“平面直角坐標(biāo)系”中考題例析

陳國(guó)寶

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“平面直角坐標(biāo)系”中考題例析

陳國(guó)寶

“平面直角坐標(biāo)系”的引入標(biāo)志著數(shù)學(xué)由常量向變量邁進(jìn)，各地中考試題中關(guān)于這章內(nèi)容的命題多是以選擇、填空題或作圖題形式出現(xiàn)，下面根據(jù)本章的知識(shí)點(diǎn)列舉一些典型的中考題與同學(xué)們分享.

一、對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征

例1（2015·江蘇南京）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，- 3），作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，得到點(diǎn)A′，再作點(diǎn)A′關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，得到點(diǎn)A″，則點(diǎn)A″的坐標(biāo)是（_______，_______）.

【考點(diǎn)】對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【分析】關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等.

解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，- 3），

∴點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（2，3），

∴點(diǎn)A′關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A″的坐標(biāo)是（-2，3）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是弄清關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系.借助示意圖，解題更直觀.

二、圖形的變換

例2（2015·江蘇泰州）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△A′B′C′由△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）.

A.（0，1）B.（1，-1）

C.（0，-1）D.（1，0）

【考點(diǎn)】圖形旋轉(zhuǎn)的特征；點(diǎn)坐標(biāo)的確定.

【分析】先通過(guò)觀察旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形的邊和角確定對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，再分別作出兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線，其交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心P，從而確定點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：（1，-1）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的特征及點(diǎn)坐標(biāo)的確定，解題關(guān)鍵是弄清對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.

圖1

圖2

例3（2015·江蘇揚(yáng)州）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B、C、E在y軸上，Rt△ABC經(jīng)過(guò)變換得到Rt△ODE，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），AC=2，則這種變換可以是（）.

A.△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3

B.△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移1

C.△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移1

D.△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3

【考點(diǎn)】圖形的旋轉(zhuǎn)與平移特征；點(diǎn)坐標(biāo)的幾何意義.

【分析】先根據(jù)題目提供的四個(gè)選項(xiàng)中圖形的變換情況，確定每種情況下△ABC經(jīng)過(guò)變換后得到的△ODE的位置，再與題中圖形進(jìn)行比較即得正確變換.

解：由題意得：AC=OE=2，CO=1，

綜合考察四個(gè)選項(xiàng)變換后△ODE的位置得正解：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)、平移的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是弄清旋轉(zhuǎn)的中心、方向、角度與平移的方向、距離等要素.

三、綜合型問(wèn)題

例4（2015·江蘇常州）如圖3是根據(jù)某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標(biāo)系，公園的入口位于坐標(biāo)原點(diǎn)O，古塔位于點(diǎn)A（400，300），從古塔出發(fā)沿射線OA方向前行300 m是盆景園B，從盆景園B向左轉(zhuǎn)90°后直行400 m到達(dá)梅花閣C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是_______________.

圖3

【考點(diǎn)】點(diǎn)坐標(biāo)的幾何意義；勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】先由點(diǎn)A坐標(biāo)的幾何意義與勾股定理得出線段OA的長(zhǎng)度，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)得到線段CA的長(zhǎng)度，最后由點(diǎn)C到坐標(biāo)軸的距離確定出它的坐標(biāo).

解：連接CA，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（400，300），

∴AE=OD=400，AD=300.

∵∠ADO=90°，

∴由勾股定理得：OA2=OD2+AD2，

OA2=4002+3002=250 000，

∴OA=500，

在△OAD與△CAB中，

∵AD=AB=300，∠ADO=∠ABC，OD= CB=400，

∴△OAD≌△CAB（SAS），

∴CA=OA=500，∠OAD=∠CAB.

∵∠OAD+∠DAB=180°，

∴∠CAB+∠DAB=180°，

∴點(diǎn)C、A、D三點(diǎn)在一條直線上，

∴CD⊥x軸，

∵CD=CA+AD=800，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（400，800）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)坐標(biāo)的幾何意義、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等較多知識(shí)點(diǎn)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)即要求出點(diǎn)C到x軸、y軸的距離，而此題解題的關(guān)鍵是能通過(guò)條件發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形全等.

（作者單位：江蘇省泰州中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)）