一類無限維Cartan型Lie代數(shù)的Witt子代數(shù)與模

姚廷富,施妮沙,吳宗顯,戴先勝

(1.貴陽學院 數(shù)學與信息科學學院,貴州 貴陽　550005;2.貴州師范大學 數(shù)學與計算機科學學院,貴州 貴陽　550001)

一類無限維Cartan型Lie代數(shù)的Witt子代數(shù)與模

姚廷富1,施妮沙1,吳宗顯1,戴先勝2*

(1.貴陽學院 數(shù)學與信息科學學院,貴州 貴陽550005;2.貴州師范大學 數(shù)學與計算機科學學院,貴州 貴陽550001)

摘要：主要討論了與Witt代數(shù)相關(guān)的一類無限維Cartan型Lie代數(shù)G的結(jié)構(gòu)，同時通過構(gòu)造法給出它的一類Witt子代數(shù)與一類模。

關(guān)鍵詞：無限維李代數(shù)；Witt子代數(shù)；模

0引言

Lie代數(shù)相關(guān)理論源于對李群的探討與研究，目前已經(jīng)成為代數(shù)學及其相關(guān)研究方向的一個主要內(nèi)容.Witt代數(shù)是一類重要的無限維的Lie代數(shù)，Lie代數(shù)的一些相關(guān)基本知識見文獻[1]。研究一個Lie代數(shù)的結(jié)構(gòu)及其子代數(shù)，討論其表示即模，是Lie代數(shù)的主要研究課題，非常有意義。文獻[2]研究了廣義Witt代數(shù)V=L(dα;α∈Q)的子結(jié)構(gòu)。文獻[3]研究與W代數(shù)相關(guān)聯(lián)的幾類無限維Lie代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示。本文討論了與Witt代數(shù)相關(guān)的一類無限維Cartan型Lie代數(shù)G的結(jié)構(gòu)，同時給出它的一類Witt子代數(shù)與一類模，本文的結(jié)果對豐富無限維Lie代數(shù)及其表示理論具有重要意義,而且為研究無限維Lie代數(shù)G的子代數(shù)的性質(zhì)以及模的性質(zhì)奠定了一定的基礎(chǔ)。

1基本知識

定義1.1[1]設(shè)L為域F上的向量空間，具有括積運算L×L→L,記為(x,y)|→[x,y],如果以下條件(L1)(L2)(L3)被滿足，則稱L為域F上的Lie代數(shù)。

(L1)括積運算是雙線性的；

(L2)[x,x]=0(?x∈L);

(L3)[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0(?x,y,z∈L)。(L3)稱為Jacobi等式.

定義1.2[1]設(shè)L為域F上的Lie代數(shù),V為域F上的向量空間,V被賦予一個運算L×V→V(記為(x,v)|→x·v)后，如果以下條件(M1)(M2)(M3)成立，則V被稱為域F上的一個L-模。

(M1)(ax+by)·v=a(x·v)+b(y·v);

(M2)x·(av+bw)=a(x·v)+b(x·w);

(?x,y∈L；?v,w∈V；?a,b∈F)。

2Lie代數(shù)(G，[,])的Witt子代數(shù)

2.1Lie代數(shù)(G，[,])的結(jié)構(gòu)

顯然G成為一個線性空間。

定理2.1設(shè)G為定義2.1所述，括積運算如下，

事實上，

2.2Lie代數(shù)(G，[,])的Witt子代數(shù)

于是

=(k-m)Lk+m∈L。

[Lk，Lm]=(k-m)Lk+m

具有Witt代數(shù)括積運算特征，因此L=(L，[，])成為上的Lie代數(shù)(G，[，])的Witt子代數(shù).證畢.

3Lie代數(shù)(G，[,])的模

則V必定一個G-模。

=αg·vk+βh·vk。

2)g·(αvk+βvt)=αg·vk+βg·vk顯然成立，因為G,V均為線性空間。

3)需要證[g,h]·vk=g·h·vk-h·g·vk成立。事實上，

右邊=g·h·vk-h·g·vk

經(jīng)計算得，

所以右邊=

故左邊=右邊。證畢。

參考文獻：

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Witt sub-algebras and modules of a class infinite dimensional Cartan type Lie algebras

YAO Tingfu1，SHI Nisha1，WU Zongxian1，DAI Xiansheng2*

(1.College of Mathematics and Information Science, Guiyang University, Guiyang ,Guizhou 550005;2.College of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal University, Guiyang ,Guizhou 550001)

Abstract:In this paper,the structures of a class infinite dimensional Cartan type Lie algebra relate to Witt algebra are mainly discussed. In accordance with structured approach,it given a class Witt sub-algebra and some modules of the Lie algebra.

Key words:infinite dimensional Lie Algebra;Witt sub-algebra;module

文章編號：1004—5570(2016)02-0064-04

收稿日期：2016-02-20

基金項目：貴州省科學技術(shù)基金項目(黔科合J字LKG[2013]31號；黔科合J字LKG[2013]30號)；貴陽學院重點課程建設(shè)項目(離散數(shù)學)；貴陽學院教學團隊建設(shè)項目(數(shù)學建模教學團隊；應(yīng)用數(shù)學教學團隊)

作者簡介：姚廷富(1984-)，男，講師、碩士，研究方向：李代數(shù)及其表示，數(shù)據(jù)分析，E-mail:ytfwdm520@163.com. *通訊作者：戴先勝(1977-)，男,講師、在讀博士，研究方向：李理論，E-mail:daisheng158@126.com.

中圖分類號：O152.7

文獻標識碼：A