基于Laplace變換與模式搜索法改進(jìn)的GM（2，1）模型

周振國(guó)　張宇陽(yáng)

【摘 要】通過(guò)查閱相關(guān)的資料了解到GM（2，1）模型主要存在的缺陷是強(qiáng)行定義邊界以及緊鄰均值序列預(yù)測(cè)公式和累加生成序列預(yù)測(cè)公式相互混淆。針對(duì)GM（2，1）模型存在的這兩大缺陷提出相應(yīng)的改進(jìn)措施；同時(shí)對(duì)傳統(tǒng)的GM（2，1）模型中求解白化方程的方法進(jìn)行了改進(jìn)，提出利用Laplace變換求解白化方程，這樣可以省去對(duì)微分方程的特征值進(jìn)行分類判斷的繁瑣步驟。在MATLAB上進(jìn)行的數(shù)值試驗(yàn)表明改進(jìn)后的GM（2，1）模型可以提高預(yù)測(cè)精度。

【關(guān)鍵詞】GM（2，1）；Laplace變換；模式搜索法；MATLAB

The Improved GM（2，1） Model Based on the Laplace Transform and Pattern Search Method

ZHOU Zhen-Guo ZHANG Yu-Yang

（College of Science， China University of Petroleum， Qingdao Shandong 266580， China）

【Abstract】Through accessing to large amounts of papers， we found that the two main shortcomings existed of GM（2，1）model are definiting borders unreasonably and garble about the prediction formulas of 1-IAGO and 1-AGO. We focus on the two shortcomings above and propose appropriate measures for improvement.Meanwhile we improve the method， used in solving albino equations of the traditional GM（2，1） model， and raise a new way that solve the same equations by Laplace transform.In this way， we can bypass those tedious steps to classify and judge the eigenvalues of ordinary differential equations（ODE）. After the numerical experiments we did in MATLAB， we can show that improved GM（2，1） model prossesses a high accuracy.

【Key words】GM（2，1）； Laplace Transform； Pattern Search Method； MATLAB

0 引言

GM（2，1）模型作為灰色理論系統(tǒng)的重要組成部分以其較高的精度以及在中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)中的優(yōu)勢(shì)而被應(yīng)用在實(shí)際生產(chǎn)生活中的很多方面，但是在實(shí)際應(yīng)用中GM（2，1）模型的精度有時(shí)候并不能達(dá)到人們所要求的精度，因此改進(jìn)GM（2，1）模型是很有必要的。文獻(xiàn)[1]指出GM（2，1）模型存在的缺陷，本文提出有針對(duì)性的改進(jìn)措施，同時(shí)提出利用Laplace變換求解常微分方程來(lái)簡(jiǎn)化模型。

1 Laplace變換以及模式搜索法簡(jiǎn)介

Laplace變換是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換，又名拉氏變換。拉氏變換是一個(gè)線性變換，可將一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)t（t≥0）的函數(shù)通過(guò)關(guān)系式■e■f（t）dt（式中st為自然對(duì)數(shù)底e的指數(shù)）轉(zhuǎn)換為一個(gè)關(guān)于復(fù)數(shù)s函數(shù)。對(duì)一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉氏變換，并在復(fù)數(shù)域中做運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉氏逆變換求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比在實(shí)數(shù)域中求得同樣的結(jié)果容易得多。因?yàn)槠滹@著的優(yōu)點(diǎn)，在工程中有廣泛的使用。

模式搜索法在計(jì)算時(shí)不需要目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，所以在解決不可導(dǎo)的函數(shù)或者求導(dǎo)異常麻煩的的函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)十分有效，模式搜索就是尋找一系列的點(diǎn)，這些點(diǎn)都越來(lái)越靠近最優(yōu)值點(diǎn)，當(dāng)搜索進(jìn)行到終止條件時(shí)則將最后一個(gè)點(diǎn)作為本次搜索的解。在求解最優(yōu)化問(wèn)題有較好的效果。

2 傳統(tǒng)GM（2，1）的構(gòu)造原理及一般步驟

為了方便使用Laplace變換，我們?cè)O(shè)定序列的下標(biāo)都是從0開(kāi)始的。

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文改進(jìn)的GM（2，1）模型對(duì)預(yù)測(cè)精度的提高，選取兩個(gè)實(shí)例建立GM（2，1）模型，比較其與傳統(tǒng)GM（2，1）模型和文獻(xiàn)[3]所給出的基于最小二乘法改進(jìn)模型以及文獻(xiàn)[2]所給出的基于加權(quán)組合和最小二乘法改進(jìn)的GM（2，1）模型的預(yù)測(cè)精度。

由上述兩個(gè)數(shù)值試驗(yàn)可以看出雖然在少數(shù)的點(diǎn)上本文提出的方法的精度不及其他方法，但總體平均誤差本文提出的改進(jìn)方法是占上風(fēng)的，因此該方法是有效的而且可靠的。

6 結(jié)論

本文參考已有的對(duì)GM（2，1）模型改進(jìn)的文獻(xiàn)，提出了利用Laplace變換以及模式搜索法來(lái)對(duì)GM（2，1）模型的缺陷進(jìn)行改進(jìn)的方法，省去了在求解白化微分方程中的繁瑣過(guò)程，數(shù)值試驗(yàn)也表明本文所提出的改進(jìn)方法能夠提高預(yù)測(cè)精度。

【參考文獻(xiàn)】

[1]趙新蕖，陳紅林.GM（2，1）模型預(yù)測(cè)公式的改進(jìn)研究[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，28（10）.

[2]牛思先，陳鵬宇，蘇玉剛.基于加權(quán)組合和最小二乘法改進(jìn)的GM（2，1）模型[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2010，22：28-30.

[3]沈繼紅，趙希人.利用最小二乘法改進(jìn)GM（2，1）模型[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，22（4）.

[4]吳賢華.實(shí)現(xiàn)模式搜索法快速收斂和全域最優(yōu)解的方法[J].溫州師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1994（6）.

[責(zé)任編輯：楊玉潔]