一個(gè)視網(wǎng)膜血管腫瘤數(shù)學(xué)模型整體解的存在唯一性

盧創(chuàng)業(yè)， 衛(wèi)雪梅

(廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510520)

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一個(gè)視網(wǎng)膜血管腫瘤數(shù)學(xué)模型整體解的存在唯一性

盧創(chuàng)業(yè)， 衛(wèi)雪梅

(廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510520)

摘要:研究了一個(gè)視網(wǎng)膜血管腫瘤的數(shù)學(xué)模型．該模型是腫瘤生長的固定邊界問題，包含了反應(yīng)擴(kuò)散方程和常微分方程．文中先對(duì)模型進(jìn)行分類討論，然后通過運(yùn)用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理，拋物方程的Lp估計(jì)，證明了模型在特定情況下局部解的存在唯一性.最后利用延拓的方法得到了模型在特定情況下整體解的存在唯一性．

關(guān)鍵詞:腫瘤生長； 整體解； 存在性； 唯一性

1問題的提出

20世紀(jì)90年代，美國科學(xué)院院士A.Friedman開始研究偏微分方程的自由邊界腫瘤生長模型問題[1]．隨后，一大批科研工作者開始了這個(gè)領(lǐng)域的研究，得到了很多出色的研究成果(見文獻(xiàn)[2-6]及所引的參考文獻(xiàn))．2011年Aubert等[7]通過一個(gè)系統(tǒng)的五個(gè)耦合偏微分方程準(zhǔn)確描述了一維連續(xù)介質(zhì)模型的星形膠質(zhì)細(xì)胞和內(nèi)皮細(xì)胞的遷移．然而，這種方法無法對(duì)整個(gè)視網(wǎng)膜表面產(chǎn)生空間信息和結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)進(jìn)行刻畫．建立在早先的工作，McDougall等[8]在2012年提出了一個(gè)更現(xiàn)實(shí)的二維混合偏微分方程的離散模型．該模型是一個(gè)持續(xù)的功能的血管實(shí)驗(yàn)規(guī)劃模型，采用大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)再通過數(shù)值模擬計(jì)算，從而從實(shí)驗(yàn)角度上說明已建立的模型的實(shí)際合理性，更好地刻畫了血管腫瘤的生長過程與生長規(guī)律，原模型的主要焦點(diǎn)是了解血管里各種相互作用的細(xì)胞、分子和代謝過程，具體模型如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

考慮到原模型存在復(fù)雜的不連續(xù)項(xiàng)，本文可以對(duì)上述模型分情況研究解的適定性，當(dāng)ai=ni=1時(shí)，是符合醫(yī)學(xué)實(shí)際的，本文將詳細(xì)對(duì)該條件下的模型進(jìn)行分析；當(dāng)ai=ni=0時(shí)，模型將變得更加簡單，其分析方法和過程與前者類同，因此本文將不再對(duì)其作詳細(xì)分析.

很顯然，原模型中各方程的邊值均為0，初值屬于Cα[0,1]，本文的主要結(jié)論如定理1.

定理1在ai=ni=1的情況下，對(duì)?t≥0，問題(1)～(16)存在唯一解．

本文的主要結(jié)構(gòu)如下：第1部分是問題及模型的介紹；第2部分先給出一些預(yù)備引理；第3部分求證模型局部解的存在唯一性；第4部分證明了此解是整體適定的，進(jìn)而證得本文中的定理1.

2預(yù)備引理

(17)

(18)

(19)

當(dāng)(2)α=1，β≥0時(shí)，成立

3局部解的存在唯一性

當(dāng)ai=ni=1，原模型即為

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

且

(36)

為了簡便，記

定義XM中的度量d為

0≤r≤1,t≥0,

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

0≤r≤1,t≥0,

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

下面先證F映XM到它自身．

結(jié)合引理3可得

(53)

結(jié)合引理3可得

C(T)ξ(T).

(54)

(55)

結(jié)合引理3可得

C(T)ξ(T).

(56)

(57)

5) 問題(37)～(38)等價(jià)于以下問題：

(58)

(59)

其中

(60)

(61)

(62)

(63)

結(jié)合引理3，可得

C(T，M)ξ(T).

(64)

(65)

綜上所述，由1)～5)可知，若取

(66)

(67)

由引理2，可得

(68)

繼而由引理3，可得

(69)

(70)

(71)

(72)

(73)

(74)

其中,

(75)

(76)

從而可得

(77)

繼而由引理3，可得

(78)

(79)

(80)

(81)

(82)

其中，

(83)

(84)

fa(r,t)=

(85)

由引理2，可得

(86)

(87)

繼而由引理3，可得

(88)

(89)

綜上，由(i)～(iii)，可得

(90)

由上述結(jié)果可得到如下定理.

4整體解的存在唯一性

由上下解原理，可直接推得

引理4問題(20)～(35)的解有如下結(jié)論成立

a≥0，p≥0，c≥0，n≥0，ma≥0，mn≥0，e≥0，f≥0.

3) 考慮問題(20)～(21)，方程(21)等價(jià)于以下形式：

其中

通過定理2、引理4和引理5以及時(shí)間T的任意性可證得本文的主要結(jié)論定理1．

參考文獻(xiàn)：

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Existence and Uniqueness of Global Solution to a Mathematical Model of Retinal Vascular Tumors

Lu Chuang-ye,Wei Xue-mei

(School of Applied Mathematics, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510520, China)

Abstract:In this paper the researchers study a mathematical model of a retinal vascular tumor. The model is a fixed boundary problem of tumor growth, including several reaction diffusion equations and ordinary differential equations. The paper first discusses the classification of the model, then applies Lp-estimate and Banach Fixed Point Theorem to prove the existence and uniqueness of local solution under special conditions. In the end, the local solution proves to be global in special cases by continuation method.

Key words:tumor growth; global solution; existence; uniqueness

收稿日期:2015- 05- 20

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11101095);廣東省高層次人才項(xiàng)目(2014011)

作者簡介:盧創(chuàng)業(yè)(1990-)，男,碩士研究生，主要研究方向?yàn)槠⒎址匠?通信作者: 衛(wèi)雪梅，女，教授，主要研究方向?yàn)槠⒎址匠? E-mail：wxm_gdut@163.com

doi:10.3969/j.issn.1007- 7162.2016.03.013

中圖分類號(hào):O175

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1007-7162(2016)03- 0070- 06