三維空間中Euler方程的中心差分方法

唐秀麗，王修慶

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，昆明 云南　650500)

三維空間中Euler方程的中心差分方法

唐秀麗，王修慶

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，昆明 云南650500)

摘要：Euler方程在流體動力學(xué)中扮演著極為重要的角色，目前，僅僅在理論上取得了很少的突破。對于Euler方程的研究，難度特別大。因而主要從數(shù)值解方面入手，對三維Euler方程的初邊值問題建立了中心差分格式，并分析了截斷誤差。 最后，通過Matlab 數(shù)值模擬了差分結(jié)果，并與精確解進行了誤差比較，驗證了理論結(jié)果。

關(guān)鍵詞：Euler方程；中心差分格式；精確解；截斷誤差

0引言

Euler方程是無粘性流體力學(xué)中最重要的方程之一。1755年，瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家Euler在《流體運動的一般原理》一書中首次提出無粘性流體運動力學(xué)中最重要的基本方程-- Euler方程。目前，Euler方程在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運輸、天文學(xué)、地學(xué)，生物學(xué)和醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域都已得到了廣泛的應(yīng)用。為此，眾多學(xué)者針對Euler方程開展了相關(guān)研究，由于Euler方程的理論研究[1-4]難度較大，進展緩慢，讓人們不知從何入手，而數(shù)值解可以給Euler 方程的研究提供一些信息[5-9]。從三維Euler方程著手，建立其中心差分格式,給出差分方法格式的解與精確解的誤差。

本文研究如下形式的三維Euler方程：

(1)

其中u=(u1,u2,u3)，ui=ui(x,y,z,t)(i=1,2,3)，p=p(x,y,z,t)。

1三維Euler方程中心差分格式與截斷誤差

1.1中心差分格式

建立方程(1) 的中心差分格式:

為了計算簡便，可將上式化解為如下形式：

1.2截斷誤差

對于方程(1)的解u(x,y,z,t),p(x,y,z,t)，關(guān)于t的向前差分的Taylor級數(shù)展開有

對變量x的中心差分格式進行Taylor級數(shù)展開有

故截斷誤差為

所以有

T1(x,y,z,t)=ο(τ+h2), T2(x,y,z,t)=ο(τ+h2),

T3(x,y,z,t)=ο(τ+h2), T4(x,y,z,t)=ο(h2)。

2三維Euler方程中心差分格式的解與精確解的誤差

2.1作圖

參考文獻[10,11]取Euler方程的精確解為：

對應(yīng)的初邊值為：

初始值

左邊界值

右邊界值

對MATLAB計算中相關(guān)數(shù)值，我們分別取如下兩組數(shù)據(jù)：

x0=-1,y0=-1,z0=-1,t0=0

h0=1.5,τ0=2,h=0.1,τ=0.1

及x0=0,y0=0,z0=0,t0=0

h0=2,τ0=2,h=0.1,τ=0.1。

差分解、精確解和誤差的圖像見圖：

圖1　數(shù)據(jù)組1Fig.1　Data set 1

圖2　數(shù)據(jù)組2Fig.2　Data set 2

圖中每行從左至右分別為真值圖、數(shù)值解的圖、兩者的誤差圖以及兩者的比較圖。

2.2誤差分析

由圖像可知：

每一列分別表示當時間層取1,2,…,14,15時相應(yīng)的真值圖、差分解的圖，兩者的誤差圖和兩者的比較圖。對第一組數(shù)據(jù)， 隨著t 的增大，吻合程度越來越高，當 t=8-9 時，誤差達到最小，為零。對第二組數(shù)據(jù)， 隨著t 的增大，吻合程度越來越高，當t=10 時，誤差達到最小，為零。

3收斂性分析

對上節(jié)所給出的方程(1)的初邊值問題，做出中心差分格式數(shù)值解相鄰兩層差值的標準差如下：

fork=1

u11(i,j,l)=(u11(i+1,j+1,1,l+1)-u11(i,j,1,l))2

u21(i,j,l)=(u21(i+1,j+1,1,l+1)-u21(i,j,1,l))2

u31(i,j,l)=(u11(i+1,j+1,1,l+1)-u11(i,j,1,l))2

fork=2:M-1

u11(i,j,l)=u11(i,j,l)+(u11(i+1,j+1,k+1,l+1)-u11(i,j,k,l))2

u21(i,j,l)=u21(i,j,l)+(u21(i+1,j+1,k+1,l+1)-u21(i,j,k,l))2

u31(i,j,l)=u31(i,j,l)+(u31(i+1,j+1,k+1,l+1)-u31(i,j,k,l))2

再令

對上節(jié)所給出的方程(1)的初邊值問題的第一組數(shù)據(jù)，分別取不同的時間步長和空間步長， 做出中心差分格式數(shù)值解相鄰兩層差值的標準差圖像，如下：

圖3，圖4表示在時間與空間步長越來越細的時候，中心差分數(shù)值解每相鄰兩層的差值標準差圖像。分析圖像可知，隨著時間的推移，時間層數(shù)的增加，數(shù)值解間的距離趨于零。所以Euler方程組(1)的中心差分格式是收斂的。

圖3　dt=0.05，dx=dy=dz=0.1Fig.3　dt=0.05,dx=dy=dz=0.1

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Central difference scheme of Euler equation in three dimensional spaces

TANG Xiuli，WANG Xiuqing

(Department of Mathematics, Yunnan Nationalities University，Kunming，Yunnan 650500,China)

Abstract:Euler equation plays an essential part in the learning of analytical dynamics. So far, there is not much theoretical breakthrough in this area. This paper will mainly propose a central difference method for the initial boundary value problem of Euler Equation and analysis the truncation errors of it. Finally, the numerical experiments through Matlab are provided to check the theoretical results.

Key words:Euler equation；central difference scheme； exact solution；truncation error

文章編號：1004—5570(2016)02-0071-05

收稿日期：2015-12-01

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(No.11561076)；云南民族大學(xué)研究生創(chuàng)新基金項目(No.2015YJCXY284)

作者簡介：唐秀麗(1991-)，女，碩士，研究方向：偏微分方程，E-mail:tangxiuli1991@126.com.

中圖分類號：O241.3

文獻標識碼：A