帶有環(huán)境凈化的雙隨機參數(shù)SOLOW模型的穩(wěn)定性

李佼瑞，張艷霞

(西安財經(jīng)學院 統(tǒng)計學院, 陜西 西安710100)

帶有環(huán)境凈化的雙隨機參數(shù)SOLOW模型的穩(wěn)定性

李佼瑞，張艷霞

(西安財經(jīng)學院 統(tǒng)計學院, 陜西 西安710100)

摘要：考慮到環(huán)境凈化能力和勞動力的相對變化率均含有大量不確定性因素，研究帶有環(huán)境凈化和兩個隨機參數(shù)的Solow模型的穩(wěn)定性問題。在對帶有環(huán)境凈化的Solow模型的研究中引入兩個獨立的隨機參數(shù)：基于環(huán)境凈化能力和勞動力的相對變化率，建立帶有雙隨機參數(shù)的Solow模型；利用Chebyshev正交多項式逼近原理，將隨機模型轉(zhuǎn)化為等價的確定性近似系統(tǒng)，由Routh-Hurwitz判據(jù)理論和數(shù)值方法，研究隨機系統(tǒng)定態(tài)漸近穩(wěn)定性的條件，結(jié)果表明：帶有雙隨機參數(shù)和環(huán)境凈化Solow模型的穩(wěn)定性受隨機參數(shù)強度的影響較大，隨著隨機強度的增大，漸進穩(wěn)定性區(qū)域不斷減小，即經(jīng)濟增長與環(huán)境凈化系統(tǒng)的協(xié)調(diào)發(fā)展區(qū)域縮小。

關鍵詞：SOLOW模型；雙隨機參數(shù)；正交展開逼近；漸近穩(wěn)定性

一、引言

伴隨著經(jīng)濟的快速發(fā)展，資源環(huán)境的問題日益突出，如何正確處理好經(jīng)濟發(fā)展同環(huán)境保護的關系，走可持續(xù)發(fā)展道路，是一個十分迫切的問題。在發(fā)展經(jīng)濟學中著名的模型是Solow經(jīng)濟增長模型，不少學者對于該模型進行了不同的發(fā)展和研究。陸根堯等人基于環(huán)境庫茲涅茨曲線假說，研究了Solow經(jīng)濟增長與環(huán)境污染的關系[1]；魏立橋等人以Solow模型為基礎，研究了帶有環(huán)境污染的經(jīng)濟增長模型[2]；張五六基于Solow模型，研究了中國經(jīng)濟增長方式的轉(zhuǎn)變特征[3]；Stamuva和Georgios從勞動力變化率、技術進步等角度研究了Solow模型[4-5]；王維國等人在增廣Solow模型的基礎上結(jié)合內(nèi)生增長理論和新制度經(jīng)濟學,分析了中國的經(jīng)濟增長機制，并對中國的經(jīng)濟增長進行了經(jīng)驗分析,為中國各地區(qū)的均衡發(fā)展提出了相應建議[6]；Angelo Antoci等人基于Solow模型研究發(fā)現(xiàn)，人口數(shù)量的減少有助于經(jīng)濟增長和環(huán)境凈化[7]。以上研究主要是利用了確定性的方法，而并沒有考慮到模型受隨機因素的影響。吳付科、Lei Dongxia、Roberto Cellini等人在對Solow模型的研究中，均引入了服從布朗運動的隨機噪聲干擾，從不同角度分別研究了隨機Solow模型的漸進性質(zhì)、資本勞動率含有噪聲干擾的穩(wěn)定分布及資本積累和人口增長含有隨機干擾因素的穩(wěn)定性[8-10]。筆者在關于非線性動力系統(tǒng)的研究中曾多次運用了隨機的理論方法，研究了帶有隨機參數(shù)的經(jīng)濟周期模型的穩(wěn)定性和分岔性[11]。

從現(xiàn)有的文獻看，關于隨機Solow模型的研究只有極少的相關文獻，但基于環(huán)境凈化的Solow模型的研究還未涉及到參數(shù)為隨機變量的情況，對雙隨機參數(shù)下基于環(huán)境凈化Solow模型的研究還未見文獻報道。隨著經(jīng)濟的快速發(fā)展，筆者發(fā)現(xiàn)影響環(huán)境凈化能力和勞動力的相對變化率的因素是極其復雜多樣的，并且這些因素具有明顯的隨機性，比如環(huán)境凈化能力與經(jīng)濟規(guī)模、污染物排放總量、綠地面積、地形地貌、人口密度、技術水平、貿(mào)易開放度等諸多因素有關，勞動力的相對變化率與教育制度、教育供給規(guī)模、工資政策及工資關系、人口數(shù)量、社會文化等諸多因素有關，而這些因素并非確定不變，而是隨機變化的。從以上文獻分析看出，隨機噪聲對系統(tǒng)的影響實際上是某些主要經(jīng)濟變量對經(jīng)濟系統(tǒng)的噪聲輸入，考慮到環(huán)境凈化能力和勞動力的相對變化率均含有大量不確定性因素，因此引入兩個隨機參數(shù)，即環(huán)境凈化能力和勞動力的相對變化率，建立帶有雙隨機參數(shù)和環(huán)境凈化的Solow模型。

二、帶有環(huán)境凈化的SOLOW模型

經(jīng)濟的發(fā)展不能以犧牲環(huán)境為代價，這顯然已是人們的共識，而如何實現(xiàn)經(jīng)濟與環(huán)境的協(xié)調(diào)發(fā)展則逐漸成為學者們關注的話題。Solow經(jīng)濟增長模型是Robert Solow提出的發(fā)展經(jīng)濟學中著名的模型，本文基于此模型研究帶有環(huán)境凈化的經(jīng)濟增長模型，以解決如何實現(xiàn)經(jīng)濟與環(huán)境的協(xié)調(diào)發(fā)展問題。

帶有環(huán)境凈化的Solow模型包含四個宏觀經(jīng)濟變量和一個環(huán)境系統(tǒng)變量：總產(chǎn)量Y、資本量K、勞動力數(shù)量L、消費品量C和污染物存量P。本文研究的帶有環(huán)境凈化的Solow模型是對NataliHritonenko等人的Solow模型的拓廣，基本模型框架如圖1所示[12]130-131：

圖1　帶有環(huán)境凈化的Solow模型框架圖

假定產(chǎn)品的生產(chǎn)決定于資本量K、勞動力數(shù)量L和污染物存量P?？偖a(chǎn)量Y用于消費C、投資量S和環(huán)境污染治理E。假設投資比例和環(huán)境污染治理比例分別為s1、s2，則有:

F(K,L,P)=Y

(1)

Y=C+S+E

(2)

S=s1Y

(3)

E=s2Y

(4)

其中0≤s1,s2≤1,s1+s2≤1。資本量K的變化包括投資量S的增加和固定資產(chǎn)的損耗，則有：

(5)

其中θ是常數(shù)，表示損耗率，0<θ<1。

假定環(huán)境污染物存量P與物質(zhì)的生產(chǎn)、經(jīng)濟活動的總量和環(huán)境自凈的能力有關，一個單位的E減少ω單位的污染；假設現(xiàn)存總產(chǎn)量Y中廢棄物的污染部分為εY，環(huán)境系統(tǒng)對污染物的凈化能力為γ，則有：

P=εY-ωE-γP

(6)

其中0<ε<1，ω>1，0<γ<1。

假設勞動力的相對變化率為η，則有：

(7)

定義k(t)=K(t)/L(t)、p(t)=P(t)/L(t)、y(t)=Y(t)/L(t)；k(t)表示資本勞動率、p(t)表示生產(chǎn)總污染對人產(chǎn)生的人均污染率、y(t)表示人均產(chǎn)量，結(jié)合以上各式，可整理得出資本的人均變化率方程和污染的人均污染率方程：

(8)

(9)假設生產(chǎn)函數(shù)采用Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)形式，由于式(1)是含有污染物存量的方程，這個變量對物質(zhì)生產(chǎn)的貢獻為負；為了將環(huán)境凈化和污染治理的因素考慮到模型中，可將污染物存量作為一個單獨的投入要素。為使問題簡化，這里假定系數(shù)標準化為1，即：

y=kαp-β

(10)

其中 0<α<1,β>0。

綜上，就得到了帶有環(huán)境凈化的Solow模型的微分方程：

(11)

對于以上模型(11)，用龍格-庫塔四階法進行數(shù)值模擬，取參數(shù)(s1,s2,α,β,θ,ε,ω,γ,η)為(0.15,0.01,0.3,0.1,0.05,0.05,4,0.02,0.01)，取初值為(k0,p0)=(3.9,0.9)，得其時間歷程圖(如圖2。)

圖2　帶有環(huán)境凈化的Solow模型時間歷程圖

由圖2可知：初始時，由于部分產(chǎn)量用于環(huán)境污染治理的投資，資本的人均變化率逐漸減小，同時污染的人均污染率大幅度減小，在t1處達到最小；由于環(huán)境系統(tǒng)對經(jīng)濟系統(tǒng)的反饋機制，環(huán)境污染物的減少有利于經(jīng)濟的發(fā)展，t1后經(jīng)濟得以快速發(fā)展，即資本的人均變化率逐漸上升；系統(tǒng)在t2時刻趨于穩(wěn)定，收斂到(k*,p*)點，此后資本的人均變化率和污染的人均污染率將以定值穩(wěn)定發(fā)展。

三、雙隨機參SOLOW模型的Chebyshev正交多項式逼近

在以往對Solow模型的研究中，一般認為γ和η是確定性參數(shù)，然而如今在經(jīng)濟高速發(fā)展的社會，環(huán)境凈化能力和勞動力的相對變化率會受到很多隨機因素的影響，均含有大量不確定性因素，而這種不確定性就決定了它們的隨機性，所以γ和η應該是隨機變量，而不是常數(shù)參數(shù)。因此，本文假設γ、η均為隨機變量，這里將考慮帶有多隨機參數(shù)干擾的Solow模型。如果γ和η是獨立的隨機參數(shù)，則方程(11)是隨機模型。設γ、η可表示成以下形式：

(12)

(13)

對于含有隨機參數(shù)的動力學模型，Sun提出了對隨機參數(shù)取正交多項式逼近的方法[13]。馬少娟等人在其研究非線性隨機系統(tǒng)中多次運用了Chebyshev多項式逼近法，研究表明Chebyshev多項式逼近法是研究非線性隨機參數(shù)系統(tǒng)動力學問題的一種有效方法[14]。本文基于此方法，研究帶有環(huán)境凈化和兩個隨機參數(shù)的Solow模型的穩(wěn)定性問題，考慮到本文中的隨機變量均是來自自然界最常見的變量，即可定義u1、u2在[-1,1]上服從拱形分布ρ(u)，其密度函數(shù)為：

(14)

根據(jù)Hilbert空間的正交多項式逼近理論, 隨機模型(13)的響應在均方收斂意義下可近似地表示為：

(15)

其中

du1du2，Ui(u1)和Uj(u2)均是第二類Chebyshev正交多項式，M、N是所取多項式的最大階數(shù)。如下是第二類Chebyshev正交多項式的正交性及其常見遞推公式：

(16)

uPi(u)=(Pi+1(u)+Pi-1(u))/2

(17)

(18)

由于任意三個第二類Chebyshev多項式的乘積都可表示成單個第二類Chebyshev多項式的線性組合，則可用kpij表示式(18)中的多項式乘積項，即：

(19)在方程組(18)的兩邊同時依次乘以Ui(u1)Uj(u2)，(i=0,1,2,…，M；j=0,1,2,…，N)，根據(jù)式(16)Chebyshev正交多項式的正交性和式(17)遞推公式，即可得到帶有多隨機參數(shù)的隨機Solow模型等價的確定性系統(tǒng)。當M→∞、N→∞時，方程(18)嚴格成立。由于數(shù)值模擬精度和理論分析的需要，這里假設M和N是有限數(shù)，為便于借助軟件對隨機Solow模型(13)的研究，所以取M=2、N=2,即得到隨機Solow模型(13)的一個等價確定性近似方程組：

(20)

四、雙隨機參數(shù)SOLOW模型等價的非線性方程組的定態(tài)穩(wěn)定性

通常情況下，在研究非線性動力系統(tǒng)的定態(tài)穩(wěn)定性問題時會用到線性穩(wěn)定性理論。首先得到非線性微分方程在定點的線性化方程, 然后通過分析線性方程定態(tài)的性質(zhì)來研究非線性方程的穩(wěn)定性。如果線性化方程定態(tài)漸近穩(wěn)定，則非線性方程的定態(tài)漸近穩(wěn)定；如果線性化方程的定態(tài)不穩(wěn)定，而則非線性方程的定態(tài)也不穩(wěn)定。線性化方程的定態(tài)穩(wěn)定性完全可以由其系數(shù)矩陣的所有特征值來決定，若線性化方程系數(shù)矩陣的所有特征值均小于零, 則非線性方程的定態(tài)漸近穩(wěn)定。當非線性系統(tǒng)的維數(shù)大于3時, 一般采用Routh-Hurwitz判據(jù)準則來分析其穩(wěn)定性。如果Hurwitz行列式Δi(i=1,2,…,n)都大于零, 則非線性方程的定態(tài)漸近穩(wěn)定；如果有一個Hurwitz行列式Δi(i=1,2,…,n)小于零, 則非線性方程的定態(tài)不穩(wěn)定。

對于等價的確定性近似方程(20)，其定態(tài)線性化方程為：

(21)

其中p-1,j(t)=0,p3,j(t)=0,pi,-1(t)=0,pi,3(t)=0,ki,-1(t)=0,ki,3(t)=0,(i,j=0,1,2)。

運用MATLAB軟件可得方程(21)的Jacobian矩陣J為：

(22)

運用MATLAB可得J的特征方程：

f(λ)=a0λ18+a1λ17+a2λ16…+a17λ+a18

=0

(23)

其中ai(i=0,1,2,…，27)為特征方程的系數(shù)。根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，只要滿足其Hurwitz行列式Δi>0(i=1,2,…,n)，則特征方程(23)的所有特征值都有負的實部，那么隨機模型定點漸近穩(wěn)定。由于特征方程的系數(shù)ai(i=0,1,2,…，15)含有參數(shù)θ、γ、η、δ高次冪的線性或者非線性組合，判斷會很困難。通過MATLAB可對特征方程(23)因式分解，即：

(24)

圖3　不同δ1+δ2下的穩(wěn)定性區(qū)域的變化圖

由圖3可看出，隨機模型的穩(wěn)定性受隨機因素的影響較大，且隨著隨機強度δ1+δ2的增大穩(wěn)定性區(qū)域不斷減小。 對于隨機模型(13)，再次運用龍格-庫塔法，取四個不同的δ1+δ2值進行數(shù)值模擬，并取參數(shù)(s1,s2,α,β,θ,ε,ω,γ,η,u1,u2)為(0.15,0.01,0.3,0.1,0.05,0.05,4,0.02,0.01,-0.01,0.01)，得出不同的δ1+δ2值下的穩(wěn)定定態(tài)(k*,p*)隨著隨機強度的變化，如圖4。

圖4　穩(wěn)定定態(tài)(k*,p*)隨著隨機強度的變化圖

結(jié)合圖4可知，隨著隨機強度的增大，若隨機強度的變化是朝著有利于經(jīng)濟環(huán)境協(xié)調(diào)發(fā)展的方向發(fā)展，使得環(huán)境的凈化能力逐漸增強、勞動力的相對變化率逐漸減小、即δ1+δ2=-0.1時，系統(tǒng)穩(wěn)定發(fā)展時的資本的人均變化率將會上升，環(huán)境污染的人均污染率將會下降；若隨機強度的變化是朝著有弊于經(jīng)濟環(huán)境協(xié)調(diào)發(fā)展的方向發(fā)展，使得環(huán)境的凈化能力逐漸減弱、勞動力的相對變化率逐漸增大、即δ1+δ2=0.1時，系統(tǒng)穩(wěn)定發(fā)展時的資本的人均變化率將會下降，環(huán)境污染的人均污染率將會上升；若隨著強度的增大、即δ1+δ2=0.2時，環(huán)境遭到嚴重污染并一時得不到改善，從而會阻礙經(jīng)濟的發(fā)展，使得資本的人均變化率急劇下降。

五、結(jié)論

參考文獻：

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(責任編輯：郭詩夢)

The Stability of the SOLOW Model with Double Random Parameters based on Environmental Purification

LI Jiao-rui, ZHANG Yan-xia

(School of Statistics ,Xi'an University of Finance and Economics, Xi'an 710100, China)

Abstract:Considering the both environmental purification capacity and relative rate of change of the labor force contain lots of uncertainty factors, so in the studying of the SOLOW model with environmental purification, two independent random parameters which express environmental purification capacity and relative rate of change of the labor force respectively are introduced, then the SOLOW model with double stochastic parameters is established. The stochastic model can be converted to equivalent deterministic approximate system using the Chebyshev orthogonal polynomial approximation principle. By applying the Routh Hurwitz criterion theory and numerical method, the asymptotic stability conditions of stationary state of the random system are obtained. The result shows that the stability of the Solow model with double random parameters and environmental purification is greatly influenced by the strength of random parameters, and with the increasing of the random strengths, the asymptotic stability area will decrease continuously which means the coordinated development area of economic growth and environment purification system will shrink.

Key words:SOLOW model; double random parameters; orthogonal polynomial expansion and approximation; asymptotic stability

收稿日期：2015-11-18；修復日期：2016-04-19

基金項目：國家自然科學基金項目《經(jīng)濟-環(huán)境系統(tǒng)的分數(shù)階隨機動力學建模與分析》(11572231)

作者簡介：李佼瑞，男，陜西渭南人，應用數(shù)學博士，教授，研究方向：數(shù)理統(tǒng)計與非線性動力系統(tǒng)；

中圖分類號：O211.5∶X51

文獻標志碼：A

文章編號：1007-3116(2016)06-0007-07

張艷霞，女，河南民權人，碩士生，研究方向：數(shù)理統(tǒng)計與非線性動力系統(tǒng)。

【統(tǒng)計理論與方法】