隨機偏微分方程及金融衍生產(chǎn)品定價研究

王聞達

【摘 要】在全球范圍內(nèi)，金融衍生產(chǎn)品均保持著迅猛的發(fā)展，但在其發(fā)展過程中，相關(guān)的問題得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，如：期權(quán)問題、投資者消費問題等。金融市場唯有確定公平的金融衍生品價格，才能夠使其獲得健康的發(fā)展。通過數(shù)學(xué)家、金融學(xué)家的共同努力，提出了期權(quán)定價模型，即：Black-Scholes模型。為了適應(yīng)金融衍生市場發(fā)展的需求，期權(quán)日漸豐富，雖然推動了金融市場的發(fā)展，但期權(quán)定價問題仍未能得到有效的解決。因此，本文以隨機偏微分方程為研究對象，闡述了其在金融衍生品定價中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】隨機偏微分方程；金融衍生產(chǎn)品；定價

一、引言

金融衍生產(chǎn)品定價直接影響著金融市場的發(fā)展，其定價偏誤是最為關(guān)鍵的技術(shù)性環(huán)節(jié)，雖然Black和Scholes提出了期權(quán)定價公式，但未能解決復(fù)雜的金融衍生品定價問題。面對復(fù)雜的現(xiàn)代金融衍生產(chǎn)品，為了提高了定價的準確性，應(yīng)積極利用隨機偏微分方程。

二、金融衍生產(chǎn)品定價的研究概況

在金融市場中，期權(quán)作為金融衍生產(chǎn)品的一種，具有廣泛性、豐富性與復(fù)雜性。期權(quán)受諸多因素的影響，因此，其定價問題得到了數(shù)學(xué)家、金融學(xué)者的普遍關(guān)注。自20世紀70年代起，期權(quán)交易日漸規(guī)范，其發(fā)展速度相對較快，但對于中國金融市場而言，其期權(quán)交易仍處于發(fā)展初期，為了推動期權(quán)市場的健康、穩(wěn)定與有序發(fā)展，相關(guān)的研究不斷增多，如：Black-Scholes模型、不完全市場的期權(quán)定價、帶違約風(fēng)險的期權(quán)定價及不對稱信息下的市場交易等，在研究過程中，具體的方法有Black-Scholes期權(quán)定價方法、有限差分方法、二叉樹方法等。

隨著期權(quán)的發(fā)展，根據(jù)其權(quán)利可以分為看漲期權(quán)與看跌期權(quán)，根據(jù)其執(zhí)行時間可以分為歐式期權(quán)與美式期權(quán)。在金融市場日漸完善的背景下，新型期權(quán)不斷增多，如：障礙期權(quán)、回望期權(quán)及一籃子期權(quán)等，雖然期權(quán)的發(fā)展促進了金融市場的繁榮，也推動了期權(quán)定價理論的完善。但在經(jīng)濟全球化與一體化的環(huán)境下，金融市場的不確定因素日漸增多，為了抵御風(fēng)險，需要研究金融衍生產(chǎn)品的定價問題。

三、隨機偏微分方程在金融衍生產(chǎn)品定價中的應(yīng)用

隨機偏微分方程主要是對物理學(xué)、生物學(xué)中的重要現(xiàn)象進行準確的描述，以此掌握其量化規(guī)律。它作為概率論的一部分，其逐漸成為了研究的熱點。如：隨機Burgers方程與Kuramoto-Sivashinsky方程，前者的研究對象為流體力學(xué)，探究了物理問題，讓人明確了對流與耗散流二者間的綜合過程；后者的研究對象為電磁場，闡述了物理學(xué)問題，使人掌握了電磁場的動態(tài)變化過程。

在偏微分方程應(yīng)用日漸廣泛的情況下，它在金融問題方面的重要性日漸顯著，特別是面對期權(quán)定價問題，國外學(xué)者Black和Scholes以歐式期權(quán)定價問題為研究對象，提出了Black-Scholes模型，進而有效解決了期權(quán)定價問題。例如：以某投資者對為研究對象，建立一個由期權(quán)與原生資產(chǎn)構(gòu)成的無風(fēng)險交易組合，以此獲得相應(yīng)的期權(quán)價格表達式。隨著相關(guān)研究的日漸深入，期權(quán)原生資產(chǎn)價格的特征愈加顯著，即：隨機波動率或者重尾。

目前，歐式期權(quán)定價應(yīng)用著眾多的模型，主要有隨機波動率模型、跳擴散模型與Levy過程模型等。例如：以同一投資者為研究對象，采用不同模型分析，通過比較可知，Levy過程模型中涉及的金融市場為不完全市場，因此，不存在完全對沖策略，而Black-Scholes模型的市場為完全市場，因此，存在完全對沖策略。面對不完全市場，對沖策略應(yīng)具有合理性，在此基礎(chǔ)上，才能夠減少投資風(fēng)險，通過方差最優(yōu)研究可知，亞式期權(quán)與目標波動率期權(quán)是最為有效的對沖策略。

當(dāng)前，金融衍生產(chǎn)品交易較為頻繁，特別是在場外市場，金融機構(gòu)與企業(yè)所進行了期權(quán)交易，由于缺少保證金制度，導(dǎo)致期權(quán)持有人需要承擔(dān)交易對手違約所帶來的損失。在此情況下，為了減少風(fēng)險損失，需要對具有對有風(fēng)險的期權(quán)實施定價，通常情況下，利用跳擴散過程以此掌握原生資產(chǎn)與交易對手的資產(chǎn)過程，此時為系統(tǒng)性風(fēng)險，同時借助經(jīng)典的結(jié)構(gòu)化方法，以此了解交易對手的信用違約，此時為特性風(fēng)險。在隨機偏微分方程的支持下，將獲得具有對手風(fēng)險的期權(quán)價格，再次價格表達式下，便可以明確不同跳部分所帶來的影響。

四、總結(jié)

綜上所述，在全球范圍內(nèi)，金融衍生產(chǎn)品相對較多，其交易量相對較大，為了控制交易風(fēng)險，金融衍生產(chǎn)品定價的相關(guān)問題得到了各國學(xué)者的廣泛關(guān)注。隨著Black-Scholes模型的提出，相關(guān)的模型不斷涌現(xiàn)，但金融衍生產(chǎn)品定價仍缺少準確性與穩(wěn)定性，為了解決此問題，本文闡述了隨機偏微分方程的運用，通過不同模型的運用，充分發(fā)揮了隨機偏微分方程的作用，為我國金融市場的健康與穩(wěn)定發(fā)展提供了可靠的保障。相信，隨著隨機偏微分方程研究的日漸深入，其應(yīng)用效果將更加顯著，我國金融衍生品定價將更加精準。

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