圓形磁場(chǎng)周期性過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的拓展探究

鄭行軍

摘 要：磁場(chǎng)的周期性過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題在題干設(shè)置時(shí)常常會(huì)綜合帶電粒子運(yùn)動(dòng)的周期性問(wèn)題和隱含性問(wèn)題，學(xué)生在處理這類(lèi)問(wèn)題時(shí)往往感覺(jué)思路模糊，無(wú)法解題。由于實(shí)現(xiàn)周期性過(guò)定點(diǎn)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡具有一定的對(duì)稱性，故從軌跡的角度出發(fā)歸納可能構(gòu)建的題型，并結(jié)合物理規(guī)律和數(shù)學(xué)方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)該題型的處理，希望能為學(xué)生提供解決此類(lèi)問(wèn)題的有效思路。

關(guān)鍵詞：圓形磁場(chǎng)；對(duì)稱性；磁場(chǎng)邊界；圓心；對(duì)角

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2016）5-0015-4

圓形磁場(chǎng)的周期性過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題（即粒子在邊界為圓形的磁場(chǎng)中做周期性運(yùn)動(dòng)后會(huì)經(jīng)過(guò)某一特定位置的問(wèn)題）是高中磁場(chǎng)類(lèi)題目中的一個(gè)難點(diǎn)，這類(lèi)題目要求學(xué)生根據(jù)題目的限制性條件畫(huà)出粒子在磁場(chǎng)可能的運(yùn)動(dòng)軌跡，找出其幾何關(guān)系。在題目分析過(guò)程中常常會(huì)涉及帶電粒子運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性和周期性，解題時(shí)需要將物理規(guī)律和數(shù)學(xué)方法相結(jié)合，歸納出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑、時(shí)間的通式，考查考生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具的能力和綜合分析的能力[1]。本文從近幾年的命題趨勢(shì)中就其可能構(gòu)建的題型進(jìn)行歸納和整理，尋找其題目特征并提供相應(yīng)的解題策略。

1 沿徑向入射或出射型的模型解讀

假設(shè)圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，區(qū)域半徑為R，如圖1所示?，F(xiàn)有一電荷量為q，質(zhì)量為m的正電荷從a點(diǎn)沿圓形區(qū)域的半徑入射，經(jīng)偏轉(zhuǎn)后運(yùn)動(dòng)至b點(diǎn)，圓O實(shí)線部分為粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由軌跡特點(diǎn)分析得到其出射方向也必沿半徑方向[2]。

若粒子經(jīng)過(guò)圓形區(qū)域內(nèi)多次偏轉(zhuǎn)后回至a點(diǎn)，則角度關(guān)系必滿足nα=2kπ（k=1，2，3…）（n為粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的次數(shù)，k為粒子在圓形區(qū)域內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)）。由幾何關(guān)系知：θ+α=π，由于徑向入射（出射）α<π[3]，故需滿足n>2k。聯(lián)立qvB=mr，t=T或t=T，即可求得粒子實(shí)現(xiàn)周期性過(guò)定點(diǎn)的時(shí)間的可能取值；連接OO1，聯(lián)立qvB=m和tan=，即可求得軌跡半徑的可能取值。

例1 如圖3所示，3個(gè)同心圓是磁場(chǎng)的理想邊界，圓1半徑R1=R，圓2半徑R2=3R，圓3半徑R3（R3>R2）大小未定。圓1內(nèi)部區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，圓1與圓2之間的環(huán)形區(qū)域是無(wú)場(chǎng)區(qū)，圓2與圓3之間的環(huán)形區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度也為B，兩個(gè)區(qū)域的磁場(chǎng)方向均垂直于紙面向里。t=0時(shí)一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為+q（q>0）的離子（不計(jì)重力），從圓1上的A點(diǎn)沿半徑方向以速度v=飛進(jìn)圓1內(nèi)部磁場(chǎng)。問(wèn)：

（1）若離子飛不出環(huán)形磁場(chǎng)圓3的邊界，則圓3的半徑R3至少為多大？

（2）在滿足了（1）小題的條件后，離子自A點(diǎn)射出后會(huì)在兩個(gè)磁場(chǎng)不斷地飛進(jìn)飛出，從t=0開(kāi)始到離子第二次回到A點(diǎn)，離子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為多少？

（3）在同樣滿足了（1）小題的條件后，若環(huán)形磁場(chǎng)方向?yàn)榇怪庇诩埫嫦蛲?，其他條件不變，從t=0開(kāi)始到離子第一次回到A點(diǎn)，離子運(yùn)動(dòng)的路徑總長(zhǎng)為多少？

2 偏離徑向入射或出射型模型解讀

假設(shè)圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，區(qū)域半徑為R，如圖6所示?，F(xiàn)有一電荷量為q，質(zhì)量為m的正電荷從a點(diǎn)射入磁場(chǎng)，入射方向與半徑夾角為β，經(jīng)偏轉(zhuǎn)后運(yùn)動(dòng)至b點(diǎn)，圓O實(shí)線部分為粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。

例2 如圖7所示，半徑為R的絕緣圓筒中有沿軸線方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，筒形場(chǎng)區(qū)的邊界由彈性材料構(gòu)成。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子（不計(jì)重力）以某一速度從筒壁上的小孔M進(jìn)入筒中，速度方向與半徑成β=30 °夾角，并垂直于磁場(chǎng)方向。離子和筒壁的碰撞無(wú)能量和電荷量的損失。若選擇合適的進(jìn)入速度，離子可以從M孔射出。問(wèn)：

（1）如果離子與筒壁發(fā)生兩次碰撞后從M孔射出，離子的速率是多大？從進(jìn)入圓筒到返回M孔經(jīng)歷的時(shí)間是多少？

（2）如果離子與筒壁發(fā)生n次碰撞在圓筒中轉(zhuǎn)過(guò)一圈后從M孔射出，離子的速率又是多大？

（2）設(shè)碰撞n次后返回M孔時(shí)，如圖9所示，每相鄰兩次碰撞點(diǎn)對(duì)應(yīng)的場(chǎng)區(qū)的對(duì)角為α，則必須滿足（n+1）α=2π。

由上述例題分析可知，磁場(chǎng)的周期性過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題中的粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡往往具有一定的對(duì)稱性，故在設(shè)置限制性條件時(shí)具有以下隱含性特點(diǎn)：①若粒子沿圓形磁場(chǎng)的半徑方向入射或出射，則粒子每次到達(dá)磁場(chǎng)邊界時(shí)速度方向也必沿半徑方向；若粒子偏離半徑方向以一定的角度（偏射角）入射或出射，則粒子每次到達(dá)磁場(chǎng)邊界時(shí)速度方向與半徑的夾角必相同，皆等于初始位置的偏射角。②粒子在實(shí)現(xiàn)周期性過(guò)定點(diǎn)時(shí)，軌跡的圓心角與對(duì)角、偏射角之間存在一定的隱含關(guān)系。故如果從對(duì)稱性的角度[4]和角關(guān)聯(lián)角度分析和解決此類(lèi)問(wèn)題，找出粒子在磁場(chǎng)中可能的運(yùn)動(dòng)軌跡，并結(jié)合周期性規(guī)律和數(shù)學(xué)方法歸納出半徑、時(shí)間的通式，則此類(lèi)問(wèn)題都可以迎刃而解。

參考文獻(xiàn)：

[1]王雷.帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的邊界問(wèn)題[J].物理教學(xué)探討，2008，26（11）：3—4.

[2]范福生.帶電粒子穿越有圓形邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的“對(duì)稱性”分析[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2013，39（6）：41—42.

[3]楊玉良. 例析一類(lèi)物理問(wèn)題幾何關(guān)系的簡(jiǎn)便求法[J].物理教學(xué)探討，2015，33（9）：48—50.

[4]朱欣.帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱美賞析[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2003，29（8）：38—41.