基于FDTD的電磁波透地通信分層傳輸模型數(shù)值計(jì)算

蘇　毅， 許澤瑋， 駱科東

(1.中國(guó)人民大學(xué) 商學(xué)院，北京 100872；2.中國(guó)石油規(guī)劃總院，北京 100083；3.九一金融信息服務(wù)(北京)有限公司，北京 100888)

計(jì)算與測(cè)試

基于FDTD的電磁波透地通信分層傳輸模型數(shù)值計(jì)算

蘇毅1,2， 許澤瑋3， 駱科東2

(1.中國(guó)人民大學(xué) 商學(xué)院，北京 100872；2.中國(guó)石油規(guī)劃總院，北京 100083；3.九一金融信息服務(wù)(北京)有限公司，北京 100888)

摘要:為了研究電磁波在地層中的傳輸特性，根據(jù)地層媒質(zhì)的特點(diǎn)建立了電磁波透地通信分層傳輸模型，并求解了電磁波的反射和透射系數(shù)。在此基礎(chǔ)上，采用有限差分時(shí)域 (FDTD) 法進(jìn)行電磁場(chǎng)數(shù)值模擬，建立了電磁波透地通信FDTD數(shù)值計(jì)算模型，并利用實(shí)際測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行了仿真計(jì)算。仿真結(jié)果表明:基于FDTD的電磁波透地通信分層傳輸模型能夠較準(zhǔn)確地反映出實(shí)際地層中電磁波的傳播情況。

關(guān)鍵詞:有限差分時(shí)域； 電磁波； 透地通信； 分層傳輸模型； 數(shù)值計(jì)算

0引言

近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，提出了很多求解電磁波傳播方程的數(shù)值解法，如矩量法、有限差分時(shí)域(finitedifferencetimedomain，F(xiàn)DTD)法等。矩量法可以解決解析法不能解決的邊界條件比較復(fù)雜的電磁問(wèn)題，但對(duì)于微分形式或積分形式的麥克斯韋方程，其離散方程的系數(shù)矩陣或?yàn)榇笮筒B(tài)稀疏矩陣，或?yàn)闈M矩陣，所需計(jì)算量很大；FDTD法用一系列差分方程代替微分方程，它將問(wèn)題的求解域分成有限個(gè)離散點(diǎn)，可以求解各種媒質(zhì)中電磁波隨時(shí)間和空間的傳輸特性，只要離散點(diǎn)取的足夠緊密，就可以使解的誤差滿足要求[1]。因此，采用FDTD法可以在給定的初始條件下無(wú)需做任何變換而直接對(duì)電磁波傳播方程組進(jìn)行時(shí)域求解。

電磁波透地通信中，地層作為傳輸信道最重要的一部分，其結(jié)構(gòu)特性將對(duì)電磁波的傳播產(chǎn)生很大的影響[2]。地層主要由各種巖層構(gòu)成，不同巖層具有不同的參數(shù)特性，透過(guò)地層傳播的電磁波在經(jīng)過(guò)不同的巖層時(shí)，會(huì)在各巖層之間的交界面處發(fā)生反射、折射等，從而使其信道特性極其復(fù)雜[3]。因此，為了精確地模擬地層中電磁波的傳播情況，需要對(duì)地層的結(jié)構(gòu)特性、媒質(zhì)參數(shù)分布等進(jìn)行分析，根據(jù)不同的地質(zhì)結(jié)構(gòu)建立相應(yīng)的電磁波傳播分層模型，以準(zhǔn)確地反映地層媒質(zhì)參數(shù)對(duì)電磁波傳播的影響，從而為電磁場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算提供依據(jù)。

1電磁波透地通信分層模型及其反射和透射系數(shù)

大地媒質(zhì)的分層模型[4,5]是目前應(yīng)用較為廣泛的模型，該模型中將大地媒質(zhì)等效為折射率為n，厚度為h的理想均勻介質(zhì)，同時(shí)將礦井空間理想化為自由空間，并將大地媒質(zhì)和自由空間的分界面看作光滑平面，如圖1所示。

圖1　地層媒質(zhì)分層模型Fig 1　Hierarchical model for stratum medium

由圖1可知，在分層模型中， z<0和z>h的區(qū)域?yàn)樽杂煽臻g(h為大地媒質(zhì)厚度)，它的折射率為n1(n3=n1)，平面電磁波從z<0的自由空間以入射角θ1入射到大地媒質(zhì)，在它們的分界面z=0處，一部分電磁波被反射回自由空間，而另一部分則透入到大地媒質(zhì)中繼續(xù)傳播，進(jìn)入到大地媒質(zhì)的電磁波經(jīng)過(guò)一定距離的傳播后，到達(dá)分界面z=h處，一部分被反射，一部分則透入到井下形成透射波[6,7]。

(1)

在分界面z=0處，入射波一部分被反射，一部分透射。利用Snell定律，可以求得在該分界面處反射波與透射波的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為

(2)

上述各式均滿足Snell定律，所以有如下關(guān)系成立

n1sinθ1=n2sinθ2=n3sinθ3

經(jīng)過(guò)計(jì)算，便可得到入射波電場(chǎng)強(qiáng)度垂直入射面時(shí)入射波振幅與反射波、透射波振幅之間的關(guān)系

(3)

(4)

聯(lián)立式(3)和式(4)，可以得到入射波電場(chǎng)強(qiáng)度垂直入射面時(shí)平面分層介質(zhì)中透射系數(shù)T⊥和反射系數(shù)R⊥為

(5)

(6)

同理，仿照上面的推導(dǎo)過(guò)程，可以求得入射波電場(chǎng)強(qiáng)度平行入射面時(shí)入射波振幅與反射波、透射波振幅之間的關(guān)系

(7)

(8)

聯(lián)立式(7)和式(8)，可以得到入射波電場(chǎng)強(qiáng)度平行入射面時(shí)平面分層介質(zhì)中透射系數(shù)T∥和反射系數(shù)R∥為

(9)

(10)

(11)

(12)

2大地媒質(zhì)FDTD多層計(jì)算模型

用FDTD法研究電磁波在媒質(zhì)中的傳播特性時(shí)，需要將電磁場(chǎng)的計(jì)算域網(wǎng)格化，并將待研究目標(biāo)的物理參數(shù)和幾何參數(shù)賦予計(jì)算網(wǎng)格，這個(gè)過(guò)程稱為FDTD電磁場(chǎng)建模。因此，在利用FDTD法研究電磁波在地層媒質(zhì)中的傳播特性時(shí)，需要首先為地層媒質(zhì)建立FDTD電磁場(chǎng)計(jì)算模型。由于大地為半無(wú)限大平面，電磁場(chǎng)的入射波是在地層上方或井下近似自由空間的半封閉面上引入的，因此，入射波不是無(wú)限的，而是有限的點(diǎn)波源或平面波，這樣，入射波會(huì)在吸收邊界和計(jì)算域內(nèi)各層媒質(zhì)的分界面上存在不連續(xù)性[9]，為此，建立圖2所示的FDTD電磁場(chǎng)計(jì)算模型。

圖2　大地媒質(zhì)的FDTD計(jì)算模型Fig 2　FDTD calculation model for earth medium

由圖2可知，地層媒質(zhì)的FDTD計(jì)算模型由4個(gè)計(jì)算域構(gòu)成，其中區(qū)域一為自由空間或井下部分，這一區(qū)域媒質(zhì)的電磁參數(shù)分別為ε0，σ0=0,μ=0， (ε0為相對(duì)介電常數(shù)，σ0為相對(duì)電導(dǎo)率，μ0為磁導(dǎo)率)；區(qū)域二為大地媒質(zhì)模型，實(shí)際計(jì)算中需要根據(jù)所模擬的地層媒質(zhì)類型(突變型或漸變型)進(jìn)行相應(yīng)的處理；區(qū)域三為吸收邊界條件UPML(uniaxialperfectlymatchedlayers)與自由空間相交界的部分；區(qū)域四為吸收邊界條件UPML與分層地層媒質(zhì)相交界的部分。在整個(gè)計(jì)算區(qū)域內(nèi)，為了保證媒質(zhì)電磁參數(shù)的連續(xù)性，位于各分界面上的網(wǎng)格其電磁參數(shù)取界面兩側(cè)相鄰兩層媒質(zhì)電磁參數(shù)的平均值。

3電磁波在大地分層媒質(zhì)中的FDTD數(shù)值模擬

圖3為常村—70井煤田測(cè)井解釋成果圖，測(cè)井深度為670.1m，終孔深度674.56m，終孔直徑89mm，各個(gè)數(shù)字所代表的含義如圖所示。由測(cè)井解釋成果圖可知，常村—70井所處地質(zhì)結(jié)構(gòu)為突變型地層媒質(zhì)結(jié)構(gòu)，主要由4種不同類型的巖層構(gòu)成，分別是中粒砂巖、砂質(zhì)泥巖、煤層、石灰?guī)r，每一層內(nèi)巖層的視電阻率、密度變化不大，可以看作是均勻的，而層與層之間這兩個(gè)參數(shù)均不相同，發(fā)生突變。

圖3　測(cè)井解釋圖Fig 3　Logging interpretation chart

根據(jù)常村—70井煤田測(cè)井解釋成果，采用突變型分層模型來(lái)模擬該處的媒質(zhì)結(jié)構(gòu)較為合理。由于常村—70井所處地質(zhì)結(jié)構(gòu)主要由4種不同類型的巖層構(gòu)成，于是可以建立一個(gè)具有四層煤質(zhì)結(jié)構(gòu)的FDTD計(jì)算模型，如圖4所示。其中，第一層為石灰?guī)r，第二層為煤層，第三層為砂質(zhì)泥巖，第四層為中粒砂巖，煤層的厚度較小，但其電導(dǎo)率較大。

圖4　FDTD分層計(jì)算模型Fig 4　FDTD hierarchical calculation model

采用TE極化的電磁波，由前面的分析可知，TE極化的電磁波垂直入射時(shí)可獲得較大的透射能量，即θ=0°。當(dāng)電磁波垂直地層入射時(shí)，它所滿足的波動(dòng)方程可以簡(jiǎn)化為一維的。利用FDTD法可以了解電磁波在分層地層媒質(zhì)中的傳播特性及地層煤質(zhì)對(duì)電磁波的傳播損耗，從而確定電磁波能否從井下傳輸?shù)骄稀?/p>

對(duì)于地層中的一維電磁場(chǎng)傳播問(wèn)題，假設(shè)平面波沿z軸方向傳播，則電磁場(chǎng)分量與x，y軸方向無(wú)關(guān)，此時(shí)電磁場(chǎng)的FDTD差分方程可以表示為

(13)

(14)

對(duì)于分層媒質(zhì)，由前面分析可知，層與層之間的反射系數(shù)和透射系數(shù)可表示為

(15)

(16)

4電磁波透地通信FDTD仿真分析

采用圖4所示的FDTD計(jì)算模型，假設(shè)有一平面波從自由空間垂直入射到大地媒質(zhì)，一部分波被反射，而另一部分波則透入到大地媒質(zhì)繼續(xù)傳播。對(duì)于一維電磁場(chǎng)計(jì)算問(wèn)題，其FDTD數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

圖5表示大地分層模型中整個(gè)計(jì)算域內(nèi)不同深度的電場(chǎng)分量與磁場(chǎng)分量的分布情況，由圖可知，隨著電磁波透入深度的增加，各場(chǎng)量的衰減也相應(yīng)增加，由于每一層的電磁參數(shù)各不相同，所以,電磁波透過(guò)每層后產(chǎn)生的衰減也各不相同，具體為透過(guò)第一層大約衰減了13dB，第二層大約為20dB，第三、四層大約為8dB，可見(jiàn)電導(dǎo)率低的地層電磁波衰減相對(duì)較慢，而電導(dǎo)率高的地層電磁波衰減快。根據(jù)上面的FDTD仿真結(jié)果，可以得到以下結(jié)論：對(duì)常村—70井所處地質(zhì)結(jié)構(gòu)，在終孔深度為674m的情況下，采用TE極化電磁波垂直入射，載波頻率65kHz，電磁波從井下傳輸?shù)骄蠒r(shí)，地面檢測(cè)電壓約為-50dB?？梢钥闯?分層模型能較精確地反映出實(shí)際地層中電磁波的傳播情況。

圖5　分層模型中不同深度的透射波形Fig 5　Transmission waveforms of different depth in hierarchical model

5結(jié)論

本文建立了電磁波透地通信大地媒質(zhì)分層模型，并利用所建立的模型求解出了電磁波在突變型地層媒質(zhì)中傳播時(shí)的透射系數(shù)和反射系數(shù)。同時(shí)，基于電磁波透地通信分層模型，建立了大地媒質(zhì)的FDTD電磁波數(shù)值計(jì)算模型，并通過(guò)仿真分析了電磁波在常村—70井的傳播情況，仿真結(jié)果表明:隨著電磁波透入深度的增加，各場(chǎng)量的衰減也相應(yīng)增加，由于每一層的電磁參數(shù)各不相同，所以,電磁波透過(guò)每層后產(chǎn)生的衰減也各不相同，具體為電導(dǎo)率低的地層電磁波衰減相對(duì)較慢，而電導(dǎo)率高的地層電磁波衰減較快。因此，在進(jìn)行實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，可以此為依據(jù)選擇合適的發(fā)射功率和接收傳感器靈敏度，從而保證電磁波信號(hào)可靠地從井下發(fā)送到井上，完成測(cè)量數(shù)據(jù)的傳輸。

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NumericalcalculationofhierarchicaltransmissionmodelofelectromagneticwavecommunicationthroughformationbasedonFDTD

SUYi1,2,XUZe-wei3,LUOKe-dong2

(1.SchoolofBusiness,RenminUniversityofChina,Beijing100872,China;2.PetrochinaPlanningandEngineeringInstitute,Beijing100083,China;3.91FinancialInformationService(Beijing)CoLtd，Beijing100888,China)

Abstract:In order to study transmission characteristics of electromagnetic wave in formation,a hierarchical transmission model for electromagnetic wave communication is established according to characteristics of stratum medium,solve electromagnetic wave reflection and transmission coefficients.On this basis,finite difference time domain (FDTD) method is used to simulate electromagnetic field,and FDTD numerical calculation model for electromagnetic wave transmission is established,and simulation calculation is carried out by using actual logging data.Simulation results show that the hierarchical transmission model for electromagnetic wave communication based on FDTD can accurately reflect propagation of electromagnetic wave in actual formation.

Key words:finite difference time domain(FDTD); electromagnetic wave; communication through formation; hierarchical transmission model; numerical calculation

DOI:10.13873/J.1000—9787(2016)04—0123—04

收稿日期：2016—03—10

中圖分類號(hào):TP 212.9

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1000—9787(2016)04—0123—04

作者簡(jiǎn)介:

蘇毅(1983-)，男，甘肅天水人，博士，工程師，中國(guó)人民大學(xué)商學(xué)院博士后，主要從事機(jī)電控制、通信系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)值分析等方面的研究。