上海天馬望遠(yuǎn)鏡光程差的計(jì)算方法研究?

董健 付麗 蔣甬斌 劉慶會(huì) 茍偉 閆豐

(1中國科學(xué)院上海天文臺(tái) 上海 200030) (2中國科學(xué)院射電天文重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京 210008) (3中國電子科技集團(tuán)公司第54研究所 石家莊 050081)

上海天馬望遠(yuǎn)鏡光程差的計(jì)算方法研究?

董健1,2?付麗1,2蔣甬斌1,2劉慶會(huì)1,2茍偉1,2閆豐3

(1中國科學(xué)院上海天文臺(tái) 上海 200030) (2中國科學(xué)院射電天文重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京 210008) (3中國電子科技集團(tuán)公司第54研究所 石家莊 050081)

基于上海天馬望遠(yuǎn)鏡(Shanghai T ian M a Telescope,簡稱TM),提出一種賦形卡塞格倫天線光程差的計(jì)算方法.首先,基于天線互易定理,建立天馬望遠(yuǎn)鏡光路的數(shù)學(xué)模型;其次,采用非均勻有理B樣條擬合天馬望遠(yuǎn)鏡的主面和副面;最終,實(shí)現(xiàn)光程差的計(jì)算方法,并對(duì)魯茲光程差公式在天馬望遠(yuǎn)鏡上的擴(kuò)展應(yīng)用進(jìn)行研究.采用此方法可計(jì)算饋源、副面的軸向偏移和橫向偏移以及副面旋轉(zhuǎn)等非準(zhǔn)直情況下的光程差,同時(shí)在非準(zhǔn)直量較小時(shí),可采用擴(kuò)展魯茲光程差公式快速計(jì)算光程差.為天馬望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)的實(shí)時(shí)測量和調(diào)整提供支持,同時(shí)相關(guān)研究也具有通用性,可為其他具有賦形面型的射電望遠(yuǎn)鏡光程差的計(jì)算提供參考.

望遠(yuǎn)鏡,方法:數(shù)據(jù)分析,技術(shù)：其他諸多方面

1 引言

上海天馬望遠(yuǎn)鏡是目前亞洲最大、全方位可轉(zhuǎn)動(dòng)的大型射電望遠(yuǎn)鏡.該望遠(yuǎn)鏡主反射面直徑為65 m,由14圈共1 008塊高精度實(shí)面板單元拼裝而成,配備L、S、C、X、Ku、K、Ka、Q共8個(gè)波段的接收機(jī),對(duì)應(yīng)的觀測波長范圍從7 mm到21 cm,涵蓋開展射電天文觀測的全部厘米波波段和部分長毫米波波段[1].

標(biāo)準(zhǔn)卡塞格倫天線的主面和副面為標(biāo)準(zhǔn)的拋物面和雙曲面,其性能直接由饋源的輻射特性決定[2].而TM為達(dá)到高口徑效率和低旁瓣的目標(biāo),采用賦形卡塞格倫設(shè)計(jì)(幾何形狀和尺寸如圖1所示,單位為mm),其主面和副面的形狀經(jīng)過特殊設(shè)計(jì),偏離標(biāo)準(zhǔn)的拋物面和雙曲面,而且主面和副面的形狀由電磁分析軟件計(jì)算得到的離散點(diǎn)來表示,較難用函數(shù)解析式精確表達(dá)[3].

TM的結(jié)構(gòu)在重力、風(fēng)、溫度等載荷作用下會(huì)發(fā)生形變,例如:饋源和副面的軸向及橫向偏移、主面形變等.這些形變會(huì)引起天線接收信號(hào)出現(xiàn)光程差,導(dǎo)致天線性能下降.為此需要采用不同的技術(shù)對(duì)上述形變進(jìn)行測量,并基于測量結(jié)果進(jìn)行調(diào)整[4?12].在測量和調(diào)整過程中,對(duì)天線的理論光程差進(jìn)行計(jì)算是不可避免的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

圖1 TM的幾何形狀和尺寸圖Fig.1 Geom etry and sizes of the TM

針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)卡塞格倫天線,魯茲推導(dǎo)出饋源軸向和橫向偏移、副面軸向和橫向偏移以及副面旋轉(zhuǎn)等典型情況下的光程差計(jì)算公式[13](如表1所示).而TM采用賦形卡塞格倫天線,其面型與等效的標(biāo)準(zhǔn)卡塞格倫天線的面型偏差較大,如果直接采用魯茲光程差公式計(jì)算光程差必然會(huì)產(chǎn)生較大的誤差(TM等效的標(biāo)準(zhǔn)卡塞格倫天線參數(shù)見表2;兩者的面型偏差見圖2).為此本文采用光線追蹤算法,提出一種TM光程差的計(jì)算方法;同時(shí)根據(jù)此計(jì)算方法,研究魯茲光程差公式在TM上的擴(kuò)展應(yīng)用.

表1 基于標(biāo)準(zhǔn)卡塞格倫天線的魯茲光程差公式Tab le 1 The Ruze op tica l path d ifferen ce fo rm u la based on the standard Cassegrain an tenna

表1中Δzf、Δrf、Δzs、Δrs、Δα、θ、φ、φ、H、M分別為饋源軸向偏移量、饋源橫向偏移量、副面軸向偏移量、副面橫向偏移量、副面旋轉(zhuǎn)偏移量、副面到饋源的入射光線與光軸的夾角、主面到副面的反射光線與光軸的夾角、主面上的入射點(diǎn)在極坐標(biāo)系下的角度、主面焦點(diǎn)與副面頂點(diǎn)之間的距離以及放大率.對(duì)于θ、φ有如下公式成立:

其中f、r分別為主面焦距以及主面上的入射點(diǎn)在極坐標(biāo)系下的半徑長度.

表2 TM等效標(biāo)準(zhǔn)卡塞格倫天線參數(shù)Tab le 2 T he p aram eters of the TM equ ivalen t stand ard Cassegrain an tenna

圖2 TM與等效標(biāo)準(zhǔn)卡塞格倫天線的面型偏差Fig.2 T he su rface dev iation betw een the TM and equ iva len t standard Cassegrain antenna

2 光線追蹤算法及主面和副面的函數(shù)表達(dá)

2.1 光線追蹤算法

光線追蹤算法是來自于幾何光學(xué)的一項(xiàng)通用技術(shù),它通過追蹤與光學(xué)表面發(fā)生交互作用的光線從而得到光線經(jīng)過路徑的模型,此算法廣泛應(yīng)用于望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)[14].TM工作波長從7 mm到21 cm,其幾何尺度遠(yuǎn)大于工作波長,可忽略衍射效應(yīng),因此可采用基于幾何光學(xué)的光線追蹤算法計(jì)算TM的光程差.

TM僅接收信號(hào),信號(hào)經(jīng)主面和副面反射后,進(jìn)入饋源,其光路如圖3所示.但是按照此光路則難以計(jì)算光程差.為此根據(jù)天線互易定理[15],假設(shè)信號(hào)從饋源發(fā)射,照射到副面后,再反射到主面上,最后經(jīng)主面反射到達(dá)口徑面.

TM光路的數(shù)學(xué)模型如圖4所示,圖中F、Si、Ps、Ns、Sr、Pm、Nm、Mr、θ、ψ、T分別為饋源位置點(diǎn)、饋源的發(fā)射光線向量、副面入射點(diǎn)、副面入射點(diǎn)法線向量、副面入射點(diǎn)的反射光線向量、主面入射點(diǎn)、主面入射點(diǎn)的法線向量、主面入射點(diǎn)的反射光線向量、饋源發(fā)射光線與光軸的夾角、副面反射光線的延長線與光軸的夾角以及副面反射光線的延長線與光軸的交點(diǎn)(由于TM為賦形卡塞格倫天線,不同的副面反射光線的延長線與光軸的交點(diǎn)位置不同).Fm(x,y)?zm=0為主面方程,Fs(x,y)?zs=0為副面方程.根據(jù)反射定律及空間幾何關(guān)系,有如下公式(2)成立:

以上公式是求解TM光程差的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),式中Ps和F分別為點(diǎn)Ps和F的位置矢量.

圖3 TM光路圖Fig.3 The op tical path m ap of the TM

圖4 TM光路的數(shù)學(xué)模型Fig.4 T he m athem atica lm odel of the TM op tical path

2.2 主面和副面的函數(shù)表達(dá)

TM的主面和副面由電磁分析軟件計(jì)算得到的離散點(diǎn)表示,較難用函數(shù)解析式精確表達(dá).非均勻有理B樣條(Non-Uniform Rational B-Splines,簡稱NURBS)具有規(guī)范性、非負(fù)性、局部支撐性、可微性等特點(diǎn),已經(jīng)成為利用計(jì)算機(jī)處理幾何信息時(shí)用于形狀的表示、設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)交換的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn),在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用[16].因此,本文采用NURBS建模TM的主面和副面,以減小主面和副面的擬合誤差.

由于TM的主面和副面采用具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱結(jié)構(gòu)的一維賦形設(shè)計(jì),可采用一維NURBS進(jìn)行建模.設(shè)反射面離散點(diǎn)集為Pi,則面型的NURBS數(shù)學(xué)表達(dá)式C(t)為:

其中Ni,k(t)為k階B樣條曲線的基函數(shù),由de Boor-Cox遞推定義得出:

稱區(qū)間[ti,ti+k]為Ni,1(t)的支撐區(qū)間.在曲線方程中,n+1個(gè)離散點(diǎn)需使用n+1個(gè)k階B樣條基函數(shù).選取k=3,并計(jì)算B樣條曲線的基函數(shù)以及支撐區(qū)間,最后得到表示面型的NURBS.基于NURBS擬合的主面和副面誤差的RMS為10?12mm,擬合面與設(shè)計(jì)面幾乎完全一致.

3 TM光程差計(jì)算

3.1 光程差計(jì)算算法實(shí)現(xiàn)

TM的光程差計(jì)算算法流程圖如圖5所示:讀入表示主面和副面的離散點(diǎn)集;采用NURBS建模主面和副面;如果副面有橫向、軸向、旋轉(zhuǎn)偏差,將偏差加入到模型中;如果饋源有橫向、軸向偏差,將偏差加入到模型中;網(wǎng)格化副面,并從饋源產(chǎn)生發(fā)射光線;求解反射方程組(2)式,得出光路;再將計(jì)算得到的各光線在主面和副面上的反射點(diǎn)的坐標(biāo)值與TM的主面和副面的坐標(biāo)范圍值對(duì)比,刪除反射點(diǎn)位于主面和副面外的光線;最后得到光程差.

通過此算法計(jì)算準(zhǔn)直情況下的TM口徑面光程差分布,其誤差RMS為1.25μm,與理想的TM口徑面光程差分布相符.此計(jì)算驗(yàn)證了算法實(shí)現(xiàn)的正確性,同時(shí)也得到TM光路的標(biāo)準(zhǔn)光程距離.

3.2 光程差計(jì)算結(jié)果展示

圖6中的各子圖分別展示饋源軸向偏移30 mm(6(a))、橫向偏移30 mm(6(b));副面軸向偏移30 mm(6(c))、橫向偏移30 mm(6(d))以及繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)0.1°(7(e))的光程差計(jì)算結(jié)果.從圖中可以看出軸向偏移產(chǎn)生的光程差分布具有軸對(duì)稱特性;橫向偏移以及副面旋轉(zhuǎn)造成光程差分布發(fā)生傾斜,造成望遠(yuǎn)鏡指向偏移;副面旋轉(zhuǎn)造成口徑面的邊緣部分缺乏照明.

圖5 TM光程差計(jì)算算法流程圖Fig.5 The flow chart of the TM op tical path d ifference calcu lation

3.3 魯茲光程差公式的擴(kuò)展

TM的賦形卡塞格倫天線面型與等效的標(biāo)準(zhǔn)卡塞格倫天線面型偏差較大,經(jīng)過計(jì)算可知,如果直接按照表1中的魯茲光程差公式計(jì)算光程差會(huì)產(chǎn)生較大的誤差.進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn):在TM準(zhǔn)直情況下,采用光線追蹤算法,根據(jù)每條光線對(duì)表1中的參數(shù)單獨(dú)計(jì)算,再使用魯茲光程差公式,在一定條件下可減小誤差.圖7中各子圖分別展示饋源軸向偏移(7(a))、橫向偏移(7(b))、副面軸向偏移(7(c))、橫向偏移(7(d))以及繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(7(e))的情況下,基于光線追蹤算法與基于擴(kuò)展的魯茲光程差公式兩種計(jì)算方法結(jié)果之間的RMS,其中橫軸為偏移量或副面旋轉(zhuǎn)角度,縱軸為兩種計(jì)算結(jié)果的RMS.從圖可知,當(dāng)饋源軸向偏移時(shí)擴(kuò)展的魯茲光程差公式誤差一直較小,而對(duì)于其他非準(zhǔn)直情況僅在非準(zhǔn)直量較小時(shí)擴(kuò)展的魯茲光程差公式誤差較小.

4 結(jié)論

本文采用光線追蹤算法以及NURBS擬合技術(shù)實(shí)現(xiàn)TM光程差的計(jì)算方法,此方法可計(jì)算饋源、副面的軸向偏移和橫向偏移以及副面旋轉(zhuǎn)等非準(zhǔn)直情況下的TM光程差,同時(shí)在非準(zhǔn)直量較小時(shí),可采用此計(jì)算方法預(yù)先計(jì)算相關(guān)參量,再使用魯茲光程差擴(kuò)展計(jì)算公式,快速計(jì)算TM的光程差.本文為TM結(jié)構(gòu)變形的實(shí)時(shí)測量和調(diào)整奠定理論基礎(chǔ),同時(shí)相關(guān)研究具有通用性和擴(kuò)展性,可為其他具有賦形面型的射電望遠(yuǎn)鏡光程差計(jì)算提供參考.

圖6 TM光程差計(jì)算結(jié)果.圖(a)-(e)分別表示饋源軸向偏移30 mm、橫向偏移30 mm、副面軸向偏移30 mm、橫向偏移30 mm以及繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)0.1°時(shí)的情況.Fig.6 The calcu lation resu lts of the TM op tical path d ifference.(a)-(e)panels ind icate the conditions of the feed ax ia l d isp lacem en t by 30 mm,feed latera l d isp lacem en t by 30 mm,sub-reflector ax ia l d isp lacem en t by 30 mm,sub-reflector latera l d isp lacem en t by 30 mm,and sub-reflector tilt around vertex by 0.1°,resp ectively.

圖7 基于光線追蹤算法與基于擴(kuò)展的魯茲光程差公式的計(jì)算結(jié)果的均方根誤差.圖(a)-(e)分別表示饋源軸向偏移、橫向偏移、副面軸向偏移、橫向偏移以及繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)的情況.F ig.7 The root-m ean-square errors of ca lcu lation resu lts based on the ray-tracing m ethod,and the expand ing standard Ruze op tical path d ifference form u la.(a)-(e)panels ind icate the cond itions of the feed ax ia l d isp lacem en t,feed latera l d isp lacem en t,sub-reflector ax ia l d isp lacem ent,sub-reflector latera l d isp lacem en t,and sub-reflector tilt around vertex,respectively.

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Research on the Calcu lation M ethod of Op tical Path D ifference of the Shanghai T ian M a Telescope

DONG Jian1,2FU Li1,2JIANG Yong-bin1,2LIU Qing-hui1,2GOUWei1,2YAN Feng3

(1 Shanghai A stronom ica l Observatory,Chinese Academ y of Scien ces,Shanghai 200030) (2 K ey Labo rato ry of Rad io A stronom y,Chinese A cadem y of Scien ces,Nan jing 210008) (3 The 54th Research Institu te of China E lectron ics Technology G roup Corporation, Shijiazhuang 050081)

Based on the ShanghaiTian Ma Telescope(TM),an opticalpath difference calcu lationm ethod of the shaped Cassegrain antenna is presented in the paper.Firstly, themathematicalmodelof the TM optics isestablished based on theantenna reciprocity theorem.Second ly,the TM sub-reflector and m ain reflector are fitted by the Non-Uniform Rational B-Sp lines(NURBS).Finally,themethod of optical path difference calcu lation is im p lemented,and the expanding app lication of the Ruze op tical path difference formulas in the TM is researched.The method can be used to calculate the optical path difference distributions across the aperture field of the TM due to m isalignment like the axial and lateral disp lacements of the feed and sub-reflector,or the tilt of the sub-reflector.W hen them isalignment quantity is small,the expanding Ruzeopticalpath difference formulas can beused to calculate theopticalpath difference quickly.The paper supports the real-time measurement and ad justment of the TM structure.The research has universality,and can provide reference for the optical path difference calculation of other radio telescopeswith shaped surfaces.

telescopes,methods:data analysis,techniques:m iscellaneous

P111;

A

10.15940/j.cnki.0001-5245.2016.02.009

2015-08-25收到原稿,2015-09-15收到修改稿

?國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11503070)、天文專項(xiàng)-高精度測量與控制(Y 587141002)、中國科學(xué)院上海天文臺(tái)青年創(chuàng)新基金項(xiàng)目(Y 597061009)資助

?dongjian@shao.ac.cn