余數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，或是將余數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊移位后的被除數(shù)小數(shù)點(diǎn)等錯(cuò)誤的想法；（3）職前教師很難接受對(duì)于除數(shù)小于1，商比被除數(shù)大等事實(shí).在小數(shù)除法計(jì)算的教學(xué)方面，建議教師可先讓學(xué)生操作具體物解決除法問(wèn)題，產(chǎn)生將大單位換成小單位的需求，再透過(guò)定位板連結(jié)具體操作過(guò)程與直式算則，進(jìn)而理解商和余數(shù)小數(shù)點(diǎn)的處理原則.此外教師可向?qū)W生加強(qiáng)在小數(shù)除法中，商與余數(shù)的小數(shù)點(diǎn)皆要對(duì)齊原被除數(shù)（未移位前）的小數(shù)點(diǎn)這個(gè)運(yùn)算概念，避免商與余數(shù)小數(shù)點(diǎn)亂放的情況產(chǎn)生.另針對(duì)學(xué)生對(duì)于[除愈小]的迷思問(wèn)題，建議教師亦可利用小數(shù)換成分?jǐn)?shù)，利用分?jǐn)?shù)的除法進(jìn)行解題后，再將分?jǐn)?shù)換成小數(shù)，再借此引導(dǎo)學(xué)生小數(shù)相除會(huì)變大的概念.如：0.9÷0.3=9/10÷3/10=9/10×10/3=6/3=3.在小數(shù)的計(jì)算上的教學(xué)，可以先發(fā)展小數(shù)的估算能力，小數(shù)的紙筆運(yùn)算能力并不能幫助美國(guó)職前教師了解小數(shù)的運(yùn)算，可透過(guò)小數(shù)的估算，才能對(duì)小數(shù)的計(jì)算有所幫助，而小數(shù)的估算應(yīng)從位值概念開(kāi)始，而不是去強(qiáng)調(diào)強(qiáng)記背誦或符號(hào)的計(jì)算.

【參考文獻(xiàn)】

Behr，M.J.，&Post，T.R.（1988）.Teaching rational number and decimal concept.In T.R.Post（Eds.），Teaching mathematics in Grades K8：Reach Based Methods.Educational Studies in Mathematics，12，399-420.