復(fù)材非線性及漸進損傷的態(tài)型近場動力學(xué)模擬

劉肅肅,余　音

(上海交通大學(xué) 航空航天學(xué)院,上海 200240)

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復(fù)材非線性及漸進損傷的態(tài)型近場動力學(xué)模擬

劉肅肅,余音

(上海交通大學(xué) 航空航天學(xué)院,上海 200240)

摘要:為了實現(xiàn)復(fù)合材料材料非線性行為在態(tài)型近場動力學(xué)的模擬,引入單參量非線性本構(gòu)模型來確定態(tài)型近場動力學(xué)中力狀態(tài)與變形狀態(tài)之間的非線性關(guān)系.為了實現(xiàn)復(fù)合材料漸進損傷行為的態(tài)型近場動力學(xué)模擬,在力狀態(tài)表達式中引入一個標量函數(shù),以實現(xiàn)利用強度準則判斷物質(zhì)點之間作用力是否失效.采用動力松弛法作為數(shù)值求解方法.結(jié)果顯示,模型計算得到的單向復(fù)合材料板(AS4/PEEK)的非線性應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗數(shù)據(jù)吻合良好；對中心含孔復(fù)合材料板的漸進損傷模擬則表明,該模型模擬的破壞形式與已有研究的模擬結(jié)果及實驗觀察結(jié)果一致.探索和實現(xiàn)了復(fù)合材料非線性本構(gòu)在態(tài)型近場動力學(xué)中的引入以及復(fù)合材料漸進損傷在態(tài)型近場動力學(xué)中的模擬.

關(guān)鍵詞：近場動力學(xué)；復(fù)合材料；非線性；漸進損傷；動力松弛法

近場動力學(xué)(peridynamic theory, PD)[1-2]是一種新興的基于非局部作用思想的理論.不同于傳統(tǒng)理論的是,該理論采用積分形式構(gòu)建運動方程,在解決諸多不連續(xù)問題方面具有獨特的優(yōu)勢.近年來,PD理論受到了廣泛的關(guān)注并得到了迅速的發(fā)展.黃丹等[3]對PD的基本方法及其相關(guān)應(yīng)用進行了介紹,并將PD應(yīng)用于模擬混凝土的沖擊破壞過程[4]；胡祎樂等[5]則將PD應(yīng)用于分析復(fù)合材料層壓板的漸進損傷；孫璐妍[6]在研究中建立了金屬平板和曲板穩(wěn)定性分析的PD模型.

最初的鍵型近場動力學(xué)理論(bond-based peridynamics)[1]在采用對點力函數(shù)(pairwise force function)來描述物質(zhì)點之間的相互作用力時,存在一定的不足[3,7].這種對點力函數(shù)假設(shè)認為兩物質(zhì)點之間的相互作用力是等大反向的,并且未考慮鄰域內(nèi)其他因素(如其他物質(zhì)點及物質(zhì)點間作用力)對該作用力的影響,在描述各向同性、線彈性材料時,其泊松比只能局限于0.25.此外,在應(yīng)用該理論描述金屬材料的塑性時,也會出現(xiàn)與實驗現(xiàn)象相矛盾的結(jié)果[3,7].為了解決上述問題,Silling等[7-8]提出態(tài)型近場動力學(xué)理論(state-based peridynamics),該理論不僅可以應(yīng)用于不同泊松比的材料,同時也可以在PD理論框架下實現(xiàn)一些經(jīng)典力學(xué)模型的應(yīng)用：Foster等[9]在態(tài)型PD理論中利用金屬塑性理論分析了6061-T6鋁合金的粘塑性響應(yīng)；Tupek等[10]則在態(tài)型PD理論中整合了經(jīng)典力學(xué)破壞模型,模擬了6061-T6鋁合金在沖擊載荷下的破壞過程及單軸拉伸載荷下的力學(xué)響應(yīng).

已有的復(fù)合材料PD模型多采用鍵型PD理論進行建模：Askari等[11]在用鍵型PD理論對復(fù)合材料進行建模時,分別采用纖維鍵和基體鍵來考慮纖維和基體的不同性能；Killic等[12]將單向復(fù)合材料離散成纖維域和基體域,兩者之間的比例可以反映纖維體積含量；Hu等[13]則采用宏觀偏軸模量來等效確定復(fù)合材料層內(nèi)鍵的大小.這些模型給出了與實驗現(xiàn)象相符的破壞模式,對宏觀等效性能的精確定量分析還比較缺乏,相關(guān)的定量分析也多在線彈性范圍內(nèi),既能準確預(yù)測復(fù)材材料非線性行為、又能描述其損傷行為的PD模型有待進一步研究.

本文采用態(tài)型PD理論對復(fù)合材料進行建模,采用經(jīng)典單參量非線性本構(gòu)模型確定力狀態(tài)與變形狀態(tài)之間的關(guān)系,并在損傷描述中引入傳統(tǒng)的強度準則.為驗證模型的有效性,編寫了數(shù)值計算程序,并對AS4/PEEK復(fù)合材料在單軸拉伸載荷作用下的材料非線性行為及漸進損傷過程進行模擬,與文獻中的實驗結(jié)果及有限元的計算結(jié)果進行對比.

1態(tài)型近場動力學(xué)理論簡介

近場動力學(xué)將物體離散成一系列物質(zhì)點,在物體參考構(gòu)型R內(nèi),物質(zhì)點x存在半徑為δ的鄰域(Horizon)H,在該鄰域內(nèi)物質(zhì)點x與其他物質(zhì)點x′存在相互作用.記物質(zhì)點x與物質(zhì)點x′的初始坐標分別為x和x′,位移分別為u和u′,則兩物質(zhì)點的相對位置和相對位移可分別表示為ξ=x′-x,η=u′-u,如圖1所示.

圖1　參考構(gòu)型與鄰域Fig.1　Reference configuration and horizon

在近場動力學(xué)中,物質(zhì)點x上建立運動方程為

(1)

(2)

(3)

(4)

Silling等[7]通過與經(jīng)典理論中應(yīng)變能密度等效的方式得到了變形梯度的表達式：

(5)

(6)

2單參量模型

2.1單參量非線性本構(gòu)

在表征復(fù)合材料物理非線性的宏觀力學(xué)理論模型中,由Sun等[14]提出的單參量模型能夠較為準確地描述單向復(fù)合材料在偏軸載荷作用下的非線性響應(yīng).在平面應(yīng)力狀態(tài)下,該模型在假設(shè)纖維方向為線彈性的基礎(chǔ)上,獲得了僅含單參量的塑性勢能函數(shù)表達式：

(7)

(8)

式中:A和n為擬合參數(shù).將總的應(yīng)變增量分為彈性部分增量dεe和塑性部分增量dεp,dε=dεe+dεp.結(jié)合流動法則,塑性應(yīng)變增量為

(9)

(10)

該塑性功增量又可表示為等效應(yīng)力與等效塑性應(yīng)變增量的乘積形式：

(11)

(12)

塑性應(yīng)變增量的表達式可聯(lián)立式(7)、(8)、(9)和(12)得到

(13)

dε=Sdσ,

式中:S為柔度陣.根據(jù)式(13)結(jié)合復(fù)合材料彈性理論可得到柔度陣為

(14)

式中:E1、E2、E12為彈性模量,ν12為泊松比.

定義塑性泊松比為

(15)

(16)

2.2強度準則

Sun等[15]在對AS4/PEEK單向復(fù)合材料在各偏軸拉伸載荷作用下的強度進行測試后,認為其強度準則為

(17)

(18)

式中:Y和S分別為橫向拉伸強度及剪切強度.

3含非線性本構(gòu)及損傷描述的態(tài)型PD模型

3.1本構(gòu)方程

在態(tài)型近場動力學(xué)理論中,力狀態(tài)與應(yīng)力張量σ之間存在以下關(guān)系[7]：

(19)

將式(19)表示為增量形式,應(yīng)力增量可用應(yīng)變增量表示,相應(yīng)的力狀態(tài)增量為

(20)

位移梯度可以用變形梯度式(5)表示

▽u=F-I.

(21)

式中:I為單位陣.則應(yīng)變張量為

(22)

將式(5)代入式(22),再代入式(20),得到

(23)

3.2損傷描述

一些復(fù)合材料PD模型[11-13]在采用鍵理論分析損傷問題時,一般采用鍵的臨界伸長率作為鍵是否失效的判斷依據(jù).然而材料的損傷特性也有可能取決于其他狀態(tài)參量[10,15],如應(yīng)力狀態(tài)等.本文嘗試了一種利用強度準則判斷損傷是否發(fā)生的方法,為損傷在態(tài)型PD理論中的描述提供參考.

(24)

式中:D和D′分別為鍵ξ兩端物質(zhì)點x與物質(zhì)點x′的損傷參量.首先判斷鍵ξ是纖維鍵還是基體鍵(本文中鍵的方向與纖維鋪層方向一致則為纖維鍵,否則為基體鍵)：若為纖維鍵,則采用式(17)中的“纖維斷裂”判據(jù)判斷鍵兩端物質(zhì)點處的應(yīng)力狀態(tài),達到判據(jù)的物質(zhì)點對應(yīng)的D(或D′)值取為1,否則取值為0；若為基體鍵,則采用式(17)中的“基體破壞”判據(jù)對鍵兩端物質(zhì)點的D(D′)值進行判斷.

將式(24)引入式(20)得到

(25)

如此,即可根據(jù)式(24)、 (25),依據(jù)式(17)的強度準則對兩物質(zhì)點之間作用力是否失效作出判斷.式(25)的力狀態(tài)表達式中包含了損傷和斷裂的描述,可用于描述裂紋萌生和擴展過程.

進一步,物質(zhì)點x處損傷程度可用損傷指數(shù)φ進行表征：

(26)

4數(shù)值方法

4.1離散化方法

對模型進行均勻離散化,并采用黎曼和對積分項進行求解.根據(jù)式(5)和 (6),得到物質(zhì)點xj處的變形梯度和形狀張量分別為

(27)

(28)

式中:xn和xj分別為物質(zhì)點n和物質(zhì)點j的位置矢量,m為物質(zhì)點j鄰域H范圍內(nèi)的物質(zhì)點總數(shù),Vn為物質(zhì)點n的體積.將式(3)代入式(27)、再代入式(22)得到物質(zhì)點xj處的非局部應(yīng)變張量為

(29)

式中:un和uj分別為物質(zhì)點n和物質(zhì)點j的位移矢量.式(29)即為物質(zhì)點j處的非局部應(yīng)變,由該物質(zhì)點鄰域H范圍內(nèi)的位移場計算得到.

4.2數(shù)值求解

動力松弛法是一種應(yīng)用廣泛的數(shù)值求解方法.在應(yīng)用于靜力問題時,動力松弛法可采用虛擬質(zhì)量和虛擬阻尼,進而將靜力問題轉(zhuǎn)化成動力問題來進行求解.在施加初始增量步之后,系統(tǒng)首先在不平衡力的作用下發(fā)生運動,而后在迭代過程中不平衡力逐漸減小,系統(tǒng)動能也在阻尼作用下漸趨于零,最后達到靜力平衡狀態(tài).依據(jù)達朗貝爾原理,第n次迭代時物質(zhì)點的運動方程為

(30)

(31)

整理得

(32)

(33)

在求解靜力問題時,虛擬密度、虛擬阻尼與計算結(jié)果無關(guān),但會影響計算穩(wěn)定性和收斂速度[16].一般取Δt=1,將虛擬密度陣設(shè)為如下對角形式：

(34)

則對角元素與Δt需滿足以下關(guān)系式[17]：

(35)

式中:Q為平衡方程中的剛度陣.第n次迭代的虛擬阻尼可按以下表達式確定[17]：

(36)

i=1,2,3.

(37)

4.3收斂準則

采用相對位移收斂準則判斷物質(zhì)點是否達到平衡狀態(tài)：

(38)

5算例與結(jié)果

在第3、4章基礎(chǔ)上編寫了復(fù)合材料近場動力學(xué)模型的數(shù)值計算程序.在對模型進行均勻離散化之后,先給定離散點的位移邊界條件及載荷條件,而后按照動力松弛法進行迭代求解.

為驗證模型及程序的有效性,分別對AS4/PEEK復(fù)合材料中心無孔層壓板和中心含孔層壓板受單軸拉伸載荷作用的情況進行建模計算,并與試驗及有限元結(jié)果進行對比.試驗數(shù)據(jù)及材料參數(shù)來自文獻[15,18],材料參數(shù)如表1所示.其中參數(shù)A1和A2分別為式(8)中算例5.1和算例5.2所取的A值.

表1　室溫下AS4/PEEK復(fù)合材料的材料參數(shù)

5.1中心無孔層壓板受偏軸拉伸

圖2　中心無孔層壓板受偏軸拉伸載荷示意圖Fig.2　Laminate without a hole under off-axis tension load

中心無孔層壓板受偏軸拉伸載荷作用的示意圖如圖2所示,單向復(fù)合材料板的纖維方向與載荷作用方向的夾角為θ,取層壓板有效尺寸為190.5 mm×19.0 mm.在離散化建模時,取物質(zhì)點間距Δx=0.5 mm,鄰域半徑按照文獻[19]的建議取δ=3Δx,模型最終包含物質(zhì)點總數(shù)為14 478個.邊界條件為一邊固支,另一邊施加縱向固定位移,邊界條件施加在兩端的物質(zhì)點上.

該模型的離散物質(zhì)點數(shù)雖然不多,但是考慮到非線性迭代計算需要保證一定的增量步數(shù),故而通過將各物質(zhì)點的計算映射到計算機的單個線程的方式來實施并行運算,提高計算效率.

最終得到的偏軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗數(shù)據(jù)的對比結(jié)果如圖3所示.圖中εL為根據(jù)式(29)計算得到的層壓板中心處物質(zhì)點在拉伸方向的非局部應(yīng)變,σL為相應(yīng)物質(zhì)點在拉伸方向上的應(yīng)力.由圖3可見,本模型的計算結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)吻合良好,誤差小于9.2%.

圖3　不同偏軸拉伸角度下應(yīng)力-應(yīng)變對比結(jié)果Fig.3　Stress-strain comparison under different off-axis tension angles

如圖4所示給出了不同偏軸角度下層壓板中心處物質(zhì)點的塑性泊松比的對比結(jié)果.可見,各偏軸角度下由本模型計算所得的塑性泊松比相對式(16)的理論值更接近于試驗值.

圖4　不同偏軸角度下塑性泊松比的對比結(jié)果Fig.4　Plastic Poisson’s ratios comparison under different off-axis tension angles

5.2中心含孔層壓板受軸向拉伸

中心含孔層壓板受軸向拉伸載荷作用的示意圖如圖5所示,復(fù)合材料層壓板的纖維方向與載荷作用方向一致,取層壓板有效尺寸177.5 mm×45.5 mm.在離散化建模時,本算例仍然取物質(zhì)點間距Δx=0.5 mm,鄰域半徑δ=3Δx,最終模型包含物質(zhì)點總數(shù)為30 853個.中心圓孔半徑為20.5 mm,圓孔周邊p1處沿環(huán)向貼有應(yīng)變片,p1與圓孔中心的位置關(guān)系見圖6.按模型離散點位置,本模型實際所取角φ=32.27°.根據(jù)本模型得到的遠端應(yīng)力σR-孔邊應(yīng)變εH曲線與試驗數(shù)據(jù)的對比結(jié)果如圖6所示,兩者在應(yīng)變較小處吻合良好,但在應(yīng)變較大處出現(xiàn)了差異.這種差異可能是由于單參量塑性模型的參數(shù)是在比例加載情況下得到的,只能近似適用于孔邊的受力狀態(tài)[18].

圖5　中心含孔層壓板受軸向拉伸載荷示意圖Fig.5　Laminate with a centre-hole under axis tension load

圖6　中心含孔層壓板遠端應(yīng)力—孔邊應(yīng)變曲線對比Fig.6　Remote stress-hoop strain curve comparison for laminate with a centre-hole

如圖7和8所示分別給出了端部產(chǎn)生總長度1%的位移時,縱向(載荷作用方向)與橫向的位移場分布云圖.損傷指數(shù)φ采用式(26)進行表征.(a)和(b)分別為有限元(FEM)的計算結(jié)果和本模型的計算結(jié)果.由圖7、8可見兩者的縱向位移場分布幾乎沒有差別.在橫向的位移場分布上,由有限元計算所得的正向與反向的最大位移分別為0.320和-0.324 mm,PD計算得到的則對應(yīng)為0.387和-0.391 mm,但在[-0.324,0.320]范圍外的位移僅分布在靠近圓孔周邊的少量物質(zhì)點上.總體而言, PD計算所得的位移場分布與有限元的計算結(jié)果相一致.

圖7　縱向位移場分布云圖Fig.7　Displacement filed distribution in longitudinal direction

圖8　橫向位移場分布云圖Fig.8 Displacement filed distribution in transverse direction

5.3中心含孔層壓板的漸進損傷模擬

由于近場動力學(xué)的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在分析不連續(xù)問題,本文采用第3節(jié)所述的損傷描述方法對中心含孔層壓板受拉伸載荷作用下的漸進損傷進行了模擬.損傷程度采用式(26)進行表征,沒有損傷時損傷指數(shù)為0,完全損傷后為1.選用5.2節(jié)所述的層壓板尺寸及離散化參數(shù),纖維方向與拉伸載荷作用方向分別取0°、45°、90°.如圖9所示給出了本模型各角度鋪層層壓板的漸進損傷模擬結(jié)果,可見在單軸拉伸載荷作用下各角度鋪層層壓板的損傷均起始于圓孔周圍,而后損傷沿纖維方向發(fā)生擴展.對比已有研究[20]中對纖維增強樹脂基復(fù)合材料的模擬結(jié)果以及實驗觀察結(jié)果(見圖10的(a)、(b)),本模型模擬的各鋪層角度下的破壞形式與文獻[20]基本相符合.

圖9　各角度下的漸進損傷模擬結(jié)果Fig.9　Progress damage results under different angles

圖10　已有研究中的有限元模擬及實驗結(jié)果[20]Fig.10　FEM and experimental results of a relevant research[20]

6結(jié)論

(1)本研究采用了態(tài)型近場動力學(xué)對復(fù)合材料進行建模,通過引入單參量非線性本構(gòu)來確定力狀態(tài)與變形狀態(tài)之間的關(guān)系.采用該模型計算了中心無孔AS4/PEEK單向復(fù)合材料板在偏軸拉伸載荷下的力學(xué)響應(yīng).結(jié)果顯示,由本模型計算得到各偏軸角度下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗數(shù)據(jù)吻合良好.

(2)對中心含孔層壓板受軸向拉伸情況的計算表明,本模型得到的遠端應(yīng)力-孔邊應(yīng)變曲線在應(yīng)變較小處吻合良好.計算得到的位移場分布與有限元的計算結(jié)果相一致.

(3)在力狀態(tài)表達式中引入一個標量函數(shù),以實現(xiàn)利用強度準則判斷物質(zhì)點之間作用力是否失效,從而模擬復(fù)合材料的漸進損傷過程.對中心含孔層壓板的漸進損傷模擬表明,損傷最初起始于孔邊,而后沿纖維方向發(fā)生擴展.由本模型模擬的各角度下的破壞形式與有關(guān)研究中對纖維增強樹脂基復(fù)合材料的模擬結(jié)果以及實驗觀察結(jié)果相一致.

(4)通過以上算例,模型的有效性得以驗證,實現(xiàn)了復(fù)合材料非線性及漸進損傷在態(tài)型近場動力學(xué)中的模擬,為復(fù)合材料在態(tài)型近場動力學(xué)中的建模提供新的思路與方法.

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State-based peridynamic modeling of nonlinear behavior and progressive damage of composites

LIU Su-su, YU Yin

(SchoolofAeronauticsandAstronautics,ShanghaiJiaoTongUniversity,Shanghai200240,China)

Abstract:One-parameter nonlinear constitutive model was utilized to get the relationship between deformation vector state and force vector state for the sake of nonlinear behavior modeling of composites in state-based peridynamics. A scalar function was used so that strength criterion could be utilized for the validity judgment of the interaction between particles in order to model the progressive damage of composites in state-based peridynamics. Dynamic relaxation method was utilized as the solution method. The calculated nonlinear stress-strain relations of unidirectional composite panels (AS4/PEEK) accorded well with the test data. The progressive damage analysis results agreed with the experimental and simulating results of a relevant research. The method for nonlinear behavior and progressive damage modeling of composites in state-based peidynamics was explored and verified．

Key words:peridynamics; composite materials; nonlinear behavior; progressive damage; dynamic relaxation method

收稿日期：2015-10-26.浙江大學(xué)學(xué)報(工學(xué)版)網(wǎng)址： www.journals.zju.edu.cn/eng

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11372192)；上海市自然科學(xué)基金資助項目(13ZR1422200)；上海市科委重大項目科技攻關(guān)資助項目(12DZ1100302).

作者簡介：劉肅肅(1991-)，男，碩士生，從事復(fù)合材料結(jié)構(gòu)強度等研究.ORCID: 0000-0002-2111-2074. E-mail: fowyaring@sjtu.edu.cn通信聯(lián)系人：余音，女，副教授.ORCID: 0000-0003-3587-0260. E-mail: yuyin@sjtu.edu.cn

DOI:10.3785/j.issn.1008-973X.2016.05.025

中圖分類號：TB 332

文獻標志碼：A

文章編號：1008-973X(2016)05-0993-08