社團(tuán)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下SIS病毒傳播建模與分析

李嬋嬋，蔣國(guó)平

(南京郵電大學(xué) a.計(jì)算機(jī)學(xué)院；b.自動(dòng)化學(xué)院,南京 210003)

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社團(tuán)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下SIS病毒傳播建模與分析

李嬋嬋a，蔣國(guó)平b

(南京郵電大學(xué) a.計(jì)算機(jī)學(xué)院；b.自動(dòng)化學(xué)院,南京 210003)

摘要:考慮許多現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)具有社團(tuán)結(jié)構(gòu)，通過(guò)引入模塊化系數(shù)，并在該系數(shù)合理范圍控制下基于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)生成社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)模型以模擬現(xiàn)實(shí)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)。通過(guò)平均場(chǎng)方法研究網(wǎng)絡(luò)上的病毒傳播動(dòng)力學(xué)行為，推導(dǎo)傳播閾值表達(dá)式，并用蒙特卡羅仿真加以驗(yàn)證。研究表明：社團(tuán)結(jié)構(gòu)的存在使得網(wǎng)絡(luò)度分布發(fā)生變化，即社團(tuán)結(jié)構(gòu)越強(qiáng)，度分布越寬；同時(shí)，社團(tuán)結(jié)構(gòu)越強(qiáng)，病毒越易爆發(fā)；另外，傳染率遠(yuǎn)大于閾值時(shí)，不同強(qiáng)度的社團(tuán)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的傳播規(guī)模趨于一致，即網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)傳播規(guī)模影響不大。

關(guān)鍵詞：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò);社團(tuán)結(jié)構(gòu);病毒傳播;平均場(chǎng)

0引言

傳染病的流行，病毒在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)上的傳播以及謠言在信息網(wǎng)絡(luò)中的蔓延，對(duì)經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展帶來(lái)巨大沖擊。因此，研究病毒的傳播機(jī)理進(jìn)而采取相應(yīng)措施，有效應(yīng)對(duì)和控制病毒的傳播，具有重要的研究?jī)r(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。一方面，生物系統(tǒng)、通訊系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)媒介等，甚至宏觀(guān)的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行、社會(huì)管理等，都可以通過(guò)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來(lái)描述；另一方面，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的快速發(fā)展，為人們理解病毒的傳播機(jī)理和防控病毒的擴(kuò)散蔓延，提供了新起點(diǎn)、新方法。近年來(lái)，借助于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論研究病毒、謠言等的傳播動(dòng)力學(xué)[1-7]正在引起學(xué)者們的關(guān)注。正是由于社會(huì)網(wǎng)絡(luò)與人們正常生活的高度相關(guān)性，使得社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中的病毒傳播日益成為學(xué)術(shù)界關(guān)注的熱點(diǎn)。

人們很早就提出了多種流行病傳播模型。根據(jù)個(gè)體在系統(tǒng)中所處狀態(tài)，通常將相關(guān)個(gè)體抽象為易感個(gè)體、感染個(gè)體、免疫個(gè)體等等，并依據(jù)個(gè)體狀態(tài)的轉(zhuǎn)換過(guò)程來(lái)命名傳染病模型，SI模型、SIS模型和SIR模型是其中的3個(gè)經(jīng)典模型。SI模型中，易感個(gè)體被感染后無(wú)法恢復(fù)健康；在SIS模型中，易感個(gè)體感染后以一定概率恢復(fù)健康，并可能再次被感染；在SIR模型中，易感個(gè)體被感染后恢復(fù)健康且具有免疫力，不會(huì)再被感染。

作為定量理論研究的一種重要方法，傳染病動(dòng)力學(xué)建模在病毒傳播領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，也被引入到針對(duì)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性及病毒傳播研究之中，且取得了積極進(jìn)展[8-11]，其中一個(gè)重要發(fā)現(xiàn)是：社會(huì)網(wǎng)絡(luò)具有社團(tuán)結(jié)構(gòu)特性[8]。進(jìn)而，一些學(xué)者通過(guò)構(gòu)建社團(tuán)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)模型模擬現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)，推進(jìn)病毒傳播動(dòng)力學(xué)的研究[12-22]。

文獻(xiàn)[12-16]基于不同病毒傳播模型，研究無(wú)標(biāo)度社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)中的傳播特性，研究表明：社團(tuán)結(jié)構(gòu)抑制了病毒傳播。文獻(xiàn)[16]研究了異質(zhì)社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)中流行病傳播的可預(yù)測(cè)性問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)：橋節(jié)點(diǎn)度越小或傳染源離橋節(jié)點(diǎn)越遠(yuǎn)，傳播的可預(yù)測(cè)性越好；強(qiáng)社區(qū)結(jié)構(gòu)雖然的確能夠阻礙病毒擴(kuò)散，但卻易于導(dǎo)致傳播的不可預(yù)測(cè)性，而避免橋節(jié)點(diǎn)的感染是提高傳播可預(yù)測(cè)性的關(guān)鍵。文獻(xiàn)[17-18]考慮含有權(quán)重的無(wú)標(biāo)度社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)中的病毒傳播動(dòng)力學(xué)，其中[18]對(duì)比研究了緊耦合-小權(quán)重和松耦合-大權(quán)重這兩種混合型社團(tuán)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)模型(具有相同模塊化系數(shù))對(duì)病毒傳播的影響。文獻(xiàn)[19]考慮了重疊社團(tuán)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)上的病毒傳播，得到社團(tuán)結(jié)構(gòu)重疊部分增大會(huì)導(dǎo)致傳播規(guī)模增大的結(jié)論。文獻(xiàn)[20]則基于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建社團(tuán)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)并定義了一個(gè)參量來(lái)表征社團(tuán)化程度，研究社團(tuán)結(jié)構(gòu)對(duì)傳播動(dòng)力學(xué)的影響，發(fā)現(xiàn)社團(tuán)化程度越大，傳播閾值越小，病毒越容易爆發(fā)。文獻(xiàn)[21]基于傳統(tǒng)SIS和交通流驅(qū)動(dòng)SIS病毒模型，在隨機(jī)社團(tuán)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中研究了社團(tuán)結(jié)構(gòu)對(duì)病毒傳播速度的影響，發(fā)現(xiàn)：隨著社團(tuán)化程度的增大，在傳統(tǒng)SIS模型中傳播速度受到抑制，而交通流驅(qū)動(dòng)SIS模型反之。文獻(xiàn)[22]構(gòu)建了含有兩個(gè)不同度分布隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)，仿真結(jié)果表明度分布較大的社團(tuán)會(huì)持續(xù)處于地方病狀態(tài)，而病毒在度分布較小的社團(tuán)內(nèi)會(huì)爆發(fā)和滅絕交替發(fā)生。文獻(xiàn)[23]將真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中的連邊分為確定性連邊和隨機(jī)性連邊，通過(guò)頻譜分析發(fā)現(xiàn)：根據(jù)確定性連邊信息和隨機(jī)連邊的生成概率就可以預(yù)測(cè)病毒傳播閾值范圍；并基于小世界網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造具有確定連邊和隨機(jī)性連邊的異質(zhì)社團(tuán)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，分析了不同社團(tuán)規(guī)模下的傳播閾值。另外，關(guān)于多種群網(wǎng)絡(luò)、相互依賴(lài)和相互連接復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的病毒傳播[6,24-26]也類(lèi)似于社團(tuán)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)上的傳播動(dòng)力學(xué)。

本文在文獻(xiàn)[20]的基礎(chǔ)上，引入模塊化系數(shù)來(lái)判定網(wǎng)絡(luò)模型是否符合實(shí)際網(wǎng)絡(luò)；運(yùn)用平均場(chǎng)方法建立社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的SIS病毒傳播模型，推導(dǎo)出流行病傳播閾值的準(zhǔn)確表達(dá)式，研究病毒傳播的動(dòng)力學(xué)，并采用蒙特卡羅仿真加以驗(yàn)證。

1社團(tuán)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)模型

1.1網(wǎng)絡(luò)模型

社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)模型的生成過(guò)程為：1)網(wǎng)絡(luò)中總節(jié)點(diǎn)數(shù)為N，分為m組社團(tuán)，各組分別有ni(i=1，2，…，m)個(gè)節(jié)點(diǎn)，為更真實(shí)反映現(xiàn)實(shí)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)，一般設(shè)各個(gè)社團(tuán)的規(guī)模不同；2)各社團(tuán)內(nèi)的任意一對(duì)非鄰節(jié)點(diǎn)以概率α相連；3)任意兩個(gè)社團(tuán)之間的非鄰節(jié)點(diǎn)以概率β相連。

一般在社團(tuán)內(nèi)部，節(jié)點(diǎn)間緊密連接，而社團(tuán)間連邊較少，因此α?β。任意一個(gè)社團(tuán)i內(nèi)部連邊數(shù)為ni(ni-1)α/2，任意兩個(gè)社團(tuán)i，j間含有ninjβ個(gè)社團(tuán)間連邊，則網(wǎng)絡(luò)中連邊總數(shù)K為

(1)

文獻(xiàn)[20]中定義了一個(gè)參量：群落化程度ε(ε=α/β)用以表征網(wǎng)絡(luò)模塊化程度以及確定α,β的大?。寒?dāng)ε=1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)為隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)；當(dāng)ε?1時(shí)，則生成社團(tuán)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)，ε越大，社團(tuán)結(jié)構(gòu)越明顯。然而ε的取值是人為定義的，因此有必要確定ε的取值規(guī)則并使生成的網(wǎng)絡(luò)模型與現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)情形相符。結(jié)合Newman和Girvan在2004年提出的模塊化系數(shù)[27]，找出ε與模塊化系數(shù)Q之間的關(guān)系，從而可以確定ε的取值規(guī)則。模塊化系數(shù)Q定義為

(2)

其中，

eii=ni(ni-1)α/2K

(3)

(4)

eii為社團(tuán)i內(nèi)部連邊數(shù)占網(wǎng)絡(luò)總連邊數(shù)的比例，eij為社團(tuán)i，j間的連邊占網(wǎng)絡(luò)總連邊數(shù)的比例。本文在文獻(xiàn)[20]的網(wǎng)絡(luò)模型基礎(chǔ)上，引入模塊化系數(shù)Q，作為網(wǎng)絡(luò)的社團(tuán)化強(qiáng)度的衡量標(biāo)準(zhǔn)，并給出原文中ε的選取范圍。

將式(3)、(4)代入式(2)中，得到模塊化系數(shù)表達(dá)式：

(5)

由式(1)可以得到：

(6)

將式(6)帶入式(5)中，得到關(guān)于β的一元二次方程：

(7)

分別令：

(8)

將式(8)帶入式(6)中可以得到社團(tuán)內(nèi)連邊生成率：

(9)

(10)

式(10)中A同上文。從式(10)可以看出Q與ε正相關(guān)。

圖1表示Q與ε的關(guān)系曲線(xiàn)。實(shí)線(xiàn)(MF)為根據(jù)式(10)得到的理論值曲線(xiàn)，圓圈、三角以及菱形線(xiàn)(MC)為通過(guò)仿真得到的值，其中，3個(gè)子圖的網(wǎng)絡(luò)總邊數(shù)K分別為5 000、10 000和25 000。在各子圖中，Q與ε一一對(duì)應(yīng)，且Q隨著ε單調(diào)增大；通過(guò)對(duì)比3個(gè)子圖發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)連邊數(shù)K對(duì)ε幾乎沒(méi)有影響。研究者們通過(guò)對(duì)多個(gè)具有社團(tuán)結(jié)構(gòu)特性的真實(shí)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)一般網(wǎng)絡(luò)的模塊化系數(shù)Q((0.3,0.8)[21]，為保證Q的取值在此范圍內(nèi)，根據(jù)式(10)可推算出ε的取值范圍ε((1,230)。

1.2網(wǎng)絡(luò)度分布

圖2反映了社團(tuán)結(jié)構(gòu)對(duì)網(wǎng)絡(luò)度分布的影響。選取Q=0.3，0.5和0.7，并生成相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)，分別代表弱社團(tuán)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)、中等強(qiáng)度社團(tuán)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)以及強(qiáng)社團(tuán)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。從圖上可看出，社團(tuán)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的度分布依然呈泊松分布，且隨著Q的增大，網(wǎng)絡(luò)度分布變寬，峰值變小。當(dāng)Q=0.1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的社團(tuán)化強(qiáng)度更弱，度分布也是均勻的，只是度分布的峰值較Q=0.3時(shí)更高，且度分布的廣度更??；同理，Q=0.9時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的社團(tuán)化強(qiáng)度更強(qiáng)，度分布的峰值較Q=0.7時(shí)更低，且度分布的更廣。所用參數(shù)為：N=1 000，K=25 000，m=10。通過(guò)隨機(jī)生成500個(gè)網(wǎng)絡(luò)，求出各網(wǎng)絡(luò)的度分布并取平均值得到圖中曲線(xiàn)。

圖3給出節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的度值曲線(xiàn)。橫坐標(biāo)n表示節(jié)點(diǎn)編號(hào)，縱坐標(biāo)k表示節(jié)點(diǎn)度，圖中虛線(xiàn)用以區(qū)分社團(tuán)。為了直觀(guān)對(duì)比3個(gè)模塊化系數(shù)的結(jié)果，固定n1=n2=…=n10=100，其他參數(shù)同上。從圖中可知：節(jié)點(diǎn)的度值在k=50附近振蕩變化，Q越大，振幅越大，這與圖2中的Q越大，度分布越廣相對(duì)應(yīng)。這是由于各個(gè)社團(tuán)內(nèi)部分節(jié)點(diǎn)與其他社團(tuán)有連邊，所以社團(tuán)內(nèi)一部分節(jié)點(diǎn)的度較大，當(dāng)Q越大，外部連邊越少，社團(tuán)內(nèi)節(jié)點(diǎn)度的大小差異也越大。

2病毒傳播模型及閾值分析

(11)

(12)

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的社團(tuán)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度較大時(shí)，由于社團(tuán)間連邊很少，各個(gè)社團(tuán)內(nèi)部近似為隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)近似為均勻網(wǎng)絡(luò)，如圖2中Q=0.7所對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)；社團(tuán)結(jié)構(gòu)不強(qiáng)時(shí)，β越大(β無(wú)限趨近于α)，網(wǎng)絡(luò)越接近于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)基本還會(huì)保持度均勻性，如圖2中Q=0.3對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)。設(shè)初始時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)中有一個(gè)感染節(jié)點(diǎn)，當(dāng)傳播過(guò)程到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)，由于網(wǎng)絡(luò)參數(shù)相同，各社團(tuán)內(nèi)感染情況基本一致。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，假設(shè)各個(gè)社團(tuán)規(guī)模接近，則：

(13)

將式(13)代入式(12)得到：

(14)

令式(14)左邊等于0，即可推導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)傳播閾值：

qc=mγ/(α+β(m-1))

(15)

將式(8)、(9)中α、β代入式(15)，則得到傳播閾值準(zhǔn)確表達(dá)式：

(16)

前文中已知A>0，C<0，由式(16)可知qc與C負(fù)相關(guān)，且C正相關(guān)于Q，所以傳播閾值qc負(fù)相關(guān)于模塊化系數(shù)Q。

3仿真結(jié)果

3.1感染規(guī)模隨時(shí)間的變化

圖4表示在一定傳染率下，感染規(guī)模隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)I(t)。實(shí)線(xiàn)、虛線(xiàn)以及點(diǎn)劃線(xiàn)分別代表不同模塊化系數(shù)，3個(gè)子圖對(duì)應(yīng)的連邊總數(shù)分別為5 000，10 000和25 000。初始時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)中有一個(gè)種子節(jié)點(diǎn)，其它參數(shù)為N=1000，γ=0.5，m=10，循環(huán)次數(shù)為200。

從圖4觀(guān)察發(fā)現(xiàn)：在傳播過(guò)程初期，較大Q值對(duì)應(yīng)的感染節(jié)點(diǎn)增長(zhǎng)速度較快；而到某一時(shí)間步，感染節(jié)點(diǎn)增長(zhǎng)速度發(fā)生反轉(zhuǎn)；且Q越大，到達(dá)傳播穩(wěn)態(tài)規(guī)模所用時(shí)間越長(zhǎng)。以圖4a為例，在t=17前，點(diǎn)劃線(xiàn)對(duì)應(yīng)的值最大，其次是虛線(xiàn)，最后是實(shí)線(xiàn)；t>17時(shí)，3條曲線(xiàn)的值大小反了過(guò)來(lái)，最終，3條曲線(xiàn)達(dá)到穩(wěn)定，且穩(wěn)定值基本一致，圖4b、c也類(lèi)似。由于網(wǎng)絡(luò)中存在社團(tuán)結(jié)構(gòu)，社團(tuán)間連邊較少，在傳播初期，病毒首先在社團(tuán)內(nèi)快速傳播開(kāi)來(lái)，社團(tuán)內(nèi)連邊密度越大，傳播速度越快，因此該時(shí)段內(nèi)Q越大，傳播規(guī)模增長(zhǎng)也較快；而隨著傳播過(guò)程的發(fā)展，病毒也會(huì)通過(guò)外部連邊進(jìn)入其他社團(tuán)，從而擴(kuò)展到整個(gè)網(wǎng)絡(luò)，外部連邊越多，病毒擴(kuò)散到全局網(wǎng)絡(luò)的速度相對(duì)也越快，到達(dá)穩(wěn)態(tài)所用時(shí)間也越少。模塊化系數(shù)Q的大小只會(huì)影響傳播速度和到達(dá)穩(wěn)態(tài)所用時(shí)間，對(duì)傳播規(guī)模影響不大。

3.2傳播閾值仿真

根據(jù)式(16)分析得出傳播閾值qc與模塊化系數(shù)Q反相關(guān)。為了驗(yàn)證社團(tuán)結(jié)構(gòu)對(duì)傳播閾值的影響，圖5給出模塊化系數(shù)Q=0.3,0.5和0.7時(shí)，對(duì)應(yīng)的感染規(guī)模I與傳染率q之間的關(guān)系圖，網(wǎng)絡(luò)總連邊數(shù)K分別為5 000,10 000及25 000，初始時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)中有1個(gè)感染節(jié)點(diǎn)，其它參數(shù)為：N=1 000，m=10，γ=0.5。

先橫向?qū)Ρ?個(gè)子圖：當(dāng)網(wǎng)絡(luò)總連邊數(shù)K增大，網(wǎng)絡(luò)傳播閾值qc越小，這與式(17)相符。再觀(guān)察各個(gè)子圖：隨著模塊化系數(shù)Q的增大，傳播閾值qc減小，驗(yàn)證了理論結(jié)果。從單個(gè)子圖來(lái)看，隨著Q的增大，傳播閾值變小。因?yàn)樵趥鞑コ跗?，病毒首先在社團(tuán)內(nèi)擴(kuò)散，Q越大，社團(tuán)內(nèi)連邊密度相對(duì)越大，較小的感染率即可使病毒在社團(tuán)內(nèi)先爆發(fā)開(kāi)來(lái)。圖中所標(biāo)箭頭處為理論閾值，它們與仿真結(jié)果接近。

圖6表示傳播閾值qc與網(wǎng)絡(luò)連邊數(shù)K的關(guān)系曲線(xiàn)，為了更清楚顯示二者關(guān)系，該圖采用雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)，參數(shù)為N=1 000，m=10，Q=0.5，γ=0.2。實(shí)線(xiàn)(MF)是傳播閾值表達(dá)式(式(16))的圖形化，圓圈(MC)表示蒙特卡羅仿真結(jié)果。理論值與仿真值的趨勢(shì)基本一致，傳播閾值qc與網(wǎng)絡(luò)連邊總數(shù)K反相關(guān)。

4結(jié)語(yǔ)

傳染病動(dòng)力學(xué)建模作為對(duì)病毒傳播進(jìn)行定量理論研究的一種重要方法，受到病毒傳播研究學(xué)者的廣泛應(yīng)用。近年來(lái)，研究者們發(fā)現(xiàn)并持續(xù)關(guān)注許多真實(shí)網(wǎng)絡(luò)具有社團(tuán)結(jié)構(gòu)這一特性。本文引入模塊化系數(shù)Q，基于隨機(jī)網(wǎng)構(gòu)建社團(tuán)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)模型，控制各個(gè)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)以使所建模型符合現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)情況，并基于該網(wǎng)絡(luò)建立SIS病毒傳播模型，分析病毒傳播動(dòng)力學(xué)。該社團(tuán)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的度分布仍呈泊松分布，但模塊化系數(shù)越大，峰形越寬且峰值越小。數(shù)學(xué)分析和仿真結(jié)果表明：傳播閾值反比于網(wǎng)絡(luò)連邊總數(shù)；傳播閾值與社團(tuán)強(qiáng)度反相關(guān)，強(qiáng)社團(tuán)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的傳播臨界值越小；但當(dāng)感染率遠(yuǎn)大于閾值時(shí)，模塊化系數(shù)Q會(huì)影響傳播速度和到達(dá)穩(wěn)態(tài)所用時(shí)間，較大模塊化系數(shù)網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的傳播速度先快后慢，較小模塊化系數(shù)網(wǎng)絡(luò)的傳播速度反之，而模塊化系數(shù)對(duì)穩(wěn)態(tài)傳播規(guī)模影響不大。

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(責(zé)任編輯李進(jìn))

Modeling and Analysis of Epidemic Spreading on Community Structure Network

LI Chanchana, JIANG Guopingb

(a.School of Computer； b.School of Automation, Nanjing University of Posts and Telecommunications, Nanjing 210003, China)

Abstract：Considering many real networks have the community structure property, in this paper, by introducing modularity coefficient and under its control, we build a community network model based on random network, which is used to simulate the real social networks. Then we investigate the epidemic spreading behaviors by mean field theory and get the mathematical expression of epidemic threshold, we also verify it by Monte Carlo simulations. It is found that the existing of community structure can change the network degree distribution, namely, the stronger community structure networks have wider degree distribution. And the stronger the community structure is, the smaller the virus spread critical value will be. Moreover, when the infection rate far away from the epidemic threshold, the transmission sizes of networks with different community structure intensity almost the same, that is, the change of modularity coefficient barely affects the epidemic prevalence.

Key words：complex network; community structure; epidemic spread; mean field

文章編號(hào)：1672—3813(2016)02—0067—07;

DOI:10.13306/j.1672-3813.2016.02.008

收稿日期：2014-07-07；修回日期：2014-12-31

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(61374180，61373136，61304169)；教育部人文社科規(guī)劃基金(12YJAZH120)；教育部高等學(xué)校博士點(diǎn)基金(20103223110003)；江蘇省“六大人才高峰”項(xiàng)目(RLD201212)

作者簡(jiǎn)介：李嬋嬋(1989-)，女，山西運(yùn)城人，博士研究生，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜網(wǎng)絡(luò)與信息安全。 通訊作者：蔣國(guó)平(1966-)，男，江蘇揚(yáng)中人，博士，教授，主要研究方向?yàn)榛煦缦到y(tǒng)與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。

中圖分類(lèi)號(hào)：N93；N94

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A