關(guān)于歐拉方程φ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n))的正整數(shù)解

郭　瑞,趙西卿,張利霞,許宏鑫

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安　716000)

關(guān)于歐拉方程φ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n))的正整數(shù)解

郭瑞,趙西卿,張利霞,許宏鑫

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安716000)

摘要：基于φ(n)為Euler函數(shù)，探討了不定方程φ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n))的正整數(shù)解的問題，并利用初等解法給出了該方程滿足m≤n的所有正整數(shù)解。

關(guān)鍵詞：Euler函數(shù)；正整數(shù)解；不定方程；初等解法

0引言

對于任意的正整數(shù)n，Euler函數(shù)φ(n)定義為序列1,2，…，n-1中與n互素的整數(shù)的個數(shù)。 Euler函數(shù)是數(shù)論中的一個重要函數(shù)，關(guān)于它的一些重要性質(zhì)及與之有關(guān)的不定方程的正整數(shù)解，目前仍是一個重要的問題。Euler函數(shù)是一類重要的積性函數(shù)，文獻(xiàn)[1]中，對于任意的正整數(shù)m,n，當(dāng)(m,n)=1時，有φ(mn)=φ(m)φ(n)。文獻(xiàn)[2]和[3]中研究了歐拉函數(shù)的可加性問題。1960年,Makowski Andrzej在文獻(xiàn)[4]中討論了不定方程φ(mn)=φ(m)+φ(n)的正整數(shù)解的問題。 2010年，孫翠芳等在文獻(xiàn)[5]中討論了方程φ(mn)=k(φ(m)+φ(n))的可解性并獲得該方程的部分正整數(shù)解，其中k為素數(shù)。2014年，張四保等[6]，在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上給出方程φ(mn)=k(φ(m)+φ(n))當(dāng)k=3時的所有35組解，并討論了對任意奇數(shù)k，當(dāng)k>3時方程的解的情況。文獻(xiàn)[7,8]分別討論了k=2,4時方程φ(xyz)=k(φ(x)+φ(y)+φ(z))的解的問題。本文將研究方程φ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n))的可解性問題。

1預(yù)備知識

引理1[1]若p為素數(shù),則φ(p)=p-1。

引理2[1]若p為素數(shù),且α≥1,則φ(pα)=pα-pα-1=pα-1(p-1)。

引理3[1]對任意的正整數(shù)m,n，若m|n，則φ(m)|φ(n)。

引理5[1]對任意的正整數(shù)m,n，若m>2，則2|φ(m)。

引理6Ⅰ)方程φ(x)=2的解為x=3,4,6；Ⅱ)方程φ(x)=4的解為x=5,8,10,12；Ⅲ)方程φ(x)=8的解為x=15,16,20,24,30；Ⅳ)方程φ(x)=16得解為x=17,32,34,40,48,60。

證明我們只證明φ(x)=4的情形,其他情形類似可得。 令x=2α13α25α3，其中α1,α2,α3為正整數(shù)，則由引理2得

φ(x)=φ(2α13α25α3)=2α1-1·2·3α2-1·4·5α3-1

ⅰ)當(dāng)α1≠0,α2=α3=0時，有φ(x)=φ(2α1)=2α1-1=4，則α1=3，x=8。

ⅱ)當(dāng)α2≠0,α1=α3=0時，有φ(x)=φ(3α2)=3α2-1=2·3α2-1=4，無解。

ⅲ)當(dāng)α3≠0,α1=α2=0時，有φ(x)=φ(5α3)=5α3-1=4·5α3-1=4，則α1=1，x=5。

ⅳ)當(dāng)α1,α2≠0,α3=0時，有φ(x)=φ(2α13α2)=2α1-1·2·3α2-1=4，則α1=2，α2=1，x=12。

ⅴ)當(dāng)α1,α3≠0,α2=0時，有φ(x)=φ(2α15α3)=2α1-14·5α3-1=4，則α1=α3=1，x=10。

ⅵ)當(dāng)α2,α3≠0,α1=0時，有φ(x)=φ(3α25α3)=2·3α2-14·5α3-1=4，無解。

ⅶ)當(dāng)α1,α2,α3≠0時，有φ(x)=φ(2α13α25α3)=2α1-12·3α2-14·5α3-1=4，無解。

引理7Ⅰ)若φ(x)=6，則x=7,9,14,18；Ⅱ)若φ(x)=12，則x=13,21,26,28,36,42；Ⅲ)當(dāng)φ(x)=18，則x=19,27,38,54；Ⅳ)若φ(x)=24，x=35,39,45,52,56,70,72,78,90；Ⅴ)若φ(x)=36，則x=37,57,63,74,76,108,114,126。

證明同引理6可得。

2主要結(jié)果

定理1不定方程φ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n))滿足m≤n的所有正整數(shù)解為(15,52);(15,56);(16,35);(16,39);(16,45);(20,39);(24,35);(13,21);(13,28);(13,36);(13,42);(21,26);(8,26);(8,42);(10,26);(10,28);(10,36);(10,42);(12,26);(14,18);(9,21);(9,42);(18,21);(15,24);(8,28);(8,36);(12,28);(7,63);(7,126);(14,63);(9,36);(12,12)。

證明令(m,n)=d，則有d|m，d|n由引理3得

φ(d)|φ(m)，φ(d)|φ(n)

即存在a,b∈Z+使得

φ(m)=aφ(d),φ(n)=bφ(d)

由引理4得

又

φ(mn)=6(φ(m)+φ(n))=6(aφ(d)+bφ(d))

即有

下面對d進(jìn)行分類討論，不妨設(shè)a≤b。

從而有

a=7,b=42;a=8,b=24;a=9,b=18;a=10,b=15或a=12,b=12

又

φ(d)=1

所以

φ(m)=7,φ(n)=42;φ(m)=8,φ(n)=24;φ(m)=9,φ(n)=18;φ(m)=10,φ(n)=15

或φ(m)=12,φ(n)=12。

若

φ(m)=7,φ(n)=42，

由引理5得，方程無正整數(shù)解。

若

φ(m)=8,φ(n)=24，

則有

(m,n)=(15,32);(15,56);(16,35);(16,39);(16,45);(20,39);(24,35)。

若

φ(m)=9,φ(n)=18，

由引理5得,方程無正整數(shù)解。

若

φ(m)=10,φ(n)=15，

由引理5得，方程無正整數(shù)解。

若

φ(m)=12,φ(n)=12，

則有

(m,n)=(13,21);(13,28);(13,36);(13,42);(21,26)。

從而有

a=4,b=12；或a=6,b=6。

又

φ(d)=1，

所以

φ(m)=4,φ(n)=12或φ(m)=6,φ(n)=6。

若

φ(m)=4,φ(n)=12，

則有

(m,n)=(8,26);(8,42);(10,26);(10,28);(10,36);(10,42);(12,26)。

若

φ(m)=6,φ(n)=6，

則有

(m,n)=(14,18)。

從而有

a=3,b=6或a=4,b=4。

又

φ(d)=2，

所以

φ(m)=6,φ(n)=12或φ(m)=8,φ(n)=8。

若

φ(m)=6,φ(n)=12，

則有

(m,n)= (9,21);(9,42);(18,21)。

若

φ(m)=8,φ(n)=8，

則有

(m,n)=(15,24)。

從而有

a=2,b=6或a=3,b=3。

又

φ(d)=2，

所以

φ(m)=4,φ(n)=12或φ(m)=6,φ(n)=6。

若

φ(m)=4,φ(n)=12

則有

(m,n)=(8,28);(8,36);(12,28)。

若φ(m)=6,φ(n)=6，與(m,n)=4矛盾，所以方程無正整數(shù)解。

從而有

a=2,b=2。

又

φ(d)=2，

所以

φ(m)=4,φ(n)=4。

當(dāng)φ(m)=4,φ(n)=4時，與(m,n)=6矛盾，所以方程無正整數(shù)解。

從而有

a=1,b=6。

又

φ(d)=6，

所以

φ(m)=6,φ(n)=36，

則有

(m,n)=(7,63);(14,63);(7,126)。

從而有

a=1,b=3。

又

φ(d)=4，

所以

φ(m)=4,φ(n)=12，

當(dāng)φ(m)=4,φ(n)=12時，與(m,n)=8矛盾，所以方程無正整數(shù)解。

從而有

a=1,b=2。

又

φ(d)=6，

所以

φ(m)=6,φ(n)=12。

當(dāng)

φ(m)=6,φ(n)=12，

則有

(m,n)=(9,36)。

從而有

a=1,b=1。

又

φ(d)=4，

所以

φ(m)=4,φ(n)=4。

則有

(m,n)=(12,12)。

通過以上討論，可得不定方程φ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n))滿足m≤n的所有正整數(shù)解為(15,52);(15,56);(16,35);(16,39);(16,45);(20,39);(24,35);(13,21);(13,28);(13,36);(13,42);(21,26);(8,26);(8,42);(10,26);(10,28);(10,36);(10,42);(12,26);(14,18);(9,21);(9,42);(18,21);(15,24);(8,28);(8,36);(12,28);(7,63);(7,126);(14,63);(9,36);(12,12)。

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The positive integer solutions of Euler functionφ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n))

GUO Rui,ZHAO Xiqing,ZHANG Lixia,XU Hongxing

(College of Mathematics and Computer Science,Yan’an University,Yan’an, Shaanxi 716000,China)

Abstract:Based on φ(n) be Euler function, discussed the positive integer solutions of Diophantine equation φ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n)).We give all positive integer solutions by using elementary methods which satisfy m≤n.

Key words:Euler function; positive integer solutions; diophantine equation; elementary methods

文章編號：1004—5570(2016)02-0060-04

收稿日期：2016-01-18

基金項目：陜西省教育廳科研計劃資助項目(2013JK0557);2013延安大學(xué)自然科學(xué)專項基金資助項目(YD2013-05);延安大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計劃項目

作者簡介：郭瑞(1990-)，女，在讀研究生，研究方向：數(shù)論，E-mail:744910359@qq.com. *通訊作者：趙西卿(1965-)，男，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：解析數(shù)論，E-mail:ydzhaoxiqing@126.com

中圖分類號：O156

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A