巧用轉(zhuǎn)化法解最值問題

◇　山東　王　芳

巧用轉(zhuǎn)化法解最值問題

◇山東王芳

最值問題一直是近些年高考的重點(diǎn)和難點(diǎn),也是必考內(nèi)容．對(duì)于一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的問題,利用轉(zhuǎn)化法可以有效地簡化題目結(jié)構(gòu)、化抽象為具體、化繁為簡．本文將結(jié)合實(shí)例,對(duì)轉(zhuǎn)化法在最值問題中的應(yīng)用進(jìn)行探究,幫助學(xué)生理清解題思路．

1三角代換轉(zhuǎn)化

可用三角換元求解的題目一般具有比較明顯的特征,若能發(fā)現(xiàn)規(guī)律,便可選對(duì)方法,進(jìn)而順利求解．

從S=x2+y2的形式出發(fā)提問學(xué)生：高中有哪些類似形式的公式,學(xué)生不難聯(lián)想到sin2x+cos2x=1．于是采用三角換元.

對(duì)于三角換元問題,最重要、也是學(xué)生最容易犯錯(cuò)的地方就是對(duì)代換后的式子取值范圍的判定．

2數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

數(shù)形結(jié)合不僅是一種解題方法，更是一種有效聯(lián)系幾何與代數(shù)的橋梁.通過數(shù)形結(jié)合思想的使用，學(xué)生可以將函數(shù)問題與幾何圖形相聯(lián)系，利用圖象的幾何意義進(jìn)行函數(shù)最值求解.但這樣的思路往往需要學(xué)生具有很強(qiáng)的邏輯思維能力，能夠清晰有效地使用圖形的幾何意義進(jìn)行解題.

上述所求得的最值即是本題函數(shù)的最值．

3整體與局部的轉(zhuǎn)化

在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，若問題所給對(duì)象不能按統(tǒng)一的思維和方法解決，可根據(jù)實(shí)際情況，把所要研究的對(duì)象分成幾類來討論，使每一類問題都變得較為簡單、具體，便于操作.“化整為零，集零為整”是它的本質(zhì).分類討論的原則是：標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，對(duì)象確定，不重不漏，不越級(jí)討論.

要想得到|CP|的最值,可設(shè)t=x-1(t>0),即

從上式可得當(dāng)u=-1時(shí),

綜上可知,囧圓面積取得的最小值為3π．

4主元與輔元的轉(zhuǎn)化

對(duì)于涉及多個(gè)變量的問題中，可將某個(gè)變量看作主要變量，其他變量看作參數(shù)，從而使問題得到解決.

x2+y2+z2=m可得

(7-2y+3z)2+y2+z2=m.

將y看作主元，整理得

5y2-(12z+28)y+10z2+42z+49-m=0.

因?yàn)閥存在，所以Δ1≥0,即

(12z+28)2-20(10z2+42z+49-m)≥0,

即

14z2+42z+49-5m≤0.

再將z看作主元，因?yàn)閦存在，所以Δ2≥0，即

422-56(49-5m)≥0,

除了上述幾種轉(zhuǎn)化方法以外，還有特殊與一般的轉(zhuǎn)化、正與反的轉(zhuǎn)化、抽象與具體的轉(zhuǎn)化等，望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中不斷歸納總結(jié)，以提升自己分析問題解決問題的能力．

(作者單位：山東省榮成市第二中學(xué))