嵌入背景 自主建構
——“等量關系”教學實錄與評析

執(zhí)教/李培芳 評析/陳梅開

嵌入背景 自主建構
——“等量關系”教學實錄與評析

執(zhí)教/李培芳 評析/陳梅開

【教學內容】

北師大版教材四年級下冊第五單元“認識方程”中的“等量關系”。

【教學過程】

一、制造沖突，聚焦“數(shù)量關系”

（課件出示問題：雞的質量是2千克，鵝的質量是6千克，求鴨的質量）

師：請同學們在練習本上解決這個問題。

（學生獨立解答）

師：算出結果的舉手，（約10多個學生）說說你的想法。

生：我是用6+2=8（千克）。

生：鴨沒有那么重，我是用6-2=4（千克）。

生：這個問題沒辦法解決，因為鴨的質量與雞和鵝的質量有什么關系沒有告訴我們。

（大部分同學附和：沒法算）

生：還要給我們一些提示。

評析：學生對這個問題的思考是有積極意義的：其一，讓學生感受到條件有時未必是恰好的；其二，將學生的思考聚焦到數(shù)量的“關系”上。

二、辨別比較，引入“等量關系”

師：需要給一些什么提示呢？

生：已知雞的質量、鵝的質量，它們和鴨的質量有什么關系？

師：我們一起來看看下圖，是否提供了它們的關系呢？

（課件出示下圖）

師：這個關系誰看懂了？

生：鵝的質量比鴨的質量重。

師：是的，靜靜地思考，現(xiàn)在能算嗎？

生：不能，這樣的關系只能知道鴨的質量小于6千克，小于6的數(shù)還有好多個呢。

師：這個關系呢？

（課件出示下圖）

生：這個也不行。

師：（結合手勢）這樣的關系不行，那樣的關系也不行，你們到底想要什么樣的關系？能用手比畫一下嗎？

生：（眾說紛紜比畫著）要平衡，要平等的關系，要相等的關系。

師：我們來看看有沒有這樣的關系。

（課件出示下圖）

師：看來電腦碰到難題了，同學們幫電腦寫一個相等關系吧。

（教師提供如上圖的學習卡片讓學生創(chuàng)造等量關系）

評析：學生對數(shù)量關系的感知經(jīng)歷了從數(shù)量間“沒有關系”到“有關系”，從數(shù)量間“不等關系”到數(shù)量間的“相等關系”。經(jīng)由這樣的學習過程，一方面學生通過比較建構起“等量關系”的概念，另一方面通過辨別感受了“數(shù)量相等關系”對于解決問題的價值。

三、自由創(chuàng)造，感知“等量關系”

（學生展示匯報如下）

生 1：左邊放 1只鴨，右邊放2只雞。這樣鴨的質量就是4千克。

生 2：左邊放 2只鴨，右邊放1只鵝。這樣鴨的質量就是3千克。

生3：左邊放1只鴨和1只雞，右邊放1只鵝。這樣鴨的質量就是4千克。

......

師：真好，同學們找到了很多不同的關系?？磥?，這樣的關系在解決數(shù)學問題時是很重要的。

生：對，是必不可少的。

師：是啊，在解決問題時，我們不僅要知道已知的數(shù)量和要求的數(shù)量，同時還要知道未知量和已知量的相等關系。像這種數(shù)量之間相等的關系在數(shù)學上稱為“等量關系”。

評析：本環(huán)節(jié)設計了“創(chuàng)造等量關系”的活動，在創(chuàng)造活動中學生自然而然地將已知量與未知量放在一個相等的關系中。尤為可貴的是生3創(chuàng)造的等量關系，將未知量與已知量同時放在左邊，這已然是代數(shù)思維了。通過自由創(chuàng)造活動，學生對等量關系的本質意義有了較為深刻的理解。

四、自主嘗試，表示“等量關系”

師：既然等量關系這么重要，那么，我們就要學會在問題解決中找出等量關系。請同學們找一找，哪一句話反映出了數(shù)量間相等的關系。

（課件出示下面3道題）

（1）媽媽的體重是50千克，爸爸的體重是媽媽的2倍，求爸爸的體重。

（2）媽媽35歲，爸爸的年齡比媽媽大3歲，爸爸幾歲？

（3）爸爸的收入比媽媽的2倍多 500元，媽媽的收入是3000元，爸爸的收入是多少元？

生：第（1）題“爸爸的體重是媽媽的2倍”反映出數(shù)量間相等的關系。

生：第（2）題“爸爸的年齡比媽媽大3歲”反映出數(shù)量間相等的關系。

生：第（3）題的等量關系是“爸爸的收入比媽媽的2倍多500元”。

師：第（3）題的等量關系，你是怎么理解的？能不能把你對這個等量關系的理解用圖或者式子表示出來？

（學生自主嘗試后，展示交流）

生1：媽媽的收入×2+500=爸爸的收入。

生2：我是畫線段圖，如下圖。

生 3：我是用天平圖，天平一邊表示媽媽的收入×2+500，另一邊表示爸爸的收入。（圖略）

生4：爸爸的收入÷2－500=媽媽的收入。

生5：我覺得生4的說法不對，從線段圖上可以看出，媽媽的收入應該是（爸爸的收入-500）÷2。

（其他學生點頭表示同意）

師：比較一下，我們會發(fā)現(xiàn)線段圖能很清楚地反映出數(shù)量之間相等的關系，相比于式子，線段圖——

生：直觀。

師：說得好！那么，直觀是什么意思呢？

生：直觀就是可以“直接地看出來”。

評析：在表示等量關系的探索中，學生自主嘗試，想出了用等式、線段圖、天平圖等多種方式進行數(shù)學表達。在不同的數(shù)學表達中，學生加深了對概念的理解，同時通過進一步的對比體驗了線段圖直觀的價值。

五、數(shù)形結合，感悟“等量關系”

師：同學們，請注意觀察，你能發(fā)現(xiàn)其中的等量關系嗎？

（課件動態(tài)演示：兩條長度相等的線段，一條圍成長方形，一條圍成正方形。如下圖）

生：圍成長方形線段的長度=圍成正方形線段的長度。

生：長方形的周長=正方形的周長。

生：（長+寬）×2=長方形的周長。

生：邊長×4=正方形的周長。

生：（長+寬）×2=邊長×4。

師：仔細觀察下圖，你能找出題中的等量關系嗎？能找出幾個？試著在本子上寫一寫。

（學生自主完成后匯報）

生：姐姐的身高+8=妹妹的身高+椅子的高度。

生：姐姐的身高-70=妹妹的身高-8。

評析：史寧中教授認為：方程的本質是“在講兩個故事，這兩個故事在數(shù)量上相等”。等量關系的數(shù)學本質正在于此。本環(huán)節(jié)通過數(shù)形結合的例子讓學生形象地感悟等量關系的本質含義，鼓勵學生從不同的角度觀察、分析、把握數(shù)量間的相等關系，提升學生思維的靈活性和深刻性。

六、走進生活，尋找“等量關系”

（1）廣告中的等量關系。（略）

（2）生活中的等量關系。（略）

【總評】

一、數(shù)學概念的教學不是孤立的數(shù)學概念的教學

將數(shù)學概念“嵌入”數(shù)學背景與結構之中，讓學生感受所學的概念位于數(shù)學背景中的“哪個位置”，“鑲嵌”在數(shù)學結構中的“哪個地方”，這對于學生建立完整的知識系統(tǒng)是極其重要的。

就本課而言，等量關系的教學按照以下的邏輯順序展開：等量關系是一種關系，是一種數(shù)量關系，是數(shù)量上的一種相等關系。這樣的順序與線索巧妙地將等量關系“鑲嵌”在數(shù)量關系中，讓學生對等量關系的理解建立在對數(shù)量關系的把握上，這對于學生形成結構化的知識網(wǎng)絡是很有幫助的。

二、數(shù)學概念的教學是概念數(shù)學本質的教學

數(shù)學概念的教學是概念數(shù)學本質的教學，這有兩重含義：其一，重點在于引導學生理解數(shù)學概念的數(shù)學本質；其二，活動的目標應當指向對數(shù)學概念的理解。在本課的教學中，教師通過制造沖突的問題情境，讓學生感知了等量關系就是數(shù)量間相等的關系，進而讓學生在數(shù)學問題中尋找等量關系，用不同方式表達對等量關系的理解，而后借助數(shù)形結合，讓學生感悟等量關系的本質是“在講兩個故事，這兩個故事在數(shù)量上相等”，讓學生對等量關系有更進一步的體悟與理解。

在整個學習過程中，教師始終圍繞“等量關系的數(shù)學本質”展開教學，在學習過程中涉及“怎么找等量關系”“怎么表示等量關系”等學習內容，這些學習內容表面上看似是技能目標的學習，實際上是借助尋找、表達等活動深化對概念本質意義的理解。顯然，只有聚焦目標才能實現(xiàn)目標。

三、數(shù)學概念的建立是個體自主建構的過程

數(shù)學概念的建立離不開數(shù)學活動的經(jīng)歷。縱觀本課的教學過程，教師從“無法解答的數(shù)學問題”入手，讓學生分析其原因，以此引入數(shù)量關系；接著，教師設計了在“天平圖”上創(chuàng)造等量關系的數(shù)學活動，讓學生在創(chuàng)造中初步感知等量關系的意義；而后通過尋找等量關系、表示等量關系等一系列數(shù)學活動，促進學生理解等量關系的數(shù)學本質，從而完成數(shù)學概念的建構過程。

教師借助巧妙的數(shù)學活動，將學生對等量關系的學習，順應到數(shù)量關系這一上位的數(shù)學概念之中，這一順應的過程使學生對數(shù)學概念的理解與建構達到了結構化的水平。這對于概念的理解、鞏固與應用是很有意義的。

（作者單位：福建廈門市華昌小學，福建惠安縣山霞中心小學）