含有直線裂紋的直角域中橢圓形夾雜對SH波的散射

丁曉浩，齊 輝，趙元博

（哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150001）

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含有直線裂紋的直角域中橢圓形夾雜對SH波的散射

丁曉浩，齊 輝，趙元博

（哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150001）

摘要：利用Green函數(shù)法、復(fù)變函數(shù)法及保角映射技術(shù)研究了SH波作用下直角域中直線裂紋對橢圓形夾雜動應(yīng)力集中系數(shù)的影響.采用保角映射法和鏡像疊加原理構(gòu)造了一個能自動滿足直角平面兩個直線邊界應(yīng)力自由邊界條件的散射位移場，并取含有橢圓形夾雜的直角域中任意一點承受時間諧和的出平面線源載荷作用下的位移基本解作為適合的Green函數(shù).利用裂紋“切割”技術(shù)構(gòu)造直線裂紋，進(jìn)而得出裂紋與橢圓形夾雜共存時的位移場和應(yīng)力場.通過具體算例討論了入射波數(shù)、裂紋角度、裂紋長度等因素對橢圓形夾雜周邊動應(yīng)力集中系數(shù)的影響.

關(guān)鍵詞：直角域；橢圓形夾雜；直線裂紋；保角映射；動應(yīng)力集中系數(shù)（DSCF）

網(wǎng)絡(luò)出版時間：2015-09-01. 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/12.1127.N.20150901.0942.006.html.

在天然介質(zhì)和工程材料中不可避免地會存在各種缺陷，缺陷的存在必然會影響材料的力學(xué)性能，了解材料在存在缺陷情況下的力學(xué)性能是眾多研究者感興趣的課題之一.尤其在動態(tài)載荷（如彈性沖擊波）作用下缺陷對材料或結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能產(chǎn)生的影響情況，如缺陷處產(chǎn)生的動應(yīng)力集中可能使材料或結(jié)構(gòu)到達(dá)極限荷載前便發(fā)生局部破壞，導(dǎo)致材料或結(jié)構(gòu)整體失效，因此，研究動態(tài)載荷作用下存在缺陷的材料或結(jié)構(gòu)的動力學(xué)性能具有重要的理論價值和工程意義.在SH波作用下材料或結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)的研究是彈性波研究中較為簡單和發(fā)展較為成熟的問題之一，因此，數(shù)十年來取得了大量有價值的研究成果［1-12］.但在已取得的成果中，對直角域［10］中含有橢圓形夾雜［2 7］及直線裂紋［7-11］問題的研究卻鮮見報道.為此，本文采用Green函數(shù)法和復(fù)變函數(shù)法并利用保角映射、鏡像疊加、裂紋切割等技術(shù)研究了直線裂紋存在時對直角域中橢圓形夾雜周邊動應(yīng)力集中分布的影響，并給出具體算例分析了裂紋長度、裂紋角度、入射波數(shù)、介質(zhì)參數(shù)等參數(shù)對動應(yīng)力集中系數(shù)的影響.

1　問題的表述

圖1所示為含有任意位置直線裂紋和橢圓形夾雜的直角域模型.ΓH、ΓV分別為直角域的水平和豎直邊界，CΓ為橢圓形夾雜和基體的邊界，n為邊界CΓ上任意點的法線方向，夾雜中心O距水平邊界距離為h，距豎直邊界的距離為d，介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ的剪切模量和質(zhì)量密度分別為1μ、1ρ和2μ、2ρ.裂紋所在軸線與x軸夾角為β，與點O的距離為h1，裂紋起點距y′軸的距離為L1，裂紋長度為L，在點O建立存在以下關(guān)系的xOy和x′ Oy′坐標(biāo)系.

圖1　含任意位置直線裂紋及橢圓形夾雜的直角域模型Fig.1 Model of right-angle plane with arbitrary beeline crack and elliptic inclusion

2　Green函數(shù)

本文取直角域中任意點承受時間諧和的出平面線源荷載作用時，直角域中位移函數(shù)的基本解作為適合的Green函數(shù).引入復(fù)變量，在復(fù)平面中，Green函數(shù)G（略去時間因子e-iωt）滿足以下控制方程：

式中k=ω/cs為入射波數(shù)，其中ω為波函數(shù)圓頻率，cs為介質(zhì)的剪切波數(shù)，

在極坐標(biāo)下式（1）對應(yīng)的應(yīng)力為

引入從復(fù)平面（z z）到復(fù)平面（ζ，ζ）的映射函數(shù)

式中：R=（ a+ b）/ 2，其中a、b為橢圓形夾雜半長軸和半短軸的長度；m=（ a + b）/（ a - b）.

對應(yīng)的應(yīng)力公式（2）轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

研究模型的邊界條件可表述為

線源載荷δ（z- z0）在一個完整的直角域內(nèi)的擾動可視為入射波G（i），本文研究的模型存在一個豎向直線邊界，導(dǎo)致入射波在直線邊界和夾雜間發(fā)生多次反射，使得求解滿足自由表面上應(yīng)力自由條件的波場存在困難.為了克服這一難題，利用“鏡像法”將直角域沿邊界ΓV鏡像為半空間，并在鏡像模型中引入復(fù)數(shù)坐標(biāo)系z′= z +2 d ，如圖2所示.且

圖2　直角域模型鏡像為半空間模型Fig.2 Transforming model from the right-angle to half plane

采用保角映射法將橢圓夾雜邊界外域映射為單位圓外域后，可得到如下的入射波G（i）及反射波G（r）方程：

式中0ζ和0ζ′分別為線源荷載作用點z0和z0′在映射平面上的像.

直角平面中由橢圓形夾雜激發(fā)的散射波（s）G需滿足直線邊界處的應(yīng)力自由條件，根據(jù)鏡像疊加原理其應(yīng)具有如下形式：

其中

式中：An為待求未知系數(shù)，可以由邊界條件確定；為n階的第一類Hankel函數(shù).

在橢圓形彈性夾雜內(nèi)激發(fā)的駐波具有以下形式：

式中：Bn為待求未知系數(shù)，由邊界條件確定；為n階的第一類Bessel函數(shù).

由邊界條件（6）可以建立求解位置系數(shù)An和Bn的方程組，即

整理后得

其中

根據(jù)文獻(xiàn)［8］中的方法，將具體表達(dá)式帶入上述方程，在方程兩邊同乘exp（-im）θ，并在（-π π）上積分，通過有限項截斷求解則可以求出An和Bn.

本文所用Green函數(shù)為

3　橢圓形夾雜對SH波的散射

與求解Green函數(shù)使用相同的思路，SH波入射完整直角域時，利用鏡像疊加原理可以得出直角域內(nèi)入射波場和反射波場，即

由橢圓形夾雜產(chǎn)生的散射波場與前文中構(gòu)造Green函數(shù)時橢圓形夾雜的散射波場具有相同的形式，其中未知系數(shù)根據(jù)邊界條件（6）確定，求解過程與求解Green函數(shù)的系數(shù)相同.

在僅含有橢圓形夾雜的直角域內(nèi)利用裂紋“切割”［8-9］技術(shù)構(gòu)造裂紋，即在欲出現(xiàn)裂紋的位置添加與此處切向應(yīng)力zθτ大小相等、方向相反的平面載荷，使得此處的應(yīng)力為零，從而構(gòu)造出裂紋.此時附加的載荷作為新的波源對區(qū)域內(nèi)的波場產(chǎn)生影響，則在橢圓形夾雜與裂紋共存的直角域中的波場可以表示為

4　動應(yīng)力集中系數(shù)

在SH波的作用下，夾雜周邊動應(yīng)力集中系數(shù)（DSCF）用符號可表示為以下形式：

其中

5　具體算例

本文以花崗巖中含有混凝土夾雜為例，給出SH波入射含有橢圓形夾雜和直線裂紋的直角域中時橢圓形夾雜周邊環(huán)向動應(yīng)力集中系數(shù)的分布情況.其中花崗巖與混凝土剪切模型之比，橢圓形夾雜的短長軸半長比b/ a= 0.8，夾雜的位置參數(shù)取d/ a = 12.0，h/ a=12.0，裂紋的方位角為β，入射波數(shù)用k1a表示，入射角用α0表示.

圖3為取極端情況下橢圓形夾雜還原為圓形孔洞且裂紋長度為零時的圓形孔洞周邊動應(yīng)力集中系數(shù)分布情況，其結(jié)果與相同參數(shù)條件下文獻(xiàn)［10-11］中所得結(jié)果一致，證明本文所用方法的可行性和準(zhǔn)確性.

圖4給出了SH分別以90°、45°入射時，橢圓形夾雜周邊的動應(yīng)力集中系數(shù)隨入射波數(shù)變化的分布情況.由圖4（a）可以看出，當(dāng)SH波垂直入射到直角域時除準(zhǔn)靜態(tài)狀態(tài)下，夾雜周邊的隨著入射波數(shù)的增大逐漸增大，最大值在高頻入射時可達(dá)到5.69，約為半空間模型［7］中的2～3倍.對比圖4（a）、（b）可以看出SH波垂直入射時的較傾斜入射時最大值4.76增大約24% ，說明入射波數(shù)和入射角度均對夾雜周邊動應(yīng)力集中系數(shù)有影響，且SH波以高頻垂直入射時對地下結(jié)構(gòu)的危害更大.

圖3　SH波垂直入射時，隨β 變化的分布情況Fig.3 Distribution ofwith β disturbed by incident SH-wave vertically

圖4　隨k1a變化的分布情況Fig.4 Distribution ofon the edge of inclusion with k1a

圖5給出了裂紋處于不同方位時，SH波以90o入射時橢圓形夾雜動應(yīng)力集中系數(shù)的分布情況.由圖5可以看出，當(dāng)SH波的入射方向與裂紋方向一致時，夾雜的分布情況與無裂紋時的分布基本重合，說明此時裂紋的存在對的影響可以忽略不計，當(dāng)入射方向與裂紋方向垂直時，裂紋的存在對有明顯的影響，說明裂紋方向?qū)A雜動應(yīng)力集中系數(shù)的分布有影響.

圖5　SH波垂直入射時夾雜周邊隨β變化的分布情況Fig.5 Distribution ofon the edge of the inclusion with β impacted by incident SH-wave vertically

圖7給出了SH波以90°入射時夾雜邊緣一點（θ=0°）的動應(yīng)力集中系數(shù)隨著裂紋距夾雜的距離h1/ a變化的分布情況.由圖7（a）可以看出，當(dāng)SH波以較低頻率入射時，最大值發(fā)生在裂紋距離夾雜較近時，出現(xiàn)峰值后緩慢衰減，當(dāng)h1/ a＞50時裂紋對其影響已經(jīng)很小，最大值較不存在裂紋時提高了約7% .由圖7（b）可看出，當(dāng)SH波以較高頻率入射時，距離h1/ a對值的影響呈現(xiàn)震蕩衰減性，當(dāng)h1/ a＞40時的變化曲線趨于穩(wěn)定，說明此時裂紋對其影響已經(jīng)很小，最大值提高了約25% .

圖6　SH波垂直入射時夾雜周邊隨L/a變化的分布情況Fig.6 Distribution ofon the edge of the inclusion with L/a impacted by incident SH-wave vertically

圖8給出了SH波以不同角度入射情況下，橢圓形夾雜邊緣上一點（θ=0°）的動應(yīng)力集中系數(shù)隨著夾雜埋深h/ a的變化情況.由圖8（a）可以看出，SH波垂直入射情況下當(dāng)h/ a＞30后橢圓形夾雜的動應(yīng)力集中系數(shù)分布趨于穩(wěn)定，表明此時水平邊界對其影響已經(jīng)很小，可以忽略不計.當(dāng)SH波傾斜入射時，h/ a＞50后的分布趨于穩(wěn)定，表明此時水平邊界對其影響已經(jīng)很小， 可以忽略不計.說明橢圓形夾雜的埋深對其動應(yīng)力集中系數(shù)有影響.

圖7　夾雜邊界上一點（θ=0°）的隨h1/ a變化的分布情況Fig.7 Distribution ofat the point（θ=0°）on the edge of the inclusion with h1/ a

圖8　夾雜邊界上一點（θ=0°）隨h/ a變化的分布情況Fig.8 Distribution ofat the point（θ=0°）on the edge of the inclusion with h/ a

6　結(jié) 語

本文采用Green函數(shù)法和復(fù)變函數(shù)法并結(jié)合“鏡像”疊加原理、保角映射技術(shù)和裂紋“切割”技術(shù)研究了直角域中直線裂紋與橢圓形夾雜共存時夾雜周邊動應(yīng)力集中情況.通過算例，可以了解到裂紋對夾雜的動應(yīng)力集中系數(shù)的影響不可以忽略，裂紋存在時的夾雜動應(yīng)力集中系數(shù)較無裂紋時提高了約7% ～25% ，且在直角域中夾雜的動應(yīng)力集中情況約為半空間中模型［10］的2～3倍.當(dāng)SH波低頻入射且h1/ a＞ 50時裂紋對夾雜邊界點處的的影響可以忽略，當(dāng)SH波以高頻入射且h1/ a ＞40時，裂紋對夾雜邊界點處的影響可以忽略.可以得出結(jié)論，直角域中橢圓形夾雜的動應(yīng)力集中系數(shù)受到直線裂紋、自由邊界、介質(zhì)參數(shù)、入射波數(shù)等因素的影響.

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（責(zé)任編輯：趙艷靜）

Scattering of SH-Wave by Elliptic Inclusion in Right-Angle Plane with Beeline Crack

Ding Xiaohao，Qi Hui，Zhao Yuanbo
（College of Aerospace and Civil Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

Abstract：The scattering problem of SH-wave by elliptic inclusion in right-angle plane with an arbitrary beeline crack was analyzed by Green’s function，complex function method and conformal mapping method.The conformal mapping method and image method were employed to construct the scattering wave function，which satisfies the condition that stress is free on the straight boundaries of the right angle planes.An essential solution to the displacement field of an elastic right-angle plane containing an elliptic inclusion，whose any point bore an anti-plane harmonic line source load，was taken as Green’s function.The beeline crack was constructed with crack-division technique，and the expressions of displacement and stress fields were given when crack and elliptic inclusion co-exist.The dynamic stress concentration factor（DSCF）on the edge of elliptic inclusion was given and the influences of incident wave number，crack angle，crack length and other parameters on DSCF of elliptic inclusion were discussed.

Keywords：right-angle plane；elliptic inclusion；beeline crack；conformal mapping；dynamic stress concentration factor（DSCF）

中圖分類號：O343.1；P315.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：0493-2137（2016）04-0415-07

DOI:10.11784/tdxbz201504036

收稿日期：2015-04-10；修回日期：2015-07-20.

基金項目：黑龍江省自然科學(xué)基金資助項目（A201404）.

作者簡介：丁曉浩（1989— ），男，博士研究生，dingxiaohao_2012@sina.cn.

通訊作者：齊 輝，qihui205@sina.com.