求解工程中靜不定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的通用方法

吳曉(湖南文理學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 常德，415000)

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求解工程中靜不定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的通用方法

吳曉
(湖南文理學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 常德，415000)

摘要：基于材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)工程中靜不定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的求解多采用力法、位移法等方法，靜不定結(jié)構(gòu)在外載荷作用下的平衡狀態(tài)是一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，其應(yīng)變能存在極小值，故利用靜不定結(jié)構(gòu)的多余約束力列出其應(yīng)變能表達(dá)式，引入拉格朗日乘數(shù)并結(jié)合靜力平衡方程，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，對拉格朗日函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)并令一階導(dǎo)數(shù)等于 0，即可求得靜不定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，并通過算例予以證明。研究結(jié)果表明：此方法適用于求解平面或空間靜不定梁、弧形結(jié)構(gòu)、剛架、桁架(包括非線性材料)的約束反力、內(nèi)力及位移；采用拉格朗日乘數(shù)法求解靜不定桁架內(nèi)力的通用性較強(qiáng)，不但可以克服常規(guī)方法需利用幾何關(guān)系建立協(xié)調(diào)方程的缺陷，而且具有力學(xué)概念清晰直觀、計算過程簡潔、便于工程設(shè)計人員在實際中掌握和計算的優(yōu)點；其所得結(jié)果是精確解析解，故可以用于檢驗其他方法的計算精度。

關(guān)鍵詞：靜不定；結(jié)構(gòu)；內(nèi)力；平衡；拉格朗日函數(shù)

靜不定結(jié)構(gòu)由于承力合理，在實際工程中得到了廣泛應(yīng)用。關(guān)于靜不定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的求解，材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等教材多采用力法、位移法進(jìn)行求解。力法和位移法是計算靜不定結(jié)構(gòu)的 2個基本方法。位移法將結(jié)點位移選作基本未知量，將結(jié)構(gòu)拆成桿件，再由桿件過渡到結(jié)構(gòu)。位移法適合求解靜不定連續(xù)梁、靜不定剛架。力法是將多余約束力選作基本未知量，將靜不定結(jié)構(gòu)拆成靜定結(jié)構(gòu)，再由靜定結(jié)構(gòu)過渡到靜不定結(jié)構(gòu)。力法適合求解靜不定連續(xù)梁、靜不定剛架、靜不定圓弧結(jié)構(gòu)、靜不定桁架。但是力法求解靜不定結(jié)構(gòu)需補充變形協(xié)調(diào)方程，對如何補充變形協(xié)調(diào)方程較困難。文獻(xiàn)[1?2]采用有限元法研究了不同模量桁架的內(nèi)力。文獻(xiàn)[3]采用余弦函數(shù)研究了一般桿系結(jié)構(gòu)節(jié)點位移的計算。文獻(xiàn)[4]采用位移法求得了外荷載作用下多桿匯交問題的通解，認(rèn)為避免了需要列出幾何關(guān)系可以求解的困難，但事實上，文獻(xiàn)[4]還是利用桿件變形的幾何關(guān)系補充變形協(xié)調(diào)方程進(jìn)行計算。文獻(xiàn)[5]采用矢量分析法研究了節(jié)點位移的計算，文獻(xiàn)[6]采用速度投影法研究了靜定和靜不定桿系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中節(jié)點位移的計算。文獻(xiàn)[7]采用純數(shù)學(xué)運算研究了超靜定桁架中建立變形幾何方程的解析法。文獻(xiàn)[8?9]采用微分解析法研究了超靜定桁架變形協(xié)調(diào)方程。本文作者采用拉格朗日函數(shù)系統(tǒng)研究如何求解平面或空間靜不定梁、弧形結(jié)構(gòu)、剛架、桁架(包括非線性材料)的約束反力及內(nèi)力，并通過算例分析證明：若采用拉格朗日函數(shù)求解靜不定結(jié)構(gòu)內(nèi)力，則無需補充變形協(xié)調(diào)方程。

1　拉格朗日函數(shù)的構(gòu)建

靜不定梁、圓弧形結(jié)構(gòu)、剛架主要采用力法、位移法等方法求解約束反力及內(nèi)力。由于內(nèi)部靜不定桁架是指桁架本身靜不定，而 外部靜不定桁架本身靜定，支座約束反力作用使桁架變成靜不定。求解靜不定桁架的方法較多。當(dāng)外力作用在靜不定結(jié)構(gòu)上時，其應(yīng)變能可用支承約束反力或桿件內(nèi)力表示為U(R1,R2,L,Rn)，靜力平衡方程或節(jié)點處平衡方程為Qj(R1,R2,L,Rn)。由 于靜不定結(jié)構(gòu)在外荷載作用下的平衡是穩(wěn)定平衡，因此，應(yīng)變能 U(R1,R2,L,Rn)取極小值時的變量就是靜不定結(jié)構(gòu)約束反力或內(nèi)力。由以上分析可知，求靜不定結(jié)構(gòu)約束反力或內(nèi)力，是求解任意有限多自變量多元函數(shù)在任意有限多個約束條件下的極小值問題。數(shù)學(xué)分析及相關(guān)專著一般僅對二元函數(shù)在多個約束條件下的極值問題采用拉格朗日函數(shù)進(jìn)行求解和證明，而未對有限多個自變量多元函數(shù)在任意有限多個約束條件下極值問題求解。因此，本文對采用拉格朗日函數(shù)求解此類問題進(jìn)行證明，并通過算例說明本文方法的應(yīng)用。

利用靜不定結(jié)構(gòu)應(yīng)變能函數(shù)及靜力平衡方程或節(jié)點靜力平衡方程，可構(gòu)造如下拉格朗日函數(shù)：

將式(1)對自變量求一階導(dǎo)數(shù)可得：

式中：i=1,2,L ,n ；j=1,2,L ,m ；λj為拉格朗日乘子。由式(1)和式(2)可知：要求式(1)的極小值解，只需求解方程組式(2)。

由拉格朗日函數(shù)式(1)及靜力平衡方程式(2)，可知始終有下式成立：

所以，由式(3)和式(4)可知恒有下式成立：

所以，由式(4)和(6)可知恒有下式成立：

由以上充分性及必要性的證明可知：采用拉格朗日函數(shù)求解任意有限多個自變量多元函數(shù)在任意有限多個約束條件下的極小值問題是可行的。

2　求解靜不定結(jié)構(gòu)內(nèi)力

2.1靜不定梁內(nèi)力的求解

算例1求圖1所示一次靜不定梁的多余約束力。

圖1　一次靜不定梁Fig.1　Statically indeterminate beams of the first degree

設(shè)A支座的豎向反力和力矩分別為RA和MA(以下類同)，梁的抗彎剛度為EI，梁AB 跨度為l，以 B 點為力矩支點可得

可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為

將式(4)對多余約束力進(jìn)行一階偏導(dǎo)可得：

由式(5)可得多余約束力為

式(11)與文獻(xiàn)[10]中所得結(jié)果是一致的。

算例2計算圖2所示一次靜不定連續(xù)梁的多余約束力。

圖2 一次靜不定連續(xù)梁Fig.2Statically indeterminateContinuous beams of the first degree

以B點為力矩支點可得

可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為

將式(13)對多余約束力進(jìn)行一階偏導(dǎo)可得：

由式(14)可求得多余約束力為

式(15)所示結(jié)果與文獻(xiàn)[1]中所得結(jié)果是一致的。

算例3求圖3所示三次靜不定梁的多余約束力YA，YB，MA和MB。

由材料力學(xué)理論可得以下靜力平衡方程：

圖3　三次靜不定梁Fig.3　Statically indeterminate beams of the third degree

可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為

將式(17)對多余約束力進(jìn)行一階偏導(dǎo)可得：

由式(18)可以求得多余約束力為：

式(19)所示與文獻(xiàn)[11]中結(jié)果是一致的。

2.2靜不定圓弧內(nèi)力的求解

算例4求圖4所示一次靜不定圓弧曲桿的多余約束力。

由材料力學(xué)理論可得如下靜力平衡方程：

可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為

圖4一次靜不定圓弧曲桿Fig.4Statically indeterminate arcCurve bar of the first degree

將式(21)對多余約束力進(jìn)行一階偏導(dǎo)可得：

由式(22)可以求得多余約束力為

MA=0.353 5PR，YA=0.353 5P(23)

式(23)所示結(jié)果與文獻(xiàn)[10]中結(jié)果是一致的。

2.3靜不定剛架的內(nèi)力求解

算例5求圖5所示三次靜不定平面剛架的多余約束力。

由材料力學(xué)理論可得靜力平衡方程為：

可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

圖5　三次靜不定平面剛架Fig.5　Statically indeterminate plane rigid frame of the third degree

將式(25)對未知約束力進(jìn)行一階偏導(dǎo)可得：

由式(26)可以求得未知約束力為

式(27)所示結(jié)果與文獻(xiàn)[10]中的結(jié)果是一致的。

算例6 求圖6所示空間剛架的未知約束力。

對于圖6所示剛架 AB 桿受到彎矩、扭矩聯(lián)合作用，BC桿僅受到彎矩作用。以A為力矩支點可得

可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

圖6　一次靜不定空間剛架Fig.6　Statically indeterminate space rigid frame of the third degree

將式(29)對未知約束反力進(jìn)行一階偏導(dǎo)可得：

由式(30)可以求得

式(31)所示結(jié)果與文獻(xiàn)[12]中結(jié)果是一致的。

2.4靜不定桁架內(nèi)力的求解

算例7 求圖7所示三次靜不定平面桁架的內(nèi)力。l1=l2=l3=l4=l5=l，且各桿材料、面積相同。

節(jié)點F處平衡方程為

節(jié)點D處平衡方程為

圖7　三次靜不定平面桁架Fig.7　Statically indeterminate plane truss of the third degree

節(jié)點B處平衡方程為

可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

將式(35)對桿件內(nèi)力Ni進(jìn)行一階偏導(dǎo)可得

由式(32)～(36)可以求桁架桿內(nèi)力及未知約束力為：

在式(37)中令P=240 N時，所得結(jié)果與文獻(xiàn)[8]中結(jié)果是一致的。

算例8對于圖8所示靜不定桁架，假設(shè)靜不定桁架所有桿件長度皆為 l，求桁架內(nèi)力及支承約束反力。

對于圖8所示靜不定桁架，可知其靜力平衡方程為：

利用桁架各節(jié)點的平衡方程，可把桁架各桿件內(nèi)力用支承約束反力表示為：

圖8　二次靜不定桁架Fig.8　Statically indeterminate triss of the second degree

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為

將式(40)對支承約束反力求一階導(dǎo)數(shù)且令一階導(dǎo)數(shù)等于0可得：

利用式(35)和(38)可得：

當(dāng)P=25 N時，式(42)所示結(jié)果與文獻(xiàn)[8]中結(jié)果是一致的。

算例9圖9為一次靜不定空間桁架示意圖，空間桿系結(jié)構(gòu)由單一結(jié)點A通過4個桿與基礎(chǔ)相連，假設(shè)所有桿材料、截面積、桿長都相同。桿1和桿3位于水平面ABD內(nèi)，桿 2和桿4位于垂直平面ACE內(nèi)，截得角度為∠BAD，∠ BAO=∠DAO=∠CAO=α，在 A點的力 P 作用于垂直平面內(nèi)，與平面 BCD 平行，且與垂直桿 AE 的夾角為 45°，=3a，，，求各桿內(nèi)力。

空間桁架的內(nèi)力平衡方程為

圖9　一次靜不定空間桁架Fig.9　Statically indeterminate space truss of the first degree

可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為

將式(34)對桿件內(nèi)力Ni進(jìn)行一階偏導(dǎo)可得：

利用式(33)和(35)可求得空間桁架內(nèi)力為：

式(46)結(jié)果與文獻(xiàn)[13]中結(jié)果是一致的。

3　非線性材料桁架變形計算

3.1非線性材料桁架變形能

為了使本文的研究具有一般性，參閱文獻(xiàn)[14?15]，可令材料非線性靜不定桁架的應(yīng)力及應(yīng)變表達(dá)式為

式中：B和e(e≥1)皆為常數(shù)，且對拉伸和壓縮狀態(tài)均相同；σ 為應(yīng)力；ε 為應(yīng)變(由于e≥1，求桿件拉壓力時無論拉伸和壓縮狀態(tài)ε 均取絕對值)。材料非線性靜不定桁架第i個桿件在拉壓力Ni作用下的應(yīng)變、應(yīng)力表達(dá)式為

式中：Ai為桁架第 i 個桿件的橫截面積。由文獻(xiàn)[14]可知材料非線性靜不定桁架第 i 個桿件的單位體積內(nèi)應(yīng)變能ui及單位體積內(nèi)余能分別為

將式(47)和(48)代入式(49)可得：

由式(50)可得桁架第 i 桿件的應(yīng)變能、 余能分別為

式中：li為桁架第i個桿件的桿長。再由式(51)可得材料非線性靜不定桁架的應(yīng)變能、余能分別為

采用式(52)的應(yīng)變能表達(dá)式構(gòu)造拉格朗日函數(shù)要注意：由于求材料非線性靜不定桁架桿件拉壓力時應(yīng)變ε 對桿件拉伸和壓縮狀態(tài)均取絕對值，且桁架計算一般假定材料非線性靜不定桁架桿件內(nèi)力全部為拉力，因此，采用應(yīng)變能表達(dá)式求桿件拉壓力時，Ni也要取絕對值，否則，求出來的桿件拉壓力有可能是復(fù)數(shù)。使用式(52)所示余能表達(dá)式計算材料非線性靜不定桁架位移時，不能將桿件拉壓力取絕對值，應(yīng)直接代入桿件拉壓力Ni的真實值。

3.2靜不定桁架變形的求解

算例10 對于圖10 所示 k 個桿件節(jié)點匯交構(gòu)成的材料非線性靜不定桁架，令桁架各桿截面積相同，以下算例類同。假定該材料非線性靜不定桁架的桿件內(nèi)力全部為拉力，可得桁架節(jié)點平衡方程為：

可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為

將式(54)對內(nèi)力Ni求一階導(dǎo)數(shù)并令，可得

將式(55)代入式(53)求得 λ1和 λ2，再利用式(55)即可求得圖10 所示材料非線性靜不定桁架各桿件的拉壓內(nèi)力。

圖10　k個桿件靜不定桁架Fig.10　Statically indeterminate truss with k-bar

以圖11所示非線性靜不定桁架為例，假設(shè)θ1=45°，θ2=90°，θ3=135°，α=90°，，l2=l，且各桿材料、面積相同。

由圖11可得桁架節(jié)點D點的平衡方程為

由式(56)可得

由圖11及式(57)可判斷圖11所示材料非線性靜不定桁架個桿件皆為拉力，利用式(55)和(56)可得：

由式(59)和(58)可以求得

在式(60)中，令 e 為1和2時的結(jié)果與文獻(xiàn)[14]中的結(jié)果完全一致。

圖11　3個桿件靜不定桁架Fig.11　Statically indeterminate truss with three bars

將式(60)代入式(52)中可得圖2所示材料非線性靜不定桁架的余能表達(dá)式為

利用式(61)將余能 U*函數(shù)對外力P求一階偏導(dǎo)數(shù)即可得到圖11所示材料非線性靜不定桁架節(jié)點 D 的水平位移為

算例11對于圖12所示材料非線性靜不定桁架，可假定該靜不定桁架桿件內(nèi)力全部為拉力。設(shè)桁架桿件長度分別為。利用靜力平衡方程,可以求得圖3所示材料非線性靜不定桁架支承反力分別為。

圖126個桿件靜不定桁架Fig.12Statically indeterminate truss with six bars

利用桁架各節(jié)點的平衡方程,可得桁架各桿件內(nèi)力為

對式(63)進(jìn)行分析可知N6為拉力，N5為壓力，顯然N1和N2為壓力，N3和N4為拉力。可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為

將式(64)對材料非線性靜不定桁架桿件的內(nèi)力 N5和N6求一階導(dǎo)數(shù)且令一階導(dǎo)數(shù)等于0可得

此結(jié)果與文獻(xiàn)[10]中結(jié)果是一致的。

將式(66)代入式(52)可得圖12 所示材料非線性靜不定桁架的余能表達(dá)式為

利用式(67)把余能 U*函數(shù)對外力P求一階偏導(dǎo)數(shù)即可得到圖12 所示材料非線性靜不定桁架節(jié)點C 的水平位移為

4　討論與分析

由算例1至算例 6可知：計算平面、空間靜不定梁、圓弧形結(jié)構(gòu)、剛架內(nèi)力及約束反力，可利用靜不定結(jié)構(gòu)的靜力平衡方程構(gòu)造拉格朗日函數(shù)。

算例 7和算例8是外部靜不定桁架即外部靜不定桁架本身是靜定但由于支座約束反力作用使桁架變成靜不定。計算外部靜不定桁架各桿件內(nèi)力時，若桁架各桿件內(nèi)力用桁架支座反力全部表示出來，則可利用桁架的靜力平衡方程來構(gòu)造拉格朗日函數(shù)；若桁架各桿件內(nèi)力不用桁架支座反力全部表示出來，則可利用桁架中除支座節(jié)點以外的其他各節(jié)點處靜力平衡方程來構(gòu)造拉格朗日函數(shù)。

算例10至算例12中的內(nèi)部靜不定桁架是指桁架本身靜不定。算例10 至算例11的桁架各桿件內(nèi)力不能用桁架支座反力全部表示出來,計算內(nèi)部靜不定桁架各桿件內(nèi)力時，僅能利用除桁架支座節(jié)點以外的其他各節(jié)點處靜力平衡方程來構(gòu)造拉格朗日函數(shù)。

由以上算例分析可知：計算靜不定梁、圓弧形結(jié)構(gòu)、剛架內(nèi)力及約束反力時，可利用靜不定結(jié)構(gòu)的靜力平衡方程構(gòu)造拉格朗日函數(shù)。靜不定結(jié)構(gòu)的靜力平衡方程個數(shù)就是拉格朗日乘子 λj的個數(shù)。

計算匯交內(nèi)部靜不定桁架各桿件內(nèi)力時,僅能利用支座除桁架節(jié)點以外的其他各節(jié)點處靜力平衡方程來構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，匯交節(jié)點僅有 2個靜力平衡方程，匯交內(nèi)部靜不定桁架拉格朗日乘子 λj的個數(shù)有2個。

計算外部靜不定桁架各桿件內(nèi)力時，當(dāng)桁架各桿件內(nèi)力用桁架支座反力全部表示出來時，則可利用桁架的靜力平衡方程來構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，靜力平衡方程的個數(shù)就是拉格朗日乘子 λj的個數(shù)? 當(dāng)桁架各桿件內(nèi)力不用桁架支座反力全部表示出來時，可利用支座節(jié)點除外的桁架其他各節(jié)點處靜力平衡方程來構(gòu)造拉格朗日函數(shù),各節(jié)點處靜力平衡方程個數(shù)就是拉格朗日乘子 λj的個數(shù)。

從以上算例計算結(jié)果可以看出：本文方法還可以計算非線性材料桁架的內(nèi)力和位移，所得計算結(jié)果精度很高，因為采用拉格朗日乘數(shù)法求解靜不定桁架內(nèi)力所得到的結(jié)果是精確解析解；采用拉格朗日乘數(shù)法求解靜不定平面、空間靜不定梁、圓弧形結(jié)構(gòu)、剛架內(nèi)力、桁架內(nèi)力的方法通用性較強(qiáng)，不但可以克服常規(guī)方法需利用幾何關(guān)系建立協(xié)調(diào)方程的缺陷,而且具有力學(xué)概念清晰直觀、計算過程簡潔、便于工程設(shè)計人員在實際中掌握和應(yīng)用的優(yōu)點，可以用來檢驗其他方法的計算精度。

文獻(xiàn)[3?4]利用位移法研究了超靜定桁架變形協(xié)調(diào)方程，文獻(xiàn)[5?6]本質(zhì)上都是利用矢量分析法研究超靜定桁架變形協(xié)調(diào)方程，文獻(xiàn)[7?9]采用微分研究了超靜定桁架變形協(xié)調(diào)方程。以上方法全部依賴建立變形協(xié)調(diào)方程求解靜不定桁架內(nèi)力。本文采用拉格朗日乘數(shù)法求解靜不定桁架內(nèi)力的方法有固定規(guī)律可循，從真正意義上克服了依賴桁架桿件變形幾何關(guān)系求解靜不定桁架內(nèi)力的困難。

5　結(jié)論

1)對采用拉格朗日乘數(shù)法求解靜不定桁架內(nèi)力的問題進(jìn)行了數(shù)學(xué)證明。

2)計算平面或空間靜不定梁、圓弧形結(jié)構(gòu)、剛架內(nèi)力及約束反力時，可利用靜不定結(jié)構(gòu)的靜力平衡方程來構(gòu)造拉格朗日函數(shù)。

3)求解內(nèi)部靜不定桁架各桿件內(nèi)力，僅能利用支座節(jié)點除外的桁架其他各節(jié)點處靜力平衡方程來構(gòu)造拉格朗日函數(shù)。求解外部靜不定桁架各桿件內(nèi)力時，若當(dāng)桁架各桿件內(nèi)力用桁架支座反力全部表示出來，則可利用桁架的靜力平衡方程來構(gòu)造拉格朗日函數(shù)；若當(dāng)桁架各桿件內(nèi)力不用桁架支座反力全部表示出來時，則可利用支座節(jié)點以外的桁架其他各節(jié)點處靜力平衡方程來構(gòu)造拉格朗日函數(shù)。

4)采用拉格朗日乘數(shù)法求解靜不定桁架內(nèi)力的通用性較強(qiáng)，不但可以克服常規(guī)方法需利用幾何關(guān)系建立協(xié)調(diào)方程的缺陷,而且具有力學(xué)概念清晰直觀、計算過程簡潔、便于工程設(shè)計人員在實際中掌握和計算的優(yōu)點，可以用來檢驗其他方法的計算精度。

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(編輯 陳燦華)

A general method of solutions for engineering statically indeterminate structure force

WU Xiao
(College of Mechanical Engineering,Hunan University of Arts and Science,Changde 415000,China)

Abstract:Force method and displacement method are usually adopted forCalculation of engineering statically indeterminate structure force in materials mechanics and structure mechanics.Because equilibrium state of statically indeterminate structure is a stable one under external load,there are the minimum values for strain energy.Based on the extra restraint force of statically indeterminate structure,the expression of strain energy was presented.With the introduction of Lagrange multiplier andCombined with the static equilibrium equation,the Lagrange function was established.The values of first derivative of Lagrange function were set as 0,and the force values of statically indeterminate structure were gotten.The results show that this method is suitable for the solution of restraint reaction,force and displacement for plane statically indeterminate(or space statically indeterminate),arc structure,steel frame and truss(including nonlinear material).The method of Lagrange multiplier for the solutions of statically indeterminate truss forceCan be widely applied.It overcomes the defects of establishingCoordinate equations by the geometry relations in regular method.The forceConcept isClear,theCalculation is simple and it is easy to be mastered by the engineering technician.As the analytical solution is accurate,itCan be used toCheck theCalculation accuracy obtained by other methods.

Key words:statically indeterminate? structure? force? equilibrium? Lagrange function

中圖分類號：O342

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1672?7207(2016)01?0262?11

DOI:10.11817/j.issn.1672-7207.2016.01.036

收稿日期：2015?01?12；修回日期：2015?03?22

基金項目(Foundation item)：湖南省科技計劃項目(2011SK3145)；湖南“十二五”重點建設(shè)學(xué)科項目(湘教發(fā)[2011]76 號)；湖南省自然科學(xué)基金資助項目(2015JJ6073)(Project(2011SK3145)supported by the Science and Technology Plan of Hunan Province；Project([2011]76)supported by the Hunan“Twelfth Five Year Plan” KeyConstruction? Project(2015JJ6073)supported by the Natural Science Foundation of Hunan Province)

通信作者：吳曉，教授，從事結(jié)構(gòu)振動理論研究；E-mail: wx2005220@163.com