弦切角定理簡化對帶電粒子在磁場中運動的理解

◇　四川　龍　飄

弦切角定理簡化對帶電粒子在磁場中運動的理解

◇四川龍飄

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運動分析是近幾年高考的熱點．要分析解決此類問題的關(guān)鍵是確定，在洛倫茲力作用下帶電粒子的運動軌跡,一旦軌跡確定許多問題便可迎刃而解．眾所周知,帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運動有以下2個基本結(jié)論:

圖1

結(jié)論1若帶電粒子運動方向沿半徑方向射入具有圓形邊界的勻強(qiáng)磁場,則其射出磁場時的速度方向反向延長線必過圓心(如圖1)．

圖2

結(jié)論2若帶電粒子運動方向沿勻強(qiáng)磁場的直線邊界射入，又從該邊界射出,則其軌跡入射速度方向和出射速度方向與邊界的夾角相等(如圖2)．

以上2個結(jié)論對找出帶電粒子在磁場中運動軌跡,分析解決相關(guān)題型非常重要．教材并沒有給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明,因此很多學(xué)生無法完整理解和應(yīng)用這2條結(jié)論．本文從純數(shù)學(xué)的角度對以上2個結(jié)論進(jìn)行論證．

圖3

1結(jié)論1的證明

圖4

如圖3,帶電粒子沿半徑方向從P點射入圓形邊界勻強(qiáng)磁場,并從Q點射出．如圖4,將其運動軌跡圓弧以及圓弧所形成的完整的圓形補(bǔ)全則得到圓O′,連接PO′、QO′可知PO′=QO′,延長P點速度方向交圓心O點且O′P⊥OP．

反向延長Q點速度方向,設(shè)交PO所在直線于O″,即O′Q⊥O″Q．連接PQ,在等腰△O′PQ中∠O′PQ=∠O′QP,得∠QPO=∠PQO″,即△PQO″為等腰三角形．若過O″點作O″M⊥PQ交PQ于M,則O″M為PQ中垂線所在直線．因為PQ為圓O的一段弦,則PQ中垂線必過圓心O,即交點O″必與圓心O重合．故結(jié)論1成立．同時也可知O′Q、O′P為圓O上弦P、Q兩點的切線,進(jìn)而得出:在同一圓中一條弦與圓弧兩交點切線分別形成的弦切角相等．

2結(jié)論2的證明

根據(jù)以上得出的“在同一圓中一條弦與圓弧兩交點切線分別形成的弦切角相等”,便可證明結(jié)論2．

圖5

如圖5所示,同樣的將在磁場外與磁場內(nèi)圓弧軌跡相吻合的圓弧補(bǔ)充完整,則PQ為圓軌跡的一段弦,入射磁場速度方向和射出磁場速度方向所在直線分別與軌跡圓相切于P、Q兩點,則θ1與θ2分別為同一圓中一條弦與圓弧兩交點切線分別形成的弦切角,則有θ1=θ2．結(jié)論2成立．

3結(jié)論的運用

圖6

Aa、b均帶正電;

Ba在磁場中飛行的時間比b的短;

Ca在磁場中飛行的路程比b的短;

Da在P上的落點與O點的距離比b的近

圖7

分析由左手定則可知，選項A正確.經(jīng)過同一勻強(qiáng)磁場直線邊界,入射磁場時速度方向與邊界的夾角必定與射出磁場速度方向與邊界夾角相等．由此得a離子射出磁場邊界的點到O的軌跡為運動軌跡圓的一段弧,而垂直入射的離子射出的速度方向也應(yīng)與邊界垂直,所以射出點到O的距離為圓形軌跡的直徑,因為這2個離子相同且初速度相同，由此可知二者運動軌跡半徑相同．故選項D正確．

在講解以上2條結(jié)論時，教師可以啟發(fā)學(xué)生通過以上證明得到弦切角相關(guān)性質(zhì)，從而鞏固對此結(jié)論的理解,使學(xué)生將物理與數(shù)學(xué)知識互相滲透，從而可以更加快速地解答有關(guān)帶電粒子在磁場中運動軌跡類的問題．

(作者單位：西華師范大學(xué))