彎曲法測(cè)量圓柱形試樣楊氏模量的研究

宋連鵬，孫　瑜，劉玉鵬，周　麗

(海軍大連艦艇學(xué)院 基礎(chǔ)部， 遼寧 大連 116018)

彎曲法測(cè)量圓柱形試樣楊氏模量的研究

宋連鵬，孫瑜，劉玉鵬，周麗

(海軍大連艦艇學(xué)院 基礎(chǔ)部， 遼寧 大連 116018)

摘要：根據(jù)圓柱形的受力彎曲理論推導(dǎo)出彎曲法測(cè)量圓柱形試樣楊氏模量的公式，改進(jìn)了儀器，測(cè)出了圓柱形試樣金屬絲的楊氏模量，解決了彎曲法測(cè)量圓柱形楊氏模量的問(wèn)題，消除了在實(shí)驗(yàn)教學(xué)及生產(chǎn)中由于試樣形狀的限制而產(chǎn)生的不利影響.

關(guān)鍵詞：楊氏模量;彎曲法;圓柱形試樣;刀口

楊氏模量是標(biāo)志材料抵抗彈性形變能力的重要物理量，是工程材料的重要物理參量，是選定機(jī)械構(gòu)件材料的依據(jù)之一[1]. 測(cè)量楊氏模量的方法有拉伸法、動(dòng)態(tài)懸掛法和彎曲法[2]，其中拉伸法和動(dòng)態(tài)懸掛法的試樣是圓柱形，彎曲法試樣的截面為矩形，3種測(cè)量方法的試樣不統(tǒng)一，壓縮了對(duì)不同方法分析討論的空間，同時(shí)彎曲法的實(shí)際應(yīng)用也受到了限制.

1測(cè)量原理

將半徑為r的圓柱形試樣放在相距為l的兩刀口上(如圖1所示)，在兩刀口的中點(diǎn)處掛上質(zhì)量為m的砝碼，假設(shè)掛砝碼處下降Δz，稱(chēng)此Δz為弛垂度. 相距dx的O1O2兩點(diǎn)所在的橫斷面在彎曲前互相平行，彎曲后則成一小角dφ(如圖2所示). 顯然彎曲后，其下半部呈現(xiàn)拉伸狀態(tài)，上半部為壓縮狀態(tài)，而中間的薄層雖彎曲但長(zhǎng)度不變，稱(chēng)為中間層.

圖1　彎曲法示意圖

圖2　壓縮拉伸示意圖

設(shè)距中間層距離為y、厚度為dy、形變前長(zhǎng)為dx的一段，彎曲后伸長(zhǎng)了ydφ，受到的拉力為dF，根據(jù)胡克定律有

(1)

式中dS為形變層的橫截面積(如圖3所示)，為

圖3　圓柱形試樣截面圖

(2)

于是

(3)

此力對(duì)中間層的轉(zhuǎn)矩為dM,即

(4)

整個(gè)橫斷面的轉(zhuǎn)矩M為

(5)

(6)

(7)

圖4　彎曲梁受力分析圖

(8)

由式(8)求出dφ代入式(7)中,并求積分，可求出弛垂度為

(9)

整理得

(10)

可見(jiàn)，測(cè)量圓柱形試樣在外力作用下產(chǎn)生的弛垂度Δz，即可求得材料的楊氏模量.

2實(shí)驗(yàn)裝置

2.1楊氏模量測(cè)定儀

實(shí)驗(yàn)采用杭州大華儀器制造有限公司生產(chǎn)的DHY-1楊氏模量測(cè)定儀[3]進(jìn)行測(cè)量，結(jié)構(gòu)如圖5所示，試樣放在2個(gè)頂端留有刀口的固定立柱上，試樣中間放置刀口掛件，刀口掛件下面懸掛砝碼座. 刀口掛件的上面通過(guò)銅杠桿與放在磁場(chǎng)中的霍爾傳感器關(guān)聯(lián)在一起，保持霍爾傳感器的電流不變，當(dāng)傳感器在等梯度磁場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)，輸出的電壓變化量：

ΔUH=KΔz,

(11)

其中K為傳感器的靈敏度，Δz為位移量，可見(jiàn)霍爾電壓變化量與位移之間存在一一對(duì)應(yīng)的線性關(guān)系，因此可以利用霍爾傳感器測(cè)量試樣中點(diǎn)的弛垂度Δz.

圖5　楊氏模量測(cè)定儀

2.2改進(jìn)儀器

DHY-1測(cè)定儀是針對(duì)板形試樣而設(shè)計(jì)的，對(duì)圓柱形試樣的測(cè)量存在困難. 首先，由于沒(méi)有可以用來(lái)支撐刀口掛件的平面，刀口掛件不能保持水平，難以實(shí)現(xiàn)測(cè)量. 其次，刀口掛件僅僅是套在試樣上，加減砝碼時(shí)會(huì)引起刀口掛件的轉(zhuǎn)動(dòng)和偏移，而移測(cè)顯微鏡的視場(chǎng)又非常小，因此在定標(biāo)時(shí)極易造成刀口掛件脫離視場(chǎng)而導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)失敗. 最后，在定標(biāo)的過(guò)程中，由于刀口受力不均勻引起的傾斜而導(dǎo)致刀口掛件上的刻線與移測(cè)顯微鏡中的水平參考基線不平行[如圖6(a)], 或者形成刀口對(duì)試樣的斜壓狀態(tài)，造成系統(tǒng)誤差[4].

(a)不平行

(b)平行圖6　刻線與基線位置

針對(duì)以上問(wèn)題，對(duì)裝置做了簡(jiǎn)易改進(jìn)，在刀口掛件底部安裝了螺栓，再在刀口掛件內(nèi)安裝銅砧(如圖7所示). 銅砧與刀口接觸面的中間位置刻有凹槽，當(dāng)螺栓旋進(jìn)時(shí)推動(dòng)銅砧緊貼刀口，凹槽和刀口間形成的空隙剛好卡住圓柱形試樣. 因?yàn)闇y(cè)量時(shí)試樣微向下彎曲，所以改進(jìn)不會(huì)影響刀口的功能.

圖7　改進(jìn)的刀口掛件及效果

改進(jìn)后刀口掛件可以水平、穩(wěn)定地固定在圓柱形試樣上，解決了刀口掛件的安放問(wèn)題，同時(shí)避免了加堿砝碼時(shí)引起的刀口掛件移動(dòng)，確保移測(cè)顯微鏡能夠?qū)Φ犊趻旒M(jìn)行持續(xù)穩(wěn)定地觀測(cè). 改進(jìn)后固定在試樣上的刀口掛件能夠完全垂直試樣，使刀口掛件上的刻線與移測(cè)顯微鏡的水平參考基線平行[如圖6(b)]，并可以有效避免形成斜壓狀態(tài)，也可以精確選取試樣中點(diǎn)，從而減小系統(tǒng)誤差.

3測(cè)量效果

依據(jù)以上推導(dǎo)的理論公式，利用改進(jìn)后的儀器對(duì)圓柱形試樣金屬絲進(jìn)行了楊氏模量測(cè)量，為了能夠更好地反映測(cè)量效果，同時(shí)也采用了光杠桿靜態(tài)拉伸法測(cè)量了相同金屬絲的楊氏模量，并對(duì)2種測(cè)量方法的結(jié)果進(jìn)行了比較.

3.1彎曲法測(cè)量金屬絲楊氏模量

3.1.1霍爾傳感器定標(biāo)

采用厚度a=(1.001±0.006) mm，寬度b=(23.00±0.01) mm的銅板，放在相距l(xiāng)=(23.00±0.06) cm的立柱之間進(jìn)行霍爾位置傳感器定標(biāo)，每次增加砝碼的質(zhì)量m=(20.0±0.1) g，使霍爾傳感器在磁場(chǎng)中心<2 mm的范圍內(nèi)移動(dòng)[5]，測(cè)量結(jié)果如表1所示.

表1　傳感器定標(biāo)

利用Excel軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘法擬合(圖8)，得霍爾傳感器的靈敏度K=149 mV/mm，相關(guān)系數(shù)R2=0.999 9.

圖8　U-z特性曲線

3.1.2楊氏模量測(cè)量

環(huán)境溫度為20 ℃，采用直徑d=(0.724±0.006) mm金屬絲，為了滿(mǎn)足霍爾傳感器在磁場(chǎng)中心小于2 mm的范圍內(nèi)移動(dòng)的條件，考慮到金屬絲較細(xì)的實(shí)際情況，設(shè)定2個(gè)立柱之間的距離l=(6.00±0.06) cm，同時(shí)每次增加砝碼的質(zhì)量為m=(10.0±0.1) g，測(cè)量結(jié)果如表2.

表2　彎曲法測(cè)量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

把相應(yīng)參量代入式(10)得金屬絲楊氏模量的平均值

在電壓表誤差限Δ表=0.1 mV和移測(cè)顯微鏡誤差限Δ顯=0.01 mm的測(cè)量條件下根據(jù)不確定度計(jì)算公式和不確定度傳遞公式得弛垂度不確定度uΔz=0.005 mm，因此楊氏模量的相對(duì)不確定度為

楊氏模量不確定度為

因此彎曲法測(cè)得金屬絲楊氏模量為

Y=(18.1±0.9)×1010N/m2.

3.2光杠桿拉伸法測(cè)量金屬絲楊氏模量

環(huán)境溫度為20 ℃，采用浙江光學(xué)儀器制造有限公司生產(chǎn)的YMC-1楊氏模量測(cè)定儀進(jìn)行測(cè)量，金屬絲直徑d=(0.724±0.006) mm，有效長(zhǎng)度L=(50.00±0.06) cm，鏡面到尺子的距離D=(164.50±0.06) cm，光杠桿常量b=(75.30±0.01) mm，每次增加砝碼的質(zhì)量m=(1.000±0.005) kg，為了消除彈性滯后效應(yīng)及摩擦所引起的系統(tǒng)誤差，采用了先遞增負(fù)荷后遞減負(fù)荷的實(shí)驗(yàn)方法，測(cè)量結(jié)果如表3所示.

表3　光杠桿法測(cè)量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)　mm

在鋼尺誤差限Δ=0.5 mm的測(cè)量條件下根據(jù)不確定度計(jì)算公式和不確定度傳遞公式可得尺子變化量的不確定度uΔn=0.4 mm，因此楊氏模量的相對(duì)不確定度為

楊氏模量不確定度為

因此光杠桿拉伸法測(cè)得金屬絲楊氏模量為

Y=(1.8±0.3)×1011N/m2.

3.3結(jié)論

炭鋼金屬絲楊氏模量的參考值為(15～20)×1010N/m2，可見(jiàn)彎曲法的測(cè)量結(jié)果與實(shí)際符合得很好，與光杠桿靜態(tài)拉伸法測(cè)得的結(jié)果接近，兩者相對(duì)偏差為1%. 彎曲法的精度要比光杠桿拉伸法的精度高，究其原因是光杠桿拉伸法所使用的尺子精度相對(duì)較低. 這充分說(shuō)明了本文所推公式的可靠性，也證實(shí)了儀器改進(jìn)的有效性，解決了彎曲法測(cè)量圓柱形楊氏模量實(shí)驗(yàn)中存在的問(wèn)題.

4結(jié)束語(yǔ)

彎曲法測(cè)量圓柱形楊氏模量問(wèn)題的解決實(shí)現(xiàn)了不同方法測(cè)量試樣的統(tǒng)一，為楊氏模量實(shí)驗(yàn)教學(xué)的進(jìn)一步展開(kāi)奠定了基礎(chǔ)，以此為起點(diǎn)將不同方法設(shè)計(jì)為一個(gè)實(shí)驗(yàn)系列，能夠幫助學(xué)生構(gòu)建有序化的知識(shí)結(jié)構(gòu)，更好地掌握學(xué)習(xí)物理實(shí)驗(yàn)的基本方法. 基于霍爾傳感器的彎曲法測(cè)量楊氏模量是一種具有廣闊應(yīng)用前景的電測(cè)方法，圓柱形楊氏模量測(cè)量問(wèn)題的解決解除了材料形狀對(duì)這一應(yīng)用的限制.

參考文獻(xiàn)：

[1]焦麗鳳,陸申龍，趙在忠. 用霍爾位置傳感器測(cè)量固體材料的楊氏模量[J]. 物理通報(bào),2000(5):31-32.

[2]周曉明．三種楊氏模量測(cè)量方法比較[J]. 實(shí)驗(yàn)科學(xué)與技術(shù),2011,9(6):97-99.

[3]邵奇，孫瑜，宋連鵬，等. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教程[M]. 北京:海潮出版社,2010:300-303.

[4]龍臥云，任文輝，林智群，等．霍爾位置傳感器測(cè)量材料楊氏模量的改進(jìn) [J]. 實(shí)驗(yàn)室科學(xué)，2010,13(5):166-168.

[5]張銘楊，邵明輝，王德得，等. 基于霍爾效應(yīng)的楊氏模量測(cè)量實(shí)驗(yàn)改進(jìn)[J]. 棗莊學(xué)院學(xué)報(bào),2013,30(5):47-51.

[責(zé)任編輯：尹冬梅]

Measuring Young modulus of cylindrical specimen by bending a beam

SONG Lian-peng， SUN Yu， LIU Yu-peng， ZHOU Li

(Department of Basic Sciences, Dalian Naval Academy, Dalian 116018， China)

Abstract:In order to eliminate the adverse effects on the experiment teaching and production caused by the limitation on the sample shape when measuring Young modulus by bending a beam, the essential formula for measuring Young modulus of cylindrical sample according to the beam bending theory was deduced. The Young modulus of steel wire was measured by the improved instrument, and problem was solved successfully.

Key words:Young modulus; bending method; cylindrical sample; knife edge

收稿日期：2016-01-13；修改日期：2016-03-08

基金項(xiàng)目：海軍大連艦艇學(xué)院科研發(fā)展基金資助項(xiàng)目(No.DJYKYKT2015-01)

作者簡(jiǎn)介：宋連鵬(1977-),男,遼寧大連人，海軍大連艦艇學(xué)院基礎(chǔ)部實(shí)驗(yàn)師，碩士，從事物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)與原子分子研究工作.

中圖分類(lèi)號(hào)：O343

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1005-4642(2016)06-0022-05