結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化理論及其在橋梁結(jié)構(gòu)找型中的應用

陳艾榮， 常　成,2， 馬如進， 任麗莎

(1.同濟大學 土木工程學院，上海 200092; 2. 澳汰爾工程軟件(上海)有限公司，上海 200436;3. 同濟大學 設(shè)計創(chuàng)意學院，上海 200092)

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結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化理論及其在橋梁結(jié)構(gòu)找型中的應用

陳艾榮1， 常成1,2， 馬如進1， 任麗莎3

(1.同濟大學 土木工程學院，上海 200092; 2. 澳汰爾工程軟件(上海)有限公司，上海 200436;3. 同濟大學 設(shè)計創(chuàng)意學院，上海 200092)

摘要：從物理模型、數(shù)學模型和優(yōu)化算法三個方面系統(tǒng)闡述了結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的基本原理.通過實例介紹了應用拓撲優(yōu)化技術(shù)進行橋梁結(jié)構(gòu)找型的方法，并展示了拓撲優(yōu)化中結(jié)構(gòu)衍化過程及優(yōu)化結(jié)果.針對目前結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化技術(shù)運用在橋梁找型中所面臨的困難，探討了未來研究的方向.研究表明,結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法可以在橋梁概念設(shè)計階段得出合理而新穎的結(jié)構(gòu)形式，在橋梁找型方面具有良好的應用前景.

關(guān)鍵詞：橋梁工程； 拓撲優(yōu)化； 變密度法； 結(jié)構(gòu)找型

結(jié)構(gòu)的設(shè)計目標是以最小的成本來滿足使用性能的要求.傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計中，結(jié)構(gòu)的最初形態(tài)主要源自設(shè)計師的經(jīng)驗和直覺.雖然在此基礎(chǔ)上結(jié)構(gòu)還需要通過進一步的優(yōu)化與驗算來確保其滿足各項要求，但結(jié)構(gòu)形態(tài)并不會發(fā)生太大的變化.在結(jié)構(gòu)設(shè)計初期，每一個決定都會對結(jié)構(gòu)在全壽命周期內(nèi)的性能產(chǎn)生重要而深遠的影響[1].傳統(tǒng)的基于經(jīng)驗與直覺的設(shè)計模式具有很大的偶然性和盲目性，且一定程度上限制了橋梁體系與形式的創(chuàng)新.因此，目前結(jié)構(gòu)設(shè)計中迫切需要一種能夠在設(shè)計初期為設(shè)計師提供結(jié)構(gòu)合理初始形態(tài)的找型手段，結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化技術(shù)就是在這樣的背景下應運而生.

結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化為結(jié)構(gòu)優(yōu)化的一種，相對于傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，該方法不需要給定一個初始結(jié)構(gòu)形態(tài)，而只需設(shè)定結(jié)構(gòu)的空間范圍以及荷載與支撐等邊界條件，通過結(jié)構(gòu)分析技術(shù)與非線性優(yōu)化算法就能夠自行找出設(shè)計域內(nèi)合理的結(jié)構(gòu)形態(tài).因此，結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化不僅是一種結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)，更是一種計算機輔助造型技術(shù)，可用于結(jié)構(gòu)設(shè)計初期進行結(jié)構(gòu)找型.

近20年來，隨著計算機技術(shù)和有限元技術(shù)的成熟，拓撲優(yōu)化技術(shù)得到了飛速發(fā)展.各種新的拓撲優(yōu)化方法被不斷提出.Altair公司的OptiStruct[2]和solidThinking、Dassault公司的Tosca以及MSC軟件公司的Nastran等許多商用有限元軟件都已能實現(xiàn)拓撲優(yōu)化功能.航空航天、機械制造、微機電制造以及土木工程等多種設(shè)計與制造行業(yè)中，拓撲優(yōu)化方法也都得到了越來越廣泛的應用.

1物理模型

物理模型是研究拓撲優(yōu)化問題的基礎(chǔ)，為使優(yōu)化過程中結(jié)構(gòu)的拓撲形式可以發(fā)生改變，需要有一種物理模型可以用較少的設(shè)計變量來描述設(shè)計域內(nèi)各種可能的拓撲形式.早期的拓撲優(yōu)化采用桿系模型，通過在設(shè)計域內(nèi)布置大量的節(jié)點和桿件以期涵蓋設(shè)計域內(nèi)盡可能多的結(jié)構(gòu)形式.但隨著均勻化方法的提出，早期的桿系模型逐漸被連續(xù)體模型所取代.

1.1均勻化方法

均勻化方法是由Bends?e和Kikuchi[3]首次提出，采用了具有微結(jié)構(gòu)的復合材料模型.該模型可看作微結(jié)構(gòu)胞元在優(yōu)化空間內(nèi)的周期性分布，每個胞元由3個幾何參數(shù)來描述，然后采用均勻化方法求解不同微結(jié)構(gòu)構(gòu)成下的結(jié)構(gòu)材料宏觀特性，從而得到材料宏觀特性與微結(jié)構(gòu)胞元3個幾何參數(shù)間的函數(shù)關(guān)系，通過對微觀胞元3個幾何參數(shù)的尺寸優(yōu)化即可實現(xiàn)宏觀結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化.由于具有3個參數(shù)，因此可以描述非均勻各向異性材料甚至復合材料.

均勻化方法的物理模型具有嚴謹?shù)牧W理論基礎(chǔ)，是目前最完備的拓撲優(yōu)化物理模型.但該模型中每個胞元需3個變量描述，均勻化材料彈性張量的求解仍非常復雜.因此，均勻化方法目前很少用于宏觀結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的求解，而一般僅用于拓撲優(yōu)化理論分析和復合材料的拓撲優(yōu)化問題.

1.2變密度法

在實際工程中，大多人工制造材料都可視為各向同性材料，由此可以對均勻化方法中的設(shè)計變量進行簡化.變密度法的基本思想最早由Bends?e[4]提出.作為均勻化方法的一項平行研究，該方法引入一種假想的相對密度在0～1之間可變的材料，并通過材料密度插值函數(shù)來定義材料的彈性模量與密度之間的關(guān)系.優(yōu)化問題中以各個單元的材料密度作為設(shè)計變量，使每個單元的設(shè)計變量由均勻化方法中的3個簡化為1個.

由于中間密度的材料在實際中很難制造，所以優(yōu)化結(jié)果中的中間密度單元應越少越好.為此，一般在定義材料密度插值函數(shù)時需要對單元密度在0～1之間的單元剛度進行懲罰，從而迫使中間密度單元轉(zhuǎn)換為實單元或空單元.許多函數(shù)都可以用來描述中間密度單元密度變量和彈性模量之間的關(guān)系[5]，這樣的函數(shù)一般稱作材料密度插值函數(shù).實體各向同性材料懲罰密度法(solid isotropic micro-structures with penalization for intermediate densities, SIMP)是目前最為常用的材料密度插值函數(shù)，采用冪函數(shù)的形式對中間密度單元進行剛度懲罰.

變密度法簡化了均勻化方法中的設(shè)計變量，并能夠較準確地模擬各向同性材料，是目前連續(xù)體拓撲優(yōu)化中最為常用的物理模型.

1.3離散變量法

在變密度法中由于采用了0～1連續(xù)變量作為設(shè)計變量，所以優(yōu)化結(jié)果中通常將不可避免地出現(xiàn)中間密度單元.離散變量法放棄了連續(xù)的設(shè)計變量，轉(zhuǎn)而直接采用離散的0/1設(shè)計變量.

漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法(evolutionary structural optimization, ESO)是離散變量法中最為重要的分支[6-7].早期的漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法基于一種簡單直觀的優(yōu)化策略，首先使結(jié)構(gòu)材料填滿整個優(yōu)化區(qū)域，然后逐步將優(yōu)化區(qū)域內(nèi)傳力效率較差的單元去掉，直到結(jié)構(gòu)的體積達到指定約束.為解決漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法單元誤刪之后難以恢復的問題，雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法(bi-directional evolutionary structural optimiza-tion, BESO)在刪除單元的同時還提供了一種單元再生的機制[8-9].

采用離散設(shè)計變量的漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法基于普遍認同的生物進化理論.該方法簡單而有效，便于在已有有限元軟件基礎(chǔ)上進行二次開發(fā)，并已被用于多個實際工程設(shè)計中.

此外，基于離散變量法的物理模型，也可以采用遺傳算法[10]、粒子群算法[11]和蟻穴算法[12]等具有全局搜索能力的智能算法.但目前這些方法尚不成熟，難以用于大型復雜拓撲優(yōu)化問題的求解.

1.4水平集法

水平集方法(level set method)是國外學者Osher和Sethian[13]提出的一種用于追蹤運動邊界的數(shù)值方法，在圖像處理、流體力學等方向有著廣泛的應用.Sethian和Wiegmann[14]把水平集方法引入結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域.采用水平集方法求解拓撲優(yōu)化問題最大的優(yōu)點在于它可以用一種隱含的方式靈活地描述結(jié)構(gòu)的拓撲變化.所有有關(guān)結(jié)構(gòu)拓撲和結(jié)構(gòu)邊界的信息都體現(xiàn)在水平集函數(shù)之中，在整個結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程之中無需顯式地提取出結(jié)構(gòu)的邊界.

變密度法源于均勻化方法，而離散變量法可以視為對變密度法的簡化.水平集法與其他3種方法截然不同，是從全新的角度去描述優(yōu)化問題的物理模型.4種物理模型的主要特點如表1所示.

2數(shù)學模型

經(jīng)典結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題中，通常將結(jié)構(gòu)的柔度(compliance)作為優(yōu)化的目標，結(jié)構(gòu)材料的體積作為限制.結(jié)構(gòu)柔度以結(jié)構(gòu)應變能的形式表示，通過優(yōu)化使結(jié)構(gòu)的柔度盡可能小，也就使得結(jié)構(gòu)的剛度盡可能大.結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題本質(zhì)上是一個非線性優(yōu)化問題，其數(shù)學模型可寫作如下數(shù)學表達式[15]：

表1　物理模型比較

KU=F

(1)

式中：f(ρ)和g(ρ)分別為目標函數(shù)和約束函數(shù)，ρ為單元密度變量ρe所構(gòu)成的N維向量，N為單元個數(shù)；U和F分別為節(jié)點位移向量和節(jié)點力向量；p為單元密度懲罰因子；ue為單元位移分量；k0為單元密度為1時的單元剛度矩陣;K為總剛度矩陣；V(ρ)為結(jié)構(gòu)材料的總體積；V*為體積限值.由于設(shè)計空間內(nèi)通常被均勻劃分為體積為1的單元，所以約束函數(shù)中的體積等于單元密度的累加.

目標函數(shù)的一階導數(shù)(也稱為靈敏度)是優(yōu)化算法中用于判斷單元傳力效率的重要參數(shù)，其表達式可以由下式導出：

(2)

式中：ke為單元e的單元剛度矩陣.

從式(2)可以看出，目標函數(shù)的靈敏度恒為負，這表明在設(shè)計空間內(nèi)任意位置增加單元密度都會導致結(jié)構(gòu)柔度下降.需要注意的是，式(2)成立的條件是荷載在優(yōu)化過程中不發(fā)生變化，當考慮密度相關(guān)荷載時,式(2)并不成立[16].

3優(yōu)化算法

由拓撲優(yōu)化的數(shù)學模型可知，拓撲優(yōu)化本質(zhì)上是一種非線性優(yōu)化問題，因此可以采用數(shù)學中經(jīng)典的非線性優(yōu)化算法對其進行求解.

3.1優(yōu)化準則法

優(yōu)化準則法很早就被用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中[17].在連續(xù)體拓撲優(yōu)化方法建立之后，優(yōu)化準則法就一直是求解該問題最為常用的優(yōu)化算法.

優(yōu)化準則法采用乘法的方式，以目標函數(shù)和約束函數(shù)的一階導數(shù)(即靈敏度)之商來更新單元密度變量.對于均勻劃分網(wǎng)格的優(yōu)化模型，約束函數(shù)梯度相等且一般為1，所以更新后的設(shè)計變量取決于目標函數(shù)的靈敏度.由于目標函數(shù)靈敏度都為負，且絕對值越大表明該單元越有效,所以，當一個單元的目標函數(shù)靈敏度小于闕值，則更新后的單元密度增大，反之亦然.由于體積約束函數(shù)隨變量單調(diào)變化，因此可采用對分法(bisection method)來求解闕值，以確保更新后的單元密度變量滿足體積約束條件.

3.2移動漸近線法

移動漸近線法(method of moving asymptotes, MMA)是一種數(shù)學規(guī)劃算法，適用于求解拓撲優(yōu)化這種平滑的非線性優(yōu)化問題[18].

結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的目標函數(shù)通常為關(guān)于設(shè)計變量的隱函數(shù)，為尋找目標函數(shù)的最優(yōu)值，移動漸進法利用當前設(shè)計點的目標函數(shù)值和一階導數(shù)值構(gòu)造一個簡單的凸函數(shù)，使其在當前設(shè)計點上與實際的目標函數(shù)一階近似.這樣原優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為具有顯函數(shù)的凸優(yōu)化問題，可采用原始對偶法(primal dual method)求解近似函數(shù)上的最優(yōu)值.

CONLIN(convex linearization method)算法可視為移動漸進法中漸近線固定時的一種特殊情況[19].用該算法對結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題求解所得出的變量更新方案與優(yōu)化準則法相同.大量實驗表明，該算法對于求解拓撲優(yōu)化問題十分有效.

MMA類算法的關(guān)鍵是通過近似的簡單的凸函數(shù)去逼近實際復雜的隱函數(shù)，但是當優(yōu)化問題復雜時，尋找一個穩(wěn)定且合適的函數(shù)去逼近實際結(jié)構(gòu)會變的很難.而通過計算當前設(shè)計點處一階和二階導數(shù)信息來構(gòu)建近似函數(shù)的過程也增大了編程的難度和計算的成本.

3.3梯度投影法

梯度投影法(gradient projection method, GPM)是一種經(jīng)典的非線性優(yōu)化算法[20-21].與MMA系列算法不同，該方法不需要對目標函數(shù)和約束函數(shù)進行近似，而是直接對原優(yōu)化問題進行最優(yōu)點搜索.在尋優(yōu)過程中每個迭代步的關(guān)鍵是如何確定搜索方向和前進步長.

對于無約束優(yōu)化問題，目標函數(shù)的梯度是當前設(shè)計點處最“陡峭”的方向，沿該方向的反向前進則目標函數(shù)值下降最快.對于有約束的優(yōu)化問題，梯度投影法采用了“約束的最速下降方向”，即目標函數(shù)負梯度在約束平面或約束曲面的切平面上的投影作為設(shè)計點的搜索方向.沿梯度投影方向移動后的設(shè)計點可能超出可行域，這時需要沿約束函數(shù)的梯度(或負梯度)方向?qū)υO(shè)計點進行糾正，使其返回到約束面上.

結(jié)構(gòu)優(yōu)化中對于目標函數(shù)的一次求值一般意味著一次結(jié)構(gòu)分析.在經(jīng)典的梯度投影法中步長的確定需要一維搜索來找出最佳的步長，而一維搜索需要進行多次的目標函數(shù)求值.所以經(jīng)典的梯度投影法一般因效率較低而被認為不適于求解結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題[19].為提高梯度投影法的計算效率，Chang等人[16, 22]提出了梯度投影法的改進方案,放棄了經(jīng)典算法中所采用的通過一維搜索來確定步長的方法，而采用一種動態(tài)調(diào)整步長的策略.步長不必為最優(yōu)，只需保證其在一個合理的范圍內(nèi).合理范圍的步長應在優(yōu)化效率與收斂穩(wěn)定性之間取得平衡，引起設(shè)計變量在一個迭代步中變化過大或過小的步長將在下一個迭代步中得到調(diào)整.

3種優(yōu)化算法中，優(yōu)化準則法通用性較強，便于在通用有限元軟件中進行二次開發(fā)，但優(yōu)化效率較低，一般需要較多迭代次數(shù).移動漸進線法的魯棒性較強，需要通過目標函數(shù)與約束函數(shù)的導數(shù)信息來構(gòu)造目標函數(shù)與約束函數(shù)的近似函數(shù)，因此適用于約束條件較少的情況.梯度投影法是一種直接尋優(yōu)算法，效率較高，但易于陷入局部最優(yōu)值，需要輔以優(yōu)化穩(wěn)定措施.

4結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化過程

運用拓撲優(yōu)化進行結(jié)構(gòu)找型時，首先需要定義設(shè)計域的范圍，一般采用長方形(或長方體)來限制結(jié)構(gòu)材料可能出現(xiàn)的位置，并將其離散為可用于結(jié)構(gòu)分析的有限元模型.單元應在計算能力允許的條件下盡可能劃分得小一些，以便得出精細的優(yōu)化結(jié)果.其次，需要按照實際結(jié)構(gòu)的情況對優(yōu)化模型施加相應的荷載與約束條件.然后，定義拓撲優(yōu)化過程中所需的優(yōu)化參數(shù)，包括保留材料的比例、過濾函數(shù)半徑、收斂準則的闕值等.最后，采用優(yōu)化算法對該模型進行優(yōu)化.

結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題中結(jié)構(gòu)響應與設(shè)計變量之間一般是非線性的隱式關(guān)系，所以采用非線性優(yōu)化算法時需要通過多個迭代步對設(shè)計變量進行逐步更新，以使其逐漸逼近最優(yōu)設(shè)計.

圖1為一座懸索橋橋塔的拓撲優(yōu)化過程，隨著優(yōu)化的進程，結(jié)構(gòu)材料從均勻分布的混沌狀態(tài)逐漸向結(jié)構(gòu)的有效傳力路徑匯聚，最終形成了具有交叉斜撐的橋塔結(jié)構(gòu)方案.

圖1橋塔拓撲優(yōu)化過程

Fig.1Topology optimization process of a bridge tower

5橋梁找型中的應用

橋梁結(jié)構(gòu)是一種在空間內(nèi)分布較為稀疏的結(jié)構(gòu)，尤為適合采用拓撲優(yōu)化技術(shù)進行結(jié)構(gòu)找型.榮見華等[23]很早就嘗試采用漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法對橋梁結(jié)構(gòu)進行找型.左孔天[24]利用拓撲優(yōu)化方法對趙州橋結(jié)構(gòu)形式的合理性進行了分析.陳艾榮等[25-26]將結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化作為一種重要的橋梁造型手段，基于拓撲優(yōu)化結(jié)果進行了橋梁整體和局部構(gòu)件的結(jié)構(gòu)找型.

5.1整體找型

拓撲優(yōu)化技術(shù)在結(jié)構(gòu)整體找型時可以不受已有橋梁結(jié)構(gòu)體系的思維束縛，得出不拘一格的結(jié)構(gòu)形式，因此深受設(shè)計師的青睞.

法國RFR設(shè)計事務所的設(shè)計師Andreas Schnubel[27]在Abu Dhabi的一座人行橋方案設(shè)計中采用了拓撲優(yōu)化技術(shù)對橋梁整體進行找型，并基于拓撲優(yōu)化的結(jié)果提出了一種有機態(tài)的人形橋設(shè)計方案，如圖2所示.

該設(shè)計方案與傳統(tǒng)的桁架結(jié)構(gòu)類似，但又有所不同.一方面，在桿件的整體布置上并未采用標準化的多個相同節(jié)段，而是根據(jù)全跨不同位置處彎矩與剪力的大小更加有效地確定腹桿的疏密與弦桿的尺寸；另一方面，在桿件的構(gòu)件設(shè)計中并未采用傳統(tǒng)的等截面型材，而是在節(jié)點處桿件尺寸會有所增加，相鄰桿件間以自然的曲面相接.這樣的設(shè)計無疑會使結(jié)構(gòu)中的傳力更加平緩順暢，進而減小傳力路徑上節(jié)點處的應力集中.

5.2構(gòu)件找型

限于目前的橋梁制造與施工技術(shù)，橋梁整體結(jié)構(gòu)的拓撲找型方案較難實現(xiàn).因此，對橋梁的構(gòu)件進找型更加具有實用價值.

Briseghella等[28]將拓撲優(yōu)化方法用于減輕一座組合梁橋的自重，如圖3所示.該橋因建造經(jīng)費問題而一度停工，再建時卻發(fā)現(xiàn)原設(shè)計方案難以滿足新的抗震設(shè)計規(guī)范.為保留已建成的下部結(jié)構(gòu)，唯有減輕橋梁的上部結(jié)構(gòu).根據(jù)拓撲優(yōu)化的結(jié)果，新的設(shè)計中將鋼箱梁的翼緣部分進行挖空，從而在保證橋梁承載力與剛度的同時顯著降低了上部結(jié)構(gòu)的自重.

abc

圖3基于拓撲優(yōu)化的橋梁減重設(shè)計

Fig.3Weight reduction design of a bridge

based on topology optimization

對于一般的等高度簡支梁體，限定其方案中對稱與重復的形式，并施加單車道的偏載，在限定適當結(jié)構(gòu)材料用量的情況下，則可以得出與傳統(tǒng)箱梁相近的結(jié)構(gòu)形式，如圖4所示.

圖4　箱梁構(gòu)件的拓撲優(yōu)化[29]

5.3基于性能的材料找型

各種三維打印技術(shù)的興起，使得制造具有微結(jié)構(gòu)的復合材料變得可能.圖5所示，為采用SLM(selective laser melting)技術(shù)加工而成的晶格材料.該技術(shù)以金屬為基材，通過激光融化指定位置的金屬來生成三維模型所定義的結(jié)構(gòu)材料.

從細觀上來看，結(jié)構(gòu)材料中每一處的的應力狀態(tài)都是獨一無二的.因此，為使每一部分的結(jié)構(gòu)材料都發(fā)揮出最大的功效，需要根據(jù)各個晶格的受力情況分別設(shè)計.這樣的設(shè)計需求對于傳統(tǒng)的設(shè)計方式是一項極大的挑戰(zhàn)，唯有采用拓撲優(yōu)化技術(shù)才有可能借助于計算機的運算能力得出細觀上結(jié)構(gòu)材料的最佳分布方案.

圖5　SLM加工而成的晶格材料[30]

圖6所示為一塊受彎的結(jié)構(gòu)板材，優(yōu)化過程中限制其重復與對稱關(guān)系.

圖6受彎板拓撲優(yōu)化[29]

Fig.6Topology optimization of a bending plate

優(yōu)化結(jié)果中每個胞元的底板都形成了一個圓形孔洞，下底板與上頂板之間通過孔洞處的圓筒結(jié)構(gòu)相連.底板與頂板主要承擔彎矩，而圓筒結(jié)構(gòu)則用以抵抗剪力.與普通的等厚度板相比，在結(jié)構(gòu)材料用量一定的條件下，結(jié)構(gòu)的剛度得到顯著加強.不僅如此，以晶格為設(shè)計單元還可以通過拓撲優(yōu)化得出具有特殊力學性能的各向異性材料.

雖然該技術(shù)目前還只適用于小尺寸的材料，但隨著拓撲優(yōu)化技術(shù)與三維打印技術(shù)的迅猛發(fā)展，設(shè)計與生產(chǎn)具有微結(jié)構(gòu)的復合材料將會是未來制造業(yè)發(fā)展的一個重要方向.

6前景展望

在土木工程中，Tang[31]嘗試運用拓撲優(yōu)化技術(shù)來分析西班牙建筑師安東尼奧·高迪所設(shè)計的圣家族大教堂中“受難立面”(passion fa?ade)的結(jié)構(gòu)形態(tài).通過設(shè)置相似的邊界條件，拓撲優(yōu)化最終形成了相似的結(jié)構(gòu)形態(tài)，如圖7所示.拓撲優(yōu)化的結(jié)果與高迪的設(shè)計相互印證，一方面從力學角度說明高迪的結(jié)構(gòu)設(shè)計具有優(yōu)良的力學性能，另一方面從美學角度也表明結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計符合高迪所推崇的自然形態(tài)之美.

圖7　圣家族大教堂結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化分析[31]

結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化在土木工程領(lǐng)域中的應用才剛剛起步，目前僅運用于部分具有復雜形態(tài)的建筑結(jié)構(gòu)當中.隨著公眾審美水平的提升和施工制造技術(shù)的發(fā)展，未來建筑、橋梁的造型設(shè)計都會趨于復雜，因此需要結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化技術(shù)這種先進的計算機輔助設(shè)計手段來幫助設(shè)計師高效地得出具有自然形態(tài)之美且受力合理的結(jié)構(gòu)形式.為推進拓撲優(yōu)化方法在橋梁找型中的應用，未來應在以下方面進行深入研究：

(1) 目前成熟的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化算法大多采用基于梯度信息的連續(xù)搜索方式，通過使結(jié)構(gòu)逐漸進化從而最終達到最優(yōu).但是對于非凸優(yōu)化問題，可行域內(nèi)可能存在多個局部最優(yōu)點，而梯度信息不足以辨別局部最優(yōu)點和全局最優(yōu)點.因此，未來需要嘗試具有全局搜索能力的智能優(yōu)化算法.

(2) 實際土木結(jié)構(gòu)常常是鋼筋和混凝土兩種材料甚至是多種材料的組合.因此，需要研究包含多種材料的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題，并根據(jù)不同材料的特性制定結(jié)構(gòu)優(yōu)化的準則.

(3) 影響實際結(jié)構(gòu)最終形態(tài)的因素不只是傳力效率，還有可制造型、易維護性、美觀性等.未來需要研究具有不同性能目標的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法，并需要構(gòu)造包含多個優(yōu)化目標的總目標函數(shù)來綜合考量各個性能目標對結(jié)構(gòu)的影響.

(4) 為推廣結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化技術(shù)，需要改進拓撲優(yōu)化程序，使其具有靈活的模型定義方式，具有對網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)和索膜結(jié)構(gòu)這樣的空間曲面結(jié)構(gòu)進行找型優(yōu)化的能力.此外，還需進一步提高程序的計算效率，使其可以計算具有更小網(wǎng)格劃分的精細化模型.

(5) 拓撲優(yōu)化結(jié)果中存在的大量空間曲面，也正是這樣的形態(tài)使得結(jié)構(gòu)內(nèi)部力流平穩(wěn)順暢.對于如此復雜的結(jié)構(gòu)形態(tài)，傳統(tǒng)的土木工程施工技術(shù)難以實現(xiàn).因此，未來需要研究諸如可用于土木工程的三維打印技術(shù)等先進的施工制造技術(shù)以及便于加工為復雜形體的新型結(jié)構(gòu)材料.

7結(jié)論

拓撲優(yōu)化不僅是一種優(yōu)化方法，更是一種找型技術(shù)，對于推動結(jié)構(gòu)設(shè)計過程與方法的革新具有重要意義.

(1) 拓撲優(yōu)化依據(jù)設(shè)定的優(yōu)化目標與約束，通過優(yōu)化算法迭代得出結(jié)果.結(jié)構(gòu)的力學性能可得到有效保障.

(2) 拓撲優(yōu)化可以用于結(jié)構(gòu)設(shè)計初期的概念設(shè)計階段，從而對最終設(shè)計方案的生成產(chǎn)生深遠的影響.

(3) 拓撲優(yōu)化設(shè)計不受傳統(tǒng)設(shè)計經(jīng)驗的束縛，得出的方案可突破設(shè)計師的經(jīng)驗與想象.

(4) 未來結(jié)構(gòu)必將向著多樣化和輕量化發(fā)展.當已有的設(shè)計經(jīng)驗無法提供參考時，拓撲優(yōu)化或?qū)蔀榻Y(jié)構(gòu)設(shè)計中必不可少的一環(huán).

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Structural Topology Optimization Theory and Its Application in Form Finding of Bridges

CHEN Airong1, CHANG Cheng1,2, MA Rujin1, REN Lisha3

(1. College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. Altair Engineering Software (Shanghai) Co.,Ltd., Shanghai 200436, China; 3. College of Design and Innovation, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract：First, the physical model, the mathematic model and the algorithm of structural topology optimization was stated. Next, the application of topology optimization in form finding of bridges is elaborated via some examples, and the evolution process and the final layout of structural topology optimization were presented. Finally, some issues of future research were suggested to improve the application of topology optimization in form finding of bridges. The result shows that structural topology optimization can derive a reasonable and heuristic layout in the conceptual design phase, and has a promising prospect in form finding of bridges.

Key words：bridge engineering; topology optimization; density method; form finding of structures

收稿日期：2015-05-27

基金項目：中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金(20153793)；國家自然科學基金(51508388)

通訊作者：常成(1986—)，男，博士生，主要研究方向為結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論.E-mail: 06chang@#edu.cn

中圖分類號：U442.5

文獻標志碼：A

第一作者： 陳艾榮(1963—)，男，教授，博士生導師，工學博士，主要研究方向為橋梁壽命周期設(shè)計理論與方法，橋梁抗風.

E-mail: a.chen@#edu.cn