淺談函數(shù)極限的定義解法

李航

極限是高中數(shù)學中比較重要的數(shù)學思想，同時也是大學中研究數(shù)學分析乃至全部高等數(shù)學必不可少的一種重要方法，比如函數(shù)的連續(xù)性、導數(shù)、圓內接正多邊形的面積等問題都牽扯到極限的方法。而且由極限出發(fā)產生的極限方法，是數(shù)學分析的最基本的方法。更好地理解極限思想，掌握極限理論，應用極限方法是繼續(xù)學習數(shù)學的關鍵。

高中極限知識是從推理與證明中的數(shù)學歸納法引入的，數(shù)學歸納法讓我們接觸到了極限的思想，其主要的概念為：（1）證明當n取第一個值n0時命題成立，一般情況下n0取值為1或2，但也有特殊情況，例如我們在研究多邊形內角和公式的時候n從3開始；（2）假設當n=k（k≥n0）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。綜合以上兩點可得對于一切自然數(shù)n命題都成立。在求函數(shù)在某一點x0處的瞬時變化率的問題中，一般取x0所在的一個區(qū)間，當我們逐漸減小區(qū)間的長度時，它在這個區(qū)間的平均變化率趨近于某一個固定的常數(shù)，這一常數(shù)就稱為在此點的瞬時變化率也就是函數(shù)在此點的導數(shù)，即f′（x）=這些思想都與函數(shù)極限的思想相吻合。下面介紹一下用函數(shù)極限的定義解有關函數(shù)極限問題：

一、函數(shù)極限定義

1.x趨于∞時函數(shù)的極限

設f（x）為定義在[a，+∞）上的函數(shù)，A為定數(shù)，若對于？坌ε>0，都存在一個整數(shù)M（≥a），使得當x>M時有|f（x）-A|<ε，則稱函數(shù)f（x）當x趨于+∞時以A為極限，記作f（x）=A或f（x）→A（x→∞）。

這里的正數(shù)M與數(shù)列極限定義中的N相類似（數(shù)列極限定義：？坌ε>0，？堝自然數(shù)N，當n>N時，有|xn-a|<ε，則xn=a），表明x充分大的程度；但這里所考慮的是比M大的所有實數(shù)x，而不僅僅是正整數(shù)n，因此，當x→+∞時函數(shù)f（x）以A為極限意味著：A的任意小領域內比含有f（x）在+∞的某領域內的全部函數(shù)值。如果設f（x）為定義在U（-∞）或U（+∞）上的函數(shù)，當x→-∞或x→+∞時以A為極限，分別記作：

通過以上的例子，我們對于用定義法求函數(shù)極限有一定的理解，值得注意的是：

（1）定義中的正數(shù)δ，相當于數(shù)列極限ε-N定義中的N，它依賴于ε，但也不是由ε所唯一確定，一般來說，ε越小，δ也相應地要小一些，而且把δ取的更小些也無妨。

（2）定義中只要求函數(shù)f（x）在x0的某一空心領域內有定義，而一般不考慮f（x）在點x0處的函數(shù)值是否有定義，或者取什么值，這是因為，對于函數(shù)極限我們所研究的是當x趨于x0過程中函數(shù)值的變化趨勢，如在例3中，函數(shù)在|f（x）-A|<εx=1處是沒有定義的，但當x→1是f（x）的函數(shù)值趨于一個定數(shù)。

（3）定義中的不等式0<|x-x0|<δ等價于x∈Uo（xo；δ），而不等式等價于f（x）∈U（A；ε），于是，ε-δ定義又可以寫成：對于∈U（xo；δ）使得對一切x∈U（xo；δ）有f（x）∈U（A；ε）?；颍扣笑?gt;0，？堝δ>0使得f（U0（xo；δ））？奐U（A；ε）。

用函數(shù)極限的定義解有關函數(shù)極限問題只是用極限思想解眾多題型中的一種，在使用時一定要牢記定義和使用方法。當然了，僅僅熟記公式猶如紙上談兵，必須要多做題目進行鞏固。在高中時，教師一定要將這種思想貫穿于教學中，讓學生對極限有一定的了解，激發(fā)學生探索極限思想的興趣，為進入大學深入地研究極限打下堅實的基礎。

（作者單位：安徽省渦陽第五中學南校）