具連續(xù)變量的高階非線性差分方程的有界振動

楊禹慧，趙良鵬

(1.呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 呂梁　033000;2.山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原　030006)

具連續(xù)變量的高階非線性差分方程的有界振動

楊禹慧1，趙良鵬2*

(1.呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 呂梁033000;2.山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原030006)

摘要：利用一些分析技巧,研究了一類具有連續(xù)變量的高階非線性差分方程的有界解的振動性,給出了有界解振動的充分條件。

關(guān)鍵詞：差分方程;有界解;振動;最終正解

0引言

由于差分方程理論在自然學(xué)科和邊緣學(xué)科的迅速發(fā)展,并且差分方程作為離散系統(tǒng)與相應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)具有一些不同的特性,因此對離散系統(tǒng)定性理論的研究是非常有意義的。

這些年來,關(guān)于具有連續(xù)變量的高階中立型時滯差分方程振動性的研究也有了一些結(jié)果,另外,關(guān)于具有連續(xù)變量的高階差分方程的有界振動的研究,可見文獻(xiàn)[1-4]; 帶有強迫項的高階差分方程解的振動性的研究可見文獻(xiàn)[5]。

在文獻(xiàn)[4]中,楊甲山等研究了具有連續(xù)變量的高階中立型時滯差分方程,即

的解的振動性,其中d為奇數(shù),本文在此基礎(chǔ)上重新對d進(jìn)行設(shè)定,用新的方法研究一類更為廣泛的具有連續(xù)變量的高階非線性差分方程即

(1)

的解的振動性。其中,d為正整數(shù),σj≥0是給定的正數(shù);b≤b(t)<1,(0≤b<1); 這里假設(shè)(H0):qj(t)∈([t0,+∞),+),j=1,2,…m,且qj(t)為不恒為0的有界函數(shù), 其中fj(t)∈(,)，，且函數(shù)fj(x)單調(diào)非減。τ,t0是給定的非負(fù)實數(shù),σ=kτ,k為某個正整數(shù);Δx(t)=x(t+τ)-x(t),Δ2x(t)=Δ(Δx(t))。 我們總假設(shè)方程(1)存在解。方程(1)的一個有界解{x(t)}稱為最終正的是指當(dāng)t(t>t0)充分大時,有x(t)>0,則該解為非振動的,否則是振動的。若方程(1)的每一個有界解{x(t)}都是振動的,稱該方程為振動的。

1基本引理

引理1[6]假設(shè)d≥1是整數(shù),{z(t+nτ)}是實數(shù)列,如果{Δdz(t+nτ)}最終定號(即當(dāng)n充分大后恒有{Δdz(t+nτ)}>0或有{Δdz(t+nτ)}<0),則{Δiz(t+nτ)}最終嚴(yán)格單調(diào)且定號(i=0,1,2,…d-1)。

引理2[7]設(shè)z(n)>0(n≥a),Δpz(n)(n≥a)定號且不為0,則存在整數(shù)j(0≤j≤p),對于Δpz(n)≤0,p+j為奇數(shù);對于Δpz(n)≥0,p+j為偶數(shù)。使對n≥a有: (a)若j≤p-1,則(-1)i+jΔiz(n)>0,j≤i≤p-1;(b)若j≥1,則Δiz(n)>0,1≤i≤j-1。

2主要結(jié)果

定理1假設(shè)d為正整數(shù)且d≥1,b≤b(t)<1,(0≤b<1);若x(t)為方程(1)的最終有界正解,令y(t)=x(t)-b(t)x(t-τ),則最終成立

Δdy(t)≥0,Δd-1y(t)<0,Δd-2y(t)>0,…,Δy(t)<0,y(t)>0。

證明設(shè)x(t)為方程(1)的最終有界正解,則存在t1≥t0滿足

x(t)>0,x(t-τ)>0,x(t-σ)>0,t≥t1≥t0。

設(shè)y(t)=x(t)-b(t)x(t-τ),由方程(1)及條件(H0)可得:

即

Δd-1y(t+τ)≥Δd-1y(t),t≥t1。

(2)

由條件可知Δdy(t)不恒為0,故Δd-1y(t)必最終為正或最終為負(fù)。進(jìn)而推出Δd-2y(t),…，

Δy(t)都最終為正或最終為負(fù)。

假設(shè)Δd-1y(t)>0。則存在t2≥t1滿足Δd-1y(t)>0。因此由(2)式可得

Δd-1y(t2+jτ)≥Δd-1y(t2),j≥1。

對上式將j從1到自然數(shù)m求和得

Δd-2y[t2+(m+1)τ]-Δd-2y(t2+τ)≥mΔd-1y(t2)。

同理可得Δd-2y(t)>0,…,Δy(t)<0。由此可得y(t)>0最終成立。

于是可得

對上式兩邊j從1到自然數(shù)m求和得

定理2方程(1)如果滿足下列條件

則方程(1)的有界解是振動的。

證明為了研究方程(1)的有界解的振動性,我們對d分情況進(jìn)行討論:

當(dāng)00,使得x(t+nτ)>y(t+nτ)≥M(n≥n1)。

所以有

(3)

對(3)式兩邊的n從n1到n-1求和得

因y(t)=x(t)-b(t)x(t-τ),故y(t+τ)=x(t+τ)-b(t+τ)x(t)。

所以

y(t+τ)-y(t)

=x(t+τ)-b(t+τ)x(t)-x(t)+b(t)x(t-τ)

=x(t+τ)+b(t)x(t-τ)-(1+b(t+τ))x(t)。

又因{y(t+nτ)}有界且最終嚴(yán)格減少,所以y(t+τ)

從而得:

x(t+τ)-x(t)

矛盾。

故當(dāng)d為奇數(shù)且d≥1時,方程(1)的所有有界解振動。

(2)當(dāng)d為偶數(shù)且d≥2時,

設(shè)x(t)為方程的有界正解,滿足x(t)>0,x(t-τ)>0,x(t-σ)>0,t≥t1≥t0。

令y(t)=x(t)-b(t)x(t-τ),根據(jù)定理1可得,存在t2≥t1,使得

Δdy(t)≥0,Δd-1y(t)<0,…,Δy(t)<0,y(t)>0,t≥t2。

x(t)=y(t)+b(t)x(t-τ)

≥y(t)+bx(t-τ)

=y(t)+b[y(t-τ)+b(t-τ)x(t-2τ)]

≥y(t)+by(t-τ)+b2y(t-2τ)+…+bh(t)-1y[t-(h(t)-1)τ]+bh(t)x(t-h(t)τ)。

(4)

由條件(H2)知存在充分小的ε(0<ε<1),使得

(5)

由于當(dāng)t→∞時,h(t)→∞。且(0≤b<1)。所以對此ε存在t3≥t2+τ,使得

由(4)可得

(6)

對充分大的t4>t3,另t=t4+iτ,i是自然數(shù)。由(4)式和σ=kτ,有

由條件(H0)得

(7)

由于qj(t)∈([t0,+∞),+),j=1,2,…，m,且qj(t)為有界函數(shù)；x(t)為方程的有界正解。

所以存在q(t4+iτ)≤min{qj(t4+iτ)},x(t4+iτ-σ)≤min{xj(t4+iτ-σ)}。

由(7)式我們可得

Δd-1[y(t4+(i+1)τ)]-Δd-1[y(t4+iτ)]≥mq(t4+iτ)x(t4+iτ-σ)。

即

Δd-1[y(t4+(i+1)τ)]-Δd-1[y(t4+iτ)]≥mq(t4+iτ)x[t4+(i-k)]。

對上式從i

由定理1可得

對上式關(guān)于i從n-k到n求和可得

將上述過程做d-1次并根據(jù)定理1可得

y[t4+(n+1)τ]-y[t4+(n-k)τ]≤

于是

y[t4+(n+1)τ]-y[t4+(n-k)τ]≤

y[t4+(n+1)τ]+y[t4+(n-k)τ]

與(7)式矛盾, 故當(dāng)d為偶數(shù)且d≥2時,方程(1)的所有有界解振動。

綜上所述方程(1)的有界解振動的。

參考文獻(xiàn)：

[1] LADAS G,PAKULA L,WANG Z.Necessary and sufficient conditions for the oscillation of difference equations[J].Panamer Math J,1992,2(1):17-26.

[2] 張玉珠,燕居讓.具有連續(xù)變量的差分方程振動性的判據(jù)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,1995,38(3):406-411.

[3] 黃梅.具連續(xù)變量的變系數(shù)偶數(shù)階差分方程的有界振動[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報，2014,16(1):54-58.

[4] 楊甲山,李繼猛.具有連續(xù)變量的高階非線性差分方程的振動與非振動準(zhǔn)則[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2010,33(6):934-938.

[5] 趙良鵬,閆衛(wèi)平.帶有強迫項的高階差分方程解的振動性[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版),2014.

[6] 唐清,干曾玲.高階中立型差分方程的振動性及其非振動解的漸進(jìn)性態(tài)[J].數(shù)學(xué)雜志,2000,20(2):207-210.

[7] AGARWAL R P.Difference Equations and Inequalities[M]. New York: Marcel Dekker,1992.

Bounded Oscillation for the Higher Order nonlinear difference Equation with continuous variable

YANG Yuhui1,ZHAO Liangpeng2*

(1.Department of Mathematics, Lvliang University, Lvliang,Shanxi 033000,China;2.School of Mathematics Science,Shanxi University, Taiyuan, Shanxi 030006, China)

Abstract:Bounded Oscillation for the high-order nonlinear difference Equations was considered by using some analysis techniques.Some sufficient conditions for bounded oscillation of the solutions were obtained.

Key words:difference equation ；bounded solution；oscillation;positive solution

文章編號：1004—5570(2016)02-0052-04

收稿日期：2015-07-16

作者簡介：楊禹慧(1987-),女,助教，研究方向:微分差分方程及其應(yīng)用，E-mail:yangyuhui20@126.com. *通訊作者：趙良鵬(1987-),男,碩士研究生，研究方向:差分方程理論及其應(yīng)用，E-mail:zhaoliangpeng20@126.com.

中圖分類號：O175.7

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A