完全各向同性解耦2T2R型并聯(lián)機器人構型綜合

曹　毅, 秦友蕾, 陳　海, 葛姝翌, 周　輝

(1.江南大學 機械工程學院, 江蘇 無錫 214122; 2. 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室(上海交通大學), 上海 2002404; 3. 機器人技術與系統(tǒng)國家重點實驗室(哈爾濱工業(yè)大學), 哈爾濱 150080; 4.江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室(江南大學), 江蘇 無錫 214122)

完全各向同性解耦2T2R型并聯(lián)機器人構型綜合

曹毅1, 2, 3, 4, 秦友蕾1, 4, 陳海1, 4, 葛姝翌1, 4, 周輝1, 4

(1.江南大學 機械工程學院, 江蘇 無錫 214122; 2. 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室(上海交通大學), 上海 2002404; 3. 機器人技術與系統(tǒng)國家重點實驗室(哈爾濱工業(yè)大學), 哈爾濱 150080; 4.江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室(江南大學), 江蘇 無錫 214122)

摘要:為得到完全各向同性解耦并聯(lián)機器人構型，基于GF集理論提出一種簡單而有效的構型綜合方法. 闡述GF集的基本概念、運算法則以及轉動特征存在條件；給出機構輸入運動副選擇原則和分支設計準則，確保了并聯(lián)機構運動各向同性及解耦性；根據(jù)該構型綜合原理，完成2T2R四自由度完全各向同性解耦并聯(lián)機構型綜合，得到大量新構型；針對所綜合的一種新型并聯(lián)解耦機構，基于螺旋理論求得該機構運動輸出，通過求解到的雅克比矩陣，驗證該機構的完全各向同性，證明了該構型方法的有效性.

關鍵詞:并聯(lián)機構;型綜合;GF集;完全各向同性;解耦

給定期望自由度和類型下的并聯(lián)機器人構型綜合,已經(jīng)通過螺旋理論[1]、位移子群及位移流形[2]、PoC單元法[3]、GF集合理論[4]得到解決．但結合特殊運動性能的并聯(lián)機構型綜合問題并沒有得到完全解決．運動耦合使并聯(lián)機器人具有了不同于串聯(lián)機器人的一些特性,比如承載力強、累計誤差小等,也正由于運動耦合特性的存在導致并聯(lián)機器人控制復雜,造成運動學和動力學分析困難．

相對于一般并聯(lián)機構而言，完全各向同性解耦并聯(lián)機構具有軌跡規(guī)劃簡單,實時控制容易,各向同性良好,精度高等優(yōu)點,因此在低承載、高精度、高速度的應用領域,如手術機器人、微納操作裝備,解耦并聯(lián)機構表現(xiàn)出獨特優(yōu)勢[5]．目前,國內外學者[6-10]對解耦、各向同性并聯(lián)機構也做了諸多研究．2T2R并聯(lián)機構把空間的移動和轉動有機結合起來,在工業(yè)中得到廣泛應用．例如可用該機構結合工作臺的運動構成五軸聯(lián)動數(shù)控機床,也可用做減振平臺[11]、空間振動篩[12]．但對于2T2R解耦并聯(lián)機構的型綜合研究卻較少．基于線性變換理論,Gogu[13]提出了完全各向同性2T2R并聯(lián)機構的型綜合方法,張彥斌等[14]基于混聯(lián)機構概念和互易螺旋理論提出了完全解耦2T2R并聯(lián)機構型綜合的方法;但是,上述所綜合出的機構中都包含有一條混合鏈,不利于機構的生產加工．

本文介紹了GF集的概念．闡述了基于GF集的完全各向同性并聯(lián)機構型綜合理論,根據(jù)該理論提出了2T2R完全各向同性解耦并聯(lián)機器人構型綜合一般方法、設計步驟,并綜合出具體構型,最后實例證明了其正確性．

1GF集的基本概念

1.1GF集的定義

機器人末端一般運動特征的集合稱之為GF集．GF集由6個元素構成,即,

式中: Ti(i=a, b, c)為機構末端移動特征;Rj(j=α, β, γ)為機構轉動特征．

GF集可分為2類:第1類如圖1所示,移動副在前而轉動副在后,同時移動特征影響轉動中心O位置發(fā)生變化,即GFI(TaTbTc; RαRβRγ);反之第2類如圖2所示,轉動副在前而移動副在后,移動特征的變化不影響轉動中心O的位置即GFII(RαRβRγ; TaTb0)．

圖1　GFI 第1類

圖2　GFII第2類

1.2運算法則

串聯(lián)機器人末端特征依賴組成該機構所有運動副的特征的總和,即GF集求和運算:

則

(1)

式中:“∪”為求和運算,“+”為Ti對Rj的影響運算符,其遵循軸線遷移定理[15],T(·)為移動特征部分,R(·)為轉動特征部分．

并聯(lián)機構的運動特征是構成并聯(lián)機構的多條支鏈運動特征的交集,即

(2)

式中“∩”為求交運算符．

由式(2)很容易判斷移動特征Ti,而轉動特征Rj的確定比較困難,如圖3所示,平臺任意兩點Ao、Bo,當剛體繞Ao點旋轉時,點Bo到達B點．由坐標變換位移矩陣可知:

(3)

式中:[Ao]、[Bo]分別表示剛體上兩點起始位置;[A]、[B]分別變化后的位置; [Rα, β, γ]為三維矩陣,是剛體繞A點的轉動變換．

由式(3)可知,VB不僅具有VA相同的轉動,而且B點具有三維伴隨移動,即

圖3　兩點間三維相對轉動的關系

同理可知,當[Rα, β, γ]變?yōu)閇Rα, β]及[Rα]時的B點運動特征,在此給出轉動特征合成定律:如果機構繞點A旋轉,則機構上任意點B有與點A相同的轉動,同時B點還存在繞點A轉動的伴隨移動．

式(1)、(2)為機構綜合的理論基礎,而軸線遷移定理、轉動合成定律為求和、求交運算的依據(jù)．

2完全各向同性解耦并聯(lián)機構型綜合

Gogu[16]將運動雅克比矩陣是對角矩陣且對角元素相等的并聯(lián)機構定義為完全各向同性．金瓊[17]基于輸入輸出矩陣給出完全解耦定義,即:輸入與輸出變量存在一一對應關系．由此看出“完全解耦”包括了“完全各向同性”．

完全各向同性并聯(lián)機構設計主要是支鏈的設計和輸入運動副的選擇．為了使機構具有某個方向的解耦輸入,在此約定并聯(lián)機構運動特征GF(TaTbTc; RαRβRγ)中Ti(i=a, b, c)3個移動方向相互垂直,Rj(j=α, β, γ)3個轉動軸線相互垂直．

2.1輸入運動副選擇原則

Zeng等[5]對于解耦并聯(lián)機構設計一般都是先給出分支型綜合準則,然后給出輸入運動副的選擇原則,但是,這種方法使得輸入運動副的選擇變得復雜．

為了簡化輸入運動副的選擇,由公式并聯(lián)機構數(shù)綜合方程

(4)

可知, 當p=0,qi=1時, F=N=n．

式中: F為機構維數(shù),N為支鏈數(shù),n為具有主動支鏈數(shù),qi為主動支鏈i上的驅動數(shù),p為被動支鏈數(shù)．

在此給出完全各向同性并聯(lián)機構輸入運動副選擇原則:

1)并聯(lián)機構末端運動GF集中所有元素均為并聯(lián)機構輸入運動;

2) 每個支鏈均只有一個輸入運動副,且支鏈中輸入運動副與并聯(lián)機構GF集中某個特征元素相對應,移動特征對應移動副,轉動特征對應轉動副．

2.2完全各向同性支鏈型綜合準則

支鏈設計準則:當已知支鏈運動特征GFi時,首先確定該分支輸入運動副,當輸入運動特征為Ti,則輸入運動副為移動副,該分支中的其余移動特征方向只能與Ti垂直,若分支中存在軸線平行的轉動副,其軸線方向只能平行于Ti;當輸入運動特征為Rj,則輸入運動副為轉動副,該支鏈中其余轉動副或圓柱副的軸線垂直于Rj軸線．

考慮完全各向同性并聯(lián)機構的設計減弱了機構的剛性,各支鏈的設計中盡可能地使用復合運動副,輸入運動副盡量靠近平臺．

2.3完全各向同性解耦并聯(lián)機構型綜合步驟

1)將給定并聯(lián)機構的運動特征,用GF集表示．例如兩移兩轉四自由度并聯(lián)機構末端GFI(Ta0 Tc; RαRβ0);

2)根據(jù)并聯(lián)機構GF表達式, 首先按照公式(3)確定并聯(lián)機構各分支GFi集,然后按照輸入運動副選擇原則確定并聯(lián)機構各支鏈驅動;

3)將支鏈GFi集根據(jù)公式(2)和遵循并聯(lián)分支解耦設計準則構造并聯(lián)解耦分支;

4)將從3)得到的解耦分支按照公式(3)布置各分支位置組成閉環(huán)解耦并聯(lián)機構．

3完全各向同性2T2R并聯(lián)機構型綜合

根據(jù)上述完全各向同性并聯(lián)機構型綜合方法,對2T2R并聯(lián)機構進行構型設計,其運動特征為

設Ta、Tc為沿X、Z軸方向的移動特征,Rα、Rβ為繞平行于X、Y軸的轉動特征．由式(4)可知:

p=0,qi=1時F=N=n=4,

該并聯(lián)機構由4條支鏈組成,依據(jù)式(2)交集運算可得可能支鏈GFi集為

(5)

(6)

(7)

(8)

表1　GFI(Ta 0 Tc; Rα Rβ 0)的組合方式

根據(jù)驅動運動副選擇原則,設分支1、2中驅動副為移動副,分支3、4中驅動副為轉動副．然后按照支鏈解耦準則分別構造2T2R、2T3R、3T3R支鏈,如表2～5所示.

表型串聯(lián)分支構型

表2中UYX為平行于Y、X軸線的萬向鉸．CX為線性輸入,下標字母X、Y、Z表示運動副的移動方向或轉動副的軸線方向,當組合方式中存在兩個2T2R分支時,另一分支中的驅動副為PZ、CZ,此時只需將下標X、Z相互替換．

表型串聯(lián)分支構型

表型串聯(lián)分支構型

表型串聯(lián)分支構型

從表1支鏈組合方式中可知,必定存在兩個2T3R支鏈,表3給出了驅動副為PX．當?shù)诙€分支為2T3R支鏈,此時驅動副為PZ,其支鏈類型只需將下標X、Z相互替換．

圖4　完全各向同性解耦2T2R并聯(lián)機構

由式(1)可得

(TaTbTc; RαRβ0).

(9)

式(9)中G(·) 表示運動關節(jié)運動特征．

同理可知支鏈1為

當支鏈1、3轉動特征求交時,由圖4可知,兩支鏈中均包含平行X、Y軸線的轉動副,同時支鏈3中存在三維移動特征,由轉動合成定律可知存在平行于X、Y軸線的轉動特征．由式(2)可得

GFI=GF1I∩GF3I=

(TaTbTc; RαRβ0)∩(Ta0 Tc; RαRβ0)=

(Ta0 Tc; RαRβ0) .

(10)

由式(10)可知支鏈1、3求交其結果為兩移動兩轉動運動特征．

4機構自由度和速度分析

4.1機構自由度分析

如圖(5)所示,定坐標系OXYZ原點位于定平臺中心位置,設3個分支坐標系分別為o1x1y1z1、o2x2y2z2、o3x3y3z3．

根據(jù)圖(5)所建立的坐標系,支鏈1的運動螺旋為

(11)

由式(11)的運動螺旋可得約束螺旋系為

(12)

圖5　完全各向同性解耦2T2R并聯(lián)機構螺旋系

式(12) 表示一個約束力約束了動平臺沿Y軸方向移動和一個力偶限制了繞Z軸方向的轉動．

支鏈2運動螺旋系為

(13)

由式(13)可得支鏈2的約束螺旋為

(14)

式(14) 表示1個力偶限制了繞Z軸方向的轉動．

支鏈3中存在1個復合鉸鏈,可以當做1個整體,其運動螺旋系為

(15)

由式(15)可得支鏈3的約束螺旋為

(16)

式(16)表示一個力偶限制了繞Z軸方向的轉動．

由于支鏈4為無冗余六自由度的運動鏈,故對動平臺無約束,從上述約束螺旋可知,4個支鏈共同作用了一個力線失和一個力偶,約束了機構沿Y軸方向的移動和繞Z軸的轉動,且機構過約束v=2．根據(jù)文獻[19]計算機構自由度:

6(17-19-1)+20+2=4.

式中: F為機構自由度,d為機構階數(shù),n為構件數(shù),g為運動副數(shù),fi為第i個運動副自由度,v為過約束數(shù),ξ為局部自由度．

4.2機構速度分析

圖6所示4個支鏈與動平臺連接的轉動副軸線相交于O1,設點O1為動坐標系原點,定平臺上點O2為點O1的投影,點O為定坐標系原點,動平臺與定平臺的距離為h．

圖6　機構運動參數(shù)

由輸入運動副選擇原則可得輸入運動,對應的運動參數(shù)為:支鏈1輸入為沿定坐標系X方向發(fā)生位移L,支鏈2輸入為沿慣性坐標系Z方向發(fā)生位移H,支鏈3輸入為繞平行于Y軸轉動角度ψ,支鏈4輸入為繞平行于X軸轉動角度φ．輸出參數(shù)為動坐標系X軸的轉動角度α,動坐標系Y軸的轉動角度β,動坐標系原點O1在定坐標系下的坐標為(l, 0, h0)．

設定坐標系、動坐標系各軸對應平行為機構初時位姿,動坐標系原點O1在定坐標系下的坐標為(l0, 0, h0),φ=0,ψ=0．

機構位置正解即為已知輸入量(L, H, φ,ψ),求解輸出量(l, h,α, β)．由圖6可知,支鏈1的X向移動輸入通過一個沿Z向移動和兩個轉動副帶動動平臺發(fā)生移動Z向移動,在該分支中有且僅有一個改方向的移動．支鏈2中移動輸入通過帶動3個連桿使得機構動平臺發(fā)生移動,故有

(17)

支鏈3中轉動副軸線始終與動坐標系的Y軸平行,支鏈4轉動副軸線始終與動坐標系的X軸平行,故有

(18)

并聯(lián)機構末端的速度和輸入驅動的速度關系為

對式(17)、(18)兩邊求導,可得

(19)

式(19)以矩陣形式表示為

(20)

令

式(20)可整理為

可見,該機構的雅克比矩陣J為單位矩陣,表明該2T2R并聯(lián)機構具有完全各向同性．

5結論

1) 本文基于GF集構型理論,提出了一種完全各向同性并聯(lián)機構型綜合方法,該方法給出了輸入運動副選擇原則,支鏈構型準則以及完全各向同性并聯(lián)機構設計的步驟．

2) 運用該型綜合方法,綜合出大量新型完全各向同性四自由度2T2R并聯(lián)機構．

3) 基于螺旋理論求解了構造出的一種機構的運動特征,同時求得機構的雅克比矩陣,驗證了并聯(lián)機構的完全各向同性及解耦性,證明了構型理論正確性．

4) 該綜合方法可用于具有良好的運動學和力傳遞性能并聯(lián)機構的構型設計,對機構構型綜合具有一定的指導作用．

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(編輯楊波)

Structural synthesis of fully isotropic and decoupled 2T2R parallel robot

CAO Yi1, 2, 3, 4, QIN Youlei1, 4, CHEN Hai1, 4, GE Shuyi1, 4, ZHOU Hui1, 4

(1. School of Mechanical Engineering, Jiangnan University, Wuxi 214122, Jiangsu, China; 2. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration(Shanghai Jiao Tong University), Shanghai 200240, China; 3. State Key Laboratory of Robotics and System(Harbin Institute of Technology), Harbin 150080, China; 4. Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology(Jiangnan University), Wuxi 214122, Jiangsu, China)

Abstract:To obtain fully isotropic and decoupled structures of parallel robot, a very simple but very effective structural design is proposed based on GF set. The basic concept of GF set, algorithms and the type synthesis principle, requirements for rotation based on GF set are firstly introduced. Secondly the selection criterion of the input pair and type synthesis principle of decoupled branches are given, therefore it ensures that the various branches' input are isotropic and decoupled. According to the type synthesis theory, structural synthesis of 2T2R four degrees of freedom decoupled parallel mechanism is finished. Simultaneously, a lot of new mechanisms are attained. Finally, the screw theory is applied to analyze kinematic characteristic of a parallel mechanism synthesized above. The expression of the Jacobian matrix is deduced which validated the decoupling feature of the mechanism. In addition it demonstrates the effectiveness of the novel method of structural synthesis for parallel mechanisms.

Keywords:parallel mechanism; structural synthesis; GF Set; fully isotropic; decoupled

doi：10.11918/j.issn.0367-6234.2016.07.015

收稿日期:2015-04-17

基金項目:國家自然科學基金 (50905075)；機器人技術與系統(tǒng)國家重點實驗室開放課題 (SKLRS-2012-MS-07)；機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室開放課題 (MSV201407)；江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室開放課題 (FM-201402)

作者簡介:曹毅(1974—),男,副教授,碩士生導師

通信作者:曹毅, caoyi@jiangnan.edu.cn

中圖分類號:TH112

文獻標志碼:A

文章編號:0367-6234(2016)07-0094-07