基于四元數(shù)極諧變換的魯棒數(shù)字水印算法

張　博

(長(zhǎng)沙師范學(xué)院電子與信息工程系　長(zhǎng)沙　410100)

基于四元數(shù)極諧變換的魯棒數(shù)字水印算法

張博

(長(zhǎng)沙師范學(xué)院電子與信息工程系長(zhǎng)沙410100)

摘要論文提出了一種基于四元數(shù)極諧變換的魯棒數(shù)字圖像水印算法。該算法結(jié)合四元數(shù)極諧變換的不變特性,對(duì)彩色圖像載體進(jìn)行四元數(shù)極諧變換,變換后,選取一部分穩(wěn)定的四元數(shù)極諧變換矩的幅值,進(jìn)而根據(jù)量化調(diào)制。選取嵌入水印信息前后的四元數(shù)進(jìn)行重構(gòu)得到兩個(gè)重構(gòu)圖像,然后對(duì)這兩個(gè)重構(gòu)圖像做差值運(yùn)算,將得到的差值疊加到原載體圖像中,繼而得到含水印圖像。仿真實(shí)驗(yàn)表明,基于四元數(shù)極諧變換的魯棒數(shù)字水印算法能夠很好地抵抗常規(guī)攻擊和幾何攻擊,具有較好的魯棒性。

關(guān)鍵詞四元數(shù)極諧變換; 數(shù)字水印; 抗幾何攻擊; 魯棒性

Class NumberTP309

1引言

數(shù)字水印是一種對(duì)圖像真?zhèn)舞b別的主動(dòng)認(rèn)證。在版權(quán)保護(hù)的過程中,既要保證原始信息在聽覺或視覺上不受到影響,還要當(dāng)數(shù)據(jù)信息受到外界干擾或攻擊時(shí)能夠完全或部分提取出水印數(shù)據(jù)[1],從而達(dá)到版權(quán)保護(hù)的目的。

四元數(shù)屬于復(fù)數(shù)的擴(kuò)展,是一種超復(fù)數(shù)[2],即可看成四維的復(fù)數(shù),它是由一個(gè)實(shí)部及三個(gè)虛部組成。由此,國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者利用四元數(shù)理論進(jìn)行圖像處理,得到了較好的結(jié)果。

Bas較早地將四元數(shù)傅里葉變換引入數(shù)字水印中,采用量化索引調(diào)制的方法將水印信息嵌入到彩色圖像中[3];Ma等提出了一種基于四元數(shù)傅里葉變換的半盲算法,算法在目標(biāo)圖像中選取參考點(diǎn),然后在這些參考點(diǎn)周圍領(lǐng)域的頻域系數(shù)中嵌入相應(yīng)水印[4];Tsui等利用四元數(shù)元素的特征設(shè)計(jì)了視覺掩膜,然后將水印信息嵌入到四元數(shù)傅里葉變換中[5];Gao等利用四元數(shù)傅里葉-梅林變換將水印信息嵌入到彩色圖像中,取得了較好的結(jié)果[6];江淑紅等利用四元數(shù)傅里葉變換進(jìn)行數(shù)字水印的嵌入和目標(biāo)跟蹤[7]。但是基于四元數(shù)的數(shù)字水印算法在國(guó)內(nèi)的研究剛剛開始,并且大部分算法都是基于四元數(shù)的傅里葉變換。本文結(jié)合四元數(shù)極諧變換的不變特性,對(duì)彩色圖像載體進(jìn)行四元數(shù)極諧變換,基于四元數(shù)極諧變換的魯棒數(shù)字水印算法能夠很好地抵抗常規(guī)攻擊和幾何攻擊,具有較好的魯棒性。

2彩色圖像的四元數(shù)極諧變換

2.1彩色圖像的四元數(shù)描述

Hamilton是英國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,1843年,他正式給出四元數(shù)理論[8],四元數(shù)屬于復(fù)數(shù)的擴(kuò)展,是一種超復(fù)數(shù)[2],即可看成四維的復(fù)數(shù),它是由一個(gè)實(shí)部及三個(gè)虛部組成,其表達(dá)式可描述如下

q=a+bi+cj+dk

(1)

其中,a,b,c,d均為實(shí)數(shù),i,j,k為虛數(shù)單位,并且它們之間滿足一定的規(guī)則,具體規(guī)則如下

i2+j2+k2=-1

ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j

(2)

相對(duì)地,四元數(shù)的共軛和幅值表示如下

(3)

假定一個(gè)彩色圖像的大小為M×N,圖像中的某一個(gè)像素用f(x,y)來表示,其中,x和y分別為像素所在矩陣的行和列的位置,并且x∈[1,M],y∈[1,N]。彩色圖像是由紅色通道、綠色通道和藍(lán)色通道三個(gè)通道組成,此時(shí),將這三個(gè)通道分別對(duì)應(yīng)成四元數(shù)的三個(gè)虛部,令其實(shí)部為0,這樣,在顏色空間的彩色圖像就可以用來描述四元數(shù),并且作為了一個(gè)整體矢量,即表示成為一個(gè)無實(shí)部的純虛四元數(shù),表達(dá)式如下

f(x,y)=fR(x,y)i+fG(x,y)j+fB(x,y)k

(4)

其中,fR(x,y)、fG(x,y)和fB(x,y)分別表示圖像的紅、綠和藍(lán)三色通道,i、j和k為虛數(shù)單位。

與傳統(tǒng)的利用單色通道或提取亮度圖像后處理彩色圖像的方法相比較,基于四元數(shù)的彩色圖像處理方法更加能夠體現(xiàn)其圖像信息的完整性,能夠更好地將其圖像顏色信息保存下來。

2.2彩色圖像的四元數(shù)極諧變換

結(jié)合灰度圖像的極坐標(biāo)諧波變換(PHT)和四元數(shù)矩的定義[9～10],通過公式推導(dǎo),可以得到彩色圖像四元數(shù)PHT的定義,假設(shè)f(r,θ)為極坐標(biāo)下的彩色圖像,定義出如下形式的彩色圖像四元數(shù)PHT:

(5)

(6)

3四元數(shù)極諧變換的不變特性分析

3.1四元數(shù)極諧變換的旋轉(zhuǎn)不變性

(7)

對(duì)上面等式進(jìn)行兩端取模操作,即為

(8)

由此可知,原始彩色圖像旋轉(zhuǎn)α角度后的四元數(shù)極諧變換的幅值與原彩色圖像四元數(shù)極諧變換的幅值是相等的,即彩色圖像四元數(shù)極諧變換的幅值具有旋轉(zhuǎn)不變特性。

3.2四元數(shù)極諧變換的縮放不變性

在極坐標(biāo)系下,將彩色圖像歸一化到單位圓內(nèi),再計(jì)算該彩色圖像四元數(shù)極諧變換,此時(shí)所計(jì)算得到的彩色圖像四元數(shù)極諧變換具有縮放不變性。對(duì)于給定的彩色圖像函數(shù)g(r′,θ),找到其半徑k,則有r′的變化范圍為0≤r′≤k,其歸一化彩色圖像函數(shù)可表示為

f(r,θ)=g(kr,θ)=g(r′,θ)

(9)

其中,r=r′/k的變化范圍為0≤r≤1,f(r,θ)為歸一化后的彩色圖像函數(shù)。由于同一彩色圖像函數(shù)f(r,θ),0≤r≤1經(jīng)過縮放而得到的任一彩色圖像f(r′/k,θ),按照上面公式最終都可以歸一化為同一個(gè)彩色圖像函數(shù)f(r,θ),所以歸一化后的彩色圖像四元數(shù)極諧變換就具有了縮放不變性。

3.3四元數(shù)極諧變換的平移不變性

四元數(shù)極諧變換的平移不變性是通過幾何矩來實(shí)現(xiàn)的。對(duì)于任意一幅彩色圖像,可以先計(jì)算其質(zhì)心,待獲得彩色圖像的質(zhì)心坐標(biāo)后,便可以將彩色圖像中心移到彩色圖像的質(zhì)心坐標(biāo),再進(jìn)行計(jì)算彩色圖像的四元數(shù)極諧變換,此時(shí)計(jì)算得到的彩色圖像四元數(shù)極諧變換就具有了平移不變性,而彩色圖像的質(zhì)心坐標(biāo)(xc,yc)可以通過零階幾何矩和一階幾何矩得到,即為

xc=(m1,0(fR)+m1,0(fG)+m1,0(fB))/m0,0

yc=(m0,1(fR)+m0,1(fG)+m0,1(fB))/m0,0

m0,0=m0,0(fR)+m0,0(fG)+m0,0(fB)

(10)

其中,m0,0(fR)、m1,0(fR)和m0,1(fR)表示R顏色分量的零階和一階幾何矩,m0,0(fG)、m1,0(fG)和m0,1(fG)表示G顏色分量的零階和一階幾何矩,m0,0(fB)、m1,0(fB)和m0,1(fB)表示B顏色分量的零階和一階幾何矩。

4基于四元數(shù)極諧變換的數(shù)字水印算法

4.1四元數(shù)極諧變換矩的選取

載體圖像I(x,y)是尺寸為M*M的彩色圖像,水印圖像w(i,j)是尺寸為P*P的二值圖像,先將水印圖像轉(zhuǎn)換成一維水印圖像W={wi,i=1,…,L},其中,L=P*P,wi∈{0,1}。

1) 對(duì)載體圖像I(x,y)求四元數(shù)PHT,對(duì)于數(shù)字水印嵌入而言,只有計(jì)算精確的四元數(shù)PHT矩才能夠被用于水印信息的嵌入。Xin[11]等指出ZMs/PZMs在不同的重復(fù)度下計(jì)算得到的矩值精確性并不相同。在實(shí)驗(yàn)中,發(fā)現(xiàn)彩色圖像四元數(shù)PHT同樣滿足這樣的特性。利用一幅恒定像素值C的彩色圖像,令其恒定像素值為f(r,θ)=C。根據(jù)其四元數(shù)PHT定義,能夠得到四元數(shù)PCET結(jié)果為

(11)

在實(shí)驗(yàn)中,發(fā)現(xiàn)計(jì)算所得到的四元數(shù)PHT,當(dāng)l=4m,m∈Z時(shí),并不是總是滿足上面的結(jié)論,為了說明這一點(diǎn),任意選取兩幅大小為128×128×3,恒定像素值分別為60和168的彩色圖像為例,計(jì)算其四元數(shù)PHT后,其一部分四元數(shù)PCET(極坐標(biāo)復(fù)指數(shù)變換)矩的幅值見表1、表2所示。

表1　恒定像素值60

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn),當(dāng)l=4m,m∈Z時(shí),四元數(shù)PHT的幅值不為0,且偏差較大,這些幅值不符合式(11)的規(guī)律,這些計(jì)算不精確的四元數(shù)PHT矩不能用于數(shù)字水印信息的嵌入。最后,得到恒定像素下四元數(shù)PCET的矩幅值規(guī)律如下:

(12)

2) 對(duì)彩色載體圖像求四元數(shù)PHT時(shí),由于四元數(shù)PHT幅值不是關(guān)于中心對(duì)稱的,但它們滿足某種對(duì)應(yīng)關(guān)系,所以選取四元數(shù)PHT用于水印嵌入時(shí),只考慮在階數(shù)大于或等于0的四元數(shù)PHT中選取。

表2　恒定像素值168

3) Li[12]等給出了灰度圖像的PHT矩選取規(guī)則,結(jié)合彩色圖像四元數(shù)PHT精確矩的計(jì)算實(shí)驗(yàn)和四元數(shù)PHT魯棒性實(shí)驗(yàn),總結(jié)出四元數(shù)PHT水印嵌入最終矩的選取規(guī)則,從以下方面考慮:

(1)因?yàn)楫?dāng)重復(fù)度l=4m,m∈Z時(shí),計(jì)算出的四元數(shù)PHT是不精確的,所以不能用于水印信息的嵌入。

(2)為了保證四元數(shù)PHT在其幅值中嵌入水印信息后的相關(guān)對(duì)稱性,這里,選擇其階數(shù)為非負(fù)整數(shù)的四元數(shù)PHT矩。最終,用于水印嵌入的四元數(shù)PHT矩選取如下

(13)

水印嵌入所選取的四元數(shù)PHT矩個(gè)數(shù)為

(14)

其中,K為最大階數(shù)。

4.2數(shù)字水印信息的嵌入

(15)

4.3含水印圖像的獲得

選取嵌入水印信息前后的四元數(shù)PHTER和ER′分別進(jìn)行重構(gòu),得到兩個(gè)重構(gòu)圖像,對(duì)這兩個(gè)重構(gòu)圖像做差值運(yùn)算,將得到的差值疊加到原載體圖像I(x,y)中,即得到了含水印圖像I*(x,y)。

5數(shù)字水印的提取算法

5.1四元數(shù)極諧變換矩的選取

5.2數(shù)字水印信息的提取

當(dāng)水印檢測(cè)提取時(shí),本章算法無需原始載體提供相關(guān)數(shù)據(jù),故屬于盲水印類型,具體檢測(cè)提取過程為:

1) 通過密鑰key2生成量化函數(shù)d(·),并且滿足d(1)=Δ/2+d(0),d(0)∈[0,1]。

(16)

(17)

為了便于對(duì)上面公式的理解,現(xiàn)將式(17)分解成以下幾個(gè)詳細(xì)步驟:

(2)計(jì)算(1)中兩個(gè)距離的差值,記為t=dis0-dis1;

4) 對(duì)得到的一維水印圖像重新轉(zhuǎn)換成P*P大小的水印圖像。

6仿真結(jié)果

6.1檢測(cè)性能測(cè)試

利用本文所提出的算法對(duì)256×256×24bit Barbara彩色圖像進(jìn)行了測(cè)試,數(shù)字水印采用16×16的二值圖像。圖1給出了含水印圖像與原始圖像的差值圖像,為了便于顯示,差值圖像像素值分別擴(kuò)大5倍、10倍、20倍、50倍,表3給出了峰值信噪比(PSNR)、時(shí)間、BER等相關(guān)性能信息。

圖1　Barbara含水印圖像與載體圖像的差值圖像

ImagePSNRTime(s)嵌入提取BERBarbara47.9223277.995681159.3569310

6.2抗攻擊能力測(cè)試

為了測(cè)試本算法抵抗各種常規(guī)攻擊的能力,文中進(jìn)行了大量測(cè)試實(shí)驗(yàn),圖2為受到常規(guī)信號(hào)處理后的含水印圖像,以及受攻擊后所提取出的數(shù)字水印信息,具體實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖2所示。

圖2　測(cè)試圖像抵抗常規(guī)信號(hào)處理的結(jié)果

圖3給出了測(cè)試圖像幾何攻擊后的含水印圖像,以及受攻擊后所提取出的數(shù)字水印信息。

圖3　測(cè)試圖像抵抗幾何攻擊后的結(jié)果

表4和表5給出了本文算法與文獻(xiàn)[14]、文獻(xiàn)[15]算法的魯棒性對(duì)比。(這里,分母表示的含義是原始圖像中一共嵌入的水印個(gè)數(shù),分子則是攻擊后依然成功檢測(cè)到的水印個(gè)數(shù))。

表4　常規(guī)信號(hào)處理下的數(shù)字水印檢測(cè)率

表5　幾何攻擊下的數(shù)字水印檢測(cè)率

7結(jié)語

本算法以四元數(shù)和灰度圖像極諧變換理論為基礎(chǔ),結(jié)合四元數(shù)極諧變換所具有的不變特性,將原始彩色圖像進(jìn)行了四元數(shù)極諧變換,通過選擇部分穩(wěn)定的變換矩從而利用量化調(diào)制的方法,完成了數(shù)字水印信息的嵌入過程,構(gòu)造出了魯棒型數(shù)字圖像水印算法,從仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果能夠看出,本文所提出的算法能夠很好地抵抗常規(guī)攻擊和幾何攻擊,具有較好的魯棒性能,同時(shí)含水印圖像具有較佳的不可感知性。

參 考 文 獻(xiàn)

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Robust Digital Watermarking Algorithm Based on Quaternion Very Harmonic Conversion

ZHANG Bo

(Department of Electronics and Information Engineering, Changsha Normal University, Changsha410100)

AbstractThis paper presents a robust digital image watermarking algorithm based on quaternion very harmonic conversion. The algorithm combines a very harmonic quaternion invariant feature transform, color image vector quaternion very harmonic conversion, after conversion, a part of a stable amplitude quaternion very harmonic transform moments is selected, and then according to the quantization modulation. The proposed algorithm selected watermark embedding quaternion get information before and after the reconstruction of two reconstructed images, then the difference between the two reconstructed images do arithmetic, the difference will be superimposed onto the original vector image, then watermarked images are gotten. Simulation results show robust digital watermarking algorithm based on quaternion very harmonic conversion can be a good resistance to conventional attacks and geometric attacks, has better robustness.

Key Wordsquaternion polar harmonic transform, digital watermarks, against geometric attack, robustness

收稿日期:2015年12月10日,修回日期:2016年1月17日

基金項(xiàng)目:湖南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(編號(hào):2015JJ6007);湖南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目(編號(hào):15C0103)資助。

作者簡(jiǎn)介:張博,男,碩士,講師,研究方向:模式識(shí)別、人工智能、圖像處理。

中圖分類號(hào)TP309

DOI:10.3969/j.issn.1672-9722.2016.06.031