預(yù)設(shè)應(yīng)然，道理釋然

陳六一　柯曉莉

筆者聆聽(tīng)了某市優(yōu)質(zhì)課評(píng)比活動(dòng)中的10節(jié)數(shù)學(xué)課，都暴露著一個(gè)同樣的教學(xué)尷尬問(wèn)題：在相同教學(xué)內(nèi)容的處理中，教師們自認(rèn)為應(yīng)是水到渠成的預(yù)設(shè)，學(xué)生卻不領(lǐng)情，始終走不進(jìn)教案。為什么會(huì)出現(xiàn)如此的窘境？是學(xué)生的問(wèn)題嗎？我們?cè)撛鯓臃此寂c重構(gòu)自己的課堂教學(xué)？

一、望：教學(xué)再現(xiàn)

【案例1】9加幾

教師出示問(wèn)題：盒子里有9個(gè)蘋(píng)果，盒子外有4個(gè)蘋(píng)果。提問(wèn)：一共有多少個(gè)蘋(píng)果？學(xué)生回答：9+4=13。教師追問(wèn)：你是怎樣算出9+4等于13的？

生1：用腦袋算的。（聽(tīng)課教師和學(xué)生都笑了。）

師：能說(shuō)說(shuō)你是怎樣用腦袋算的嗎？

生1：用腦袋使勁算的。（聽(tīng)課教師和學(xué)生笑得更歡了。）

師：有不一樣的算法嗎？

生2：9+4，就是往9的后面數(shù)4個(gè)，10、11、12、13。

師：還有不一樣的想法嗎？

生3：9+1=10，4-1=3，10+3=13。

生4：我用小棒代替蘋(píng)果，先數(shù)9根，再數(shù)4根，一起數(shù)就是13根。

【案例2】釘子板上的多邊形

當(dāng)學(xué)生完成上圖任務(wù)后，教師問(wèn)：你們發(fā)現(xiàn)了什么樣的規(guī)律？學(xué)生異口同聲：多邊形的面積=多邊形邊上的釘子數(shù)÷2。教師引導(dǎo)小結(jié)：當(dāng)a=1時(shí)，S=n÷2。接著出示內(nèi)部釘子數(shù)為2枚的圖形，并完成如下表格。

學(xué)生填寫(xiě)完畢，教師再次提問(wèn)：你們發(fā)現(xiàn)了什么樣的規(guī)律？

生：當(dāng)a=2時(shí)，S=n÷2+a-1。（教師有點(diǎn)意外，頓時(shí)不知所措。）

二、問(wèn)：教師答疑

縱觀以上兩個(gè)教學(xué)片段，教師預(yù)設(shè)目標(biāo)非常明確，“9加幾”希望學(xué)生能說(shuō)出“湊十法”，“釘子板上的多邊形”則期望學(xué)生能看出“S=n÷2+1”的規(guī)律，可事與愿違。于是，賽課結(jié)束，筆者問(wèn)道：憑什么認(rèn)為你的預(yù)設(shè)一定生成？

教師的答案有這幾種：第一，這是教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，同時(shí)也是教學(xué)目標(biāo)。第二，自己回答這些問(wèn)題，感覺(jué)“湊十法”和“S=n÷2+1”是最佳答案。而且教低段學(xué)生的教師指出，在新授課之前，有計(jì)算比賽，學(xué)生算8加幾、7加幾比算10加幾要慢，那么10加幾的快捷應(yīng)該會(huì)在新知識(shí)的學(xué)習(xí)中有所遷移；教高段學(xué)生的教師也表示，當(dāng)多邊形內(nèi)部為一枚釘子時(shí)，學(xué)生能一起發(fā)現(xiàn)S=n÷2的規(guī)律，那么當(dāng)多邊形內(nèi)部為兩枚釘子時(shí)，面積S= n÷2+1是最容易遷移的規(guī)律，學(xué)生不應(yīng)該舍近求遠(yuǎn)。

教師們似乎有理有據(jù)，但案例中的教學(xué)目標(biāo)畢竟沒(méi)有達(dá)成。原來(lái)，課堂教學(xué)的藝術(shù)孕育于教學(xué)的科學(xué)，學(xué)生沒(méi)有走進(jìn)教師的預(yù)設(shè)，一定有一個(gè)為什么。

三、聞：應(yīng)然診斷

1.簡(jiǎn)單計(jì)算是語(yǔ)言的提取。 教育心理學(xué)發(fā)現(xiàn)：20以?xún)?nèi)的加減法計(jì)算通常是語(yǔ)言的提取。也就是說(shuō)，算9加幾的結(jié)果，學(xué)生無(wú)需用上邏輯推理，而是技能自動(dòng)化之后的語(yǔ)言記憶。所以“案例1”中教師問(wèn)學(xué)生：“你是怎樣算出9+4的？”學(xué)生回答“用腦袋算的”是真切的體現(xiàn)。至于生2和生4是被教師逼問(wèn)，才有了解題的下策；盡管生3的回答最能體現(xiàn)“十進(jìn)制”的優(yōu)越性，且符合“多位數(shù)加減法其實(shí)是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)相加減”的本質(zhì)，可是不屬于先湊十再相加的既定套路，所以課堂中也就被“還有不一樣的想法嗎”和“請(qǐng)下一個(gè)同學(xué)回答”一筆帶過(guò)了。教學(xué)尾聲，教師們一般都會(huì)讓學(xué)生觀察“9+2、9+3、9+4……9+9”中個(gè)位數(shù)字與算式中后一個(gè)加數(shù)的規(guī)律，以幫助學(xué)生快速得出答案，其實(shí)也是為了實(shí)現(xiàn)脫口而出的計(jì)算效果。只是，在教學(xué)的起始階段，學(xué)生已經(jīng)脫口而出了，教師卻不做肯定，還讓學(xué)生被動(dòng)經(jīng)歷一個(gè)操作、觀察、語(yǔ)言表達(dá)以及計(jì)算湊十的過(guò)程，再要求學(xué)生達(dá)到課堂開(kāi)始的脫口而出，學(xué)生反而已被一個(gè)個(gè)“你是怎么想的”弄糊涂了。

2.缺乏圖形支架容易滋生多種表象圖式?！鞍咐?”中學(xué)生沒(méi)有得出教師認(rèn)為的最容易的規(guī)律S=n÷2+1，其實(shí)都是數(shù)據(jù)惹的禍。由于缺乏動(dòng)態(tài)圖形的直觀幫助，學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)面積變化的本質(zhì)：由于內(nèi)部釘子數(shù)的增加，帶來(lái)了面積的改變。這樣只觀察靜態(tài)表格中“2、5、3.5”“ 2、6、4”“ 2、9、5.5”，學(xué)生自然會(huì)想到要把每組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)字都要用上，所以就有了S=（n+a）÷2的結(jié)論。當(dāng)然，用“下一個(gè)”“再下一個(gè)”的方式，也一定會(huì)有學(xué)生說(shuō)出S=n÷2+1。不過(guò)，當(dāng)有學(xué)生答出S=n÷2+a-1時(shí)，說(shuō)明這個(gè)學(xué)生已經(jīng)建構(gòu)了“當(dāng)a=2時(shí)，S=n÷2+1”的模型，甚至類(lèi)比出了當(dāng)a=3時(shí)，S=n÷2+2；當(dāng)a=4時(shí)，S=n÷2+3……從而抽象概括出了面積S的通項(xiàng)公式。顯然，學(xué)生已經(jīng)走得很遠(yuǎn)了，而我們的教學(xué)還停留在上一個(gè)階段。

四、切：重構(gòu)釋然

1.怎樣教基于怎樣學(xué)

【重構(gòu)1：9加幾】

師：我怎么覺(jué)得9+4=12，是我算錯(cuò)了，還是你們錯(cuò)了？

生1：老師，你看，9+4，就是往9的后面數(shù)4個(gè)，10、11、12、13。

師：看來(lái)是我算錯(cuò)了，我最近老是算錯(cuò)，誰(shuí)有什么辦法幫幫我呀？

生2：把9看作10，然后把4少看1個(gè)，10+3你肯定不會(huì)算錯(cuò)的。

師：怎么10+3就不會(huì)錯(cuò)了？

生3： 10加幾就是十幾呀。

生4：9+1=10，4-1=3，10+3=13。

師：生2和生4都是想老師把9加4變成……

生5：10+3。

師：那我得到一個(gè)啟發(fā)，是不是可以將9+5變成……

生6：10+4。

師：9+6？

生7：10+5。

師：哪來(lái)的10呀？

生8：從4、5、6里分一個(gè)給9就是10呀。

教師知道學(xué)生會(huì)算9+4=13，但是故意出錯(cuò)，誘導(dǎo)學(xué)生幫助教師改錯(cuò)，這樣數(shù)數(shù)、擺小棒便不是案例1中無(wú)趣的動(dòng)手，而是數(shù)學(xué)證明。“誰(shuí)有什么辦法幫幫教師呀”不是語(yǔ)言提醒就能實(shí)現(xiàn)的任務(wù)，需要一定的道理，“湊十”的預(yù)設(shè)也就得以實(shí)現(xiàn)。也許你覺(jué)得原本的教學(xué)片段和重構(gòu)中的教學(xué)片段學(xué)生有相近的回答。不錯(cuò)！可是，一個(gè)是被動(dòng)，一個(gè)是主動(dòng)，一個(gè)操作是無(wú)奈的，一個(gè)操作是展示智慧的平臺(tái)；更重要的，看似學(xué)生在幫助老師，其實(shí)是在無(wú)痕地給反應(yīng)慢的、沒(méi)有很好方法的學(xué)生一些示范；那些速度快的同學(xué)在教師“哪來(lái)的10呀”的問(wèn)話中再做深層次的思考，這樣“不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。

2.合情推理基于演繹推理

【重構(gòu)2：釘子板上的多邊形】

師：我們把剛才研究的三角形再請(qǐng)回來(lái)。

生：三角形邊上的釘子數(shù)沒(méi)有增加，但是面積變大了，面積大了1平方厘米。

師：面積增加的地方在哪里？怎么就知道是1平方厘米？

生：面積增加在兩個(gè)“翅膀”上，由于內(nèi)部釘子數(shù)增加了1，那么“翅膀” 上的兩個(gè)三角形底是1，高也是1，增加的面積就是（1×1÷2）×2=1平方厘米。

師：原來(lái)的面積可用S=n÷2+a-1表示，那現(xiàn)在的面積呢？

生：當(dāng)a=2時(shí)，S=n÷2+1。

因?yàn)闅w納推理是從特例出發(fā)，所以往往引發(fā)多種邏輯取向；如果在歸納的時(shí)候，輔以簡(jiǎn)單演繹，例如在重構(gòu)2中，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形的變化，學(xué)生直觀感知了面積在增加，而且內(nèi)部每增加1枚釘子，圖形邊上的釘子數(shù)不變的時(shí)候，面積逐步增大了1平方厘米。于是，多維猜測(cè)就變成了唯一可能。之后，整合S=n÷2+1，S=n÷2+2，S=n÷2+3……學(xué)生不但會(huì)類(lèi)比出S=n÷2+a-1，還可以借助于圖形說(shuō)出a=1時(shí)，即當(dāng)圖形內(nèi)部釘子數(shù)為1時(shí)，面積是S=n÷2，然后每增加一枚釘子，面積要增加1平方厘米。

3.教學(xué)有效基于數(shù)學(xué)本身

“不是教教材，而是用教材教”的理念已經(jīng)深入人心，雖是至理，只是對(duì)數(shù)學(xué)文本的解讀，不僅是對(duì)某一個(gè)教材例題知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行詮釋?zhuān)沂墙處熞疃壤斫膺@一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的“前世”和“未來(lái)”，以及在“前世”“當(dāng)下”和“未來(lái)”的這條線中，哪一個(gè)點(diǎn)才是核心。

例如“9加幾”的“前世”是數(shù)數(shù)，“未來(lái)”是多位數(shù)加減法的算理和加法結(jié)合律，其核心點(diǎn)確實(shí)是“湊十”。不過(guò)，這里的“十”并不是簡(jiǎn)單的十個(gè)“一”，而是一個(gè)不同于“一”的計(jì)數(shù)單位， 9加幾的學(xué)習(xí)，其“湊十”的實(shí)質(zhì)是“滿十進(jìn)一”，將多個(gè)1用兩種計(jì)算單位組合，是計(jì)數(shù)的擴(kuò)張，即數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需求。再例如“釘子板上的多邊形”，其“前世”是多邊形面積計(jì)算，“未來(lái)”是“格點(diǎn)上的面積”，即皮克定理，其核心點(diǎn)是面積規(guī)律的逐步概括。但是，這個(gè)規(guī)律對(duì)于其最初的發(fā)現(xiàn)者皮克來(lái)說(shuō)，是一個(gè)智力游戲；對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，“釘子板上的多邊形”的學(xué)習(xí)是讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。

總之，盡管本文的兩個(gè)教學(xué)案例并不屬于同一個(gè)維度，但是帶給教師的教學(xué)困惑是一樣的，學(xué)生的理解與回答，與教師的所謂精心預(yù)設(shè)不合拍。當(dāng)然，由于是不同的教學(xué)內(nèi)容，所以“不合拍”的具體理由自然也是不一樣的，卻帶給了我們相似的啟發(fā)：教學(xué)預(yù)設(shè)要講道理；數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性離不開(kāi)數(shù)學(xué)本身。