水平與豎向加速度-時(shí)程曲線疊加效應(yīng)下邊坡永久位移計(jì)算的極限上限分析

王志斌，湯祖平,趙煉恒，程肖

(1. 湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201；2. 上海市政工程設(shè)計(jì)研究院有限公司深圳分院，廣東 深圳 518013; 3. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410075)

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水平與豎向加速度-時(shí)程曲線疊加效應(yīng)下邊坡永久位移計(jì)算的極限上限分析

王志斌1，湯祖平2,趙煉恒3，程肖3

(1. 湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201；2. 上海市政工程設(shè)計(jì)研究院有限公司深圳分院，廣東 深圳 518013; 3. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410075)

摘要：實(shí)際邊坡動(dòng)力穩(wěn)定性受地震豎向與水平方向效應(yīng)共同作用，傳統(tǒng)邊坡地震永久位移計(jì)算方法較少考慮豎向地震波影響，采用實(shí)際地震的豎向與水平方向加速度-時(shí)程曲線共同效應(yīng)更符合工程實(shí)際?；跇O限分析上限法和Newmark剛塑性滑塊模型，提出一種基于實(shí)際水平向與豎向地震加速度-時(shí)程曲線的邊坡永久位移計(jì)算改進(jìn)方法，以3個(gè)工程邊坡為例，探討了兩組具有代表性實(shí)測(cè)典型水平和豎向地震地面運(yùn)動(dòng)記錄對(duì)邊坡地震永久位移計(jì)算的影響。研究結(jié)果表明：不考慮豎向地震加速度-時(shí)程曲線時(shí)，本文方法可蛻化為與前人方法兼容；不同地震波的豎向與水平地震動(dòng)時(shí)程曲線的疊加效應(yīng)不同，豎向地震對(duì)邊坡永久位移的影響不可忽略。

關(guān)鍵詞：邊坡；地震永久位移；加速度-時(shí)程曲線；Newmark法；極限分析上限法

1965年，Newmark[1]提出了估算地震滑移量的剛塑性滑塊模型，并給出了采用邊坡滑移量代替安全系數(shù)以評(píng)價(jià)邊坡的抗震性能的建議。過(guò)去50年中，基于Newmark“滑塊模型”，許多學(xué)者結(jié)合土工試驗(yàn)與實(shí)際震害資料，進(jìn)一步探討了地震作用下邊坡的永久位移問(wèn)題[2]。Chang等[3]將Newmark的剛塑性滑塊模型應(yīng)用在自然邊坡的地震穩(wěn)定性分析中，基于極限分析上限法推導(dǎo)了直線型滑面和對(duì)數(shù)螺旋滑面邊坡永久位移的計(jì)算公式；You 等[4-5]采用極限分析上限法，結(jié)合Newmark“滑塊模型”的概念，給出了水平地震效應(yīng)下邊坡與加筋邊坡永久位移的設(shè)計(jì)圖表?，F(xiàn)有大部分研究均只考慮了水平向地震效應(yīng)[6-8]，但大量地震譜記錄都表明震中部位的豎向加速度峰值往往也較大[9-13]，關(guān)于豎向地震效應(yīng)對(duì)邊坡抗震性能影響的研究日益受到學(xué)者們的重視和關(guān)注[14]。欒茂田等[15]基于兩種曲面滑動(dòng)面(圓弧和光滑漸變非圓弧)，并考慮水平向與豎向加速度響應(yīng)，對(duì)于滑體位移計(jì)算模型進(jìn)行了改進(jìn)。分析表明：潛在滑動(dòng)體的地震位移總是小于僅考慮水平向地震響應(yīng)加速度時(shí)所得到的位移，且滑體位移取決于滑體上水平向與豎向地震響應(yīng)加速度的綜合作用。Ling等[16]采用極限平衡法和Newmark滑塊模型對(duì)陡坡的安全系數(shù)與永久位移進(jìn)行了研究，研究表明：豎向地震效應(yīng)對(duì)陡坡穩(wěn)定性影響顯著。當(dāng)水平加速度較大時(shí)，豎向加速度對(duì)邊坡抗震性能和永久位移的影響不容忽略。Simonelli等[17]應(yīng)用數(shù)值分析方法，針對(duì)干砂所組成的無(wú)限土坡，選取具有不同頻譜特性的多個(gè)實(shí)測(cè)地震加速度時(shí)程曲線，考慮水平與豎向地震加速度的不同組合方式對(duì)邊坡永久位移進(jìn)行分析，分析結(jié)果表明：當(dāng)邊坡永久位移高于厘米級(jí)時(shí)，豎向加速度影響可以忽略。黃建梁等[18]將豎向加速度幅值固定為水平向加速度幅值的2/3，假定3種水平與豎向地震疊加情況對(duì)算例邊坡進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算表明可以忽略豎向地震加速度的影響。同樣，針對(duì)無(wú)限邊坡，Jacques等[19]給出了考慮豎向與水平向地震效應(yīng)下永久位移的計(jì)算方法，但研究結(jié)果表明：豎向地震效應(yīng)顯著影響邊坡永久位移。上述研究成果表明，同時(shí)考慮水平向和豎向加速度效應(yīng)對(duì)邊坡永久位移的影響時(shí)，以往不考慮豎向加速度效應(yīng)的方法可能低估了同時(shí)疊加豎向與水平向地震動(dòng)效應(yīng)的影響[20-21]。

此外，傳統(tǒng)方法往往為簡(jiǎn)化分析過(guò)程，假定豎向與水平地震波波形一致，并假定豎向地震波為水平地震波量值的固定比值。然而，實(shí)際地震中豎向地震波與水平方向的地震波的時(shí)程曲線并非一致，波形一致假定和量值比例假定可能導(dǎo)致較大誤差。

本文基于極限分析上限法和強(qiáng)度折減技術(shù)，提出了一種基于實(shí)際水平與豎向方向的地震加速度-時(shí)程曲線的邊坡地震永久位移計(jì)算方法。采用極限分析上限法，結(jié)合Newmark“滑塊模型”的概念，按照地震波水平與豎向加速度-時(shí)程曲線特性，提出一種基于水平加速度-時(shí)程和豎向加速度-時(shí)程曲線的邊坡永久位移計(jì)算方法，探討兩組具有代表性實(shí)測(cè)典型水平和豎向地震地面運(yùn)動(dòng)記錄對(duì)邊坡永久位移的影響。

1基于水平加速度-時(shí)程曲線的邊坡永久位移簡(jiǎn)化計(jì)算方法

基于極限分析上限分析方法，采用對(duì)數(shù)螺旋面旋轉(zhuǎn)破壞機(jī)構(gòu)開(kāi)展地震作用下邊坡永久位移分析。破壞機(jī)構(gòu)引用Chen[22]、Chang等[3]和You等[4]提出的經(jīng)典機(jī)構(gòu)，并考慮了豎向地震影響效應(yīng)[23]，如圖1所示。

圖1　邊坡旋轉(zhuǎn)破壞機(jī)構(gòu)[3-4] ,[22-23] Fig.1　Rotational failure mechanism for slope

圖1中：H為邊坡豎直高度，m；β為邊坡傾角，(°)；kv表示豎向地震加速度系數(shù)；kh表示水平地震加速度系數(shù)，且kv=αv/g，kh=αh/g，αv、αh分別為豎向和水平地震加速度；g為重力加速度；θ0和θh為角度參數(shù)，用于描述對(duì)數(shù)螺旋線破壞機(jī)構(gòu)形態(tài)；r為與θ定義相對(duì)應(yīng)的極徑；r0為θ=θ0相對(duì)應(yīng)的極徑；φ為巖土材料內(nèi)摩擦角。同時(shí)，本文應(yīng)用了如下假定：1)分析問(wèn)題基于平面應(yīng)變條件考慮；2)巖土體材料假定為理想剛塑性體，服從摩爾庫(kù)倫強(qiáng)度準(zhǔn)則，并遵循相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則；3)邊坡內(nèi)部孔隙水壓力效應(yīng)、巖土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)c和φ因地震影響而發(fā)生弱化均不考慮；4)引入水平和豎向效應(yīng)時(shí)采用常見(jiàn)的擬靜力方法。

水平和豎向地震作用下邊坡處于臨界極限狀態(tài)時(shí)，外力功率包括滑體自重和地震力所做功率，內(nèi)部耗能沿滑面發(fā)生[23]。邊坡滑體自重功率、豎向和水平地震效應(yīng)所做功率和間斷面BC發(fā)生的內(nèi)部耗能計(jì)算過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)[3，4，22] 。

為進(jìn)行對(duì)比計(jì)算并簡(jiǎn)化分析過(guò)程，類似傳統(tǒng)Newmark“滑塊模型”分析方法，首先假定豎向地震波與水平地震波波形一致，并假定豎向地震效應(yīng)為水平地震效應(yīng)量值的固定比例值，即kv=λkh成立(λ為kv相對(duì)于kh的比例系數(shù))。地震效應(yīng)下，邊坡處于臨界狀態(tài)時(shí)，水平地震加速度系數(shù)kh恰好達(dá)到臨界屈服加速度kc，由功率平衡方程可得

(1)

進(jìn)而獲得邊坡的屈服加速度kc

(2)

(3)

由式(2)和(3)可得

(4)

式(1)～(4)中：θ0和θh分別為基準(zhǔn)線OB和OC與水平線的夾角；γ為材料容重，kN/m3；ω為剛性滑體ABC的角速度；f1～f3，f4～f6為無(wú)量綱表達(dá)式；l為滑動(dòng)體重心到轉(zhuǎn)動(dòng)圓心O點(diǎn)的距離；G為滑體的重力大小。具體表達(dá)式見(jiàn)文獻(xiàn)[3-4]，[18]。

由式(4)可以看出，坡體的轉(zhuǎn)動(dòng)加速度是一個(gè)與作用在坡體上的地震水平加速度有關(guān)的函數(shù)。在確定出坡體地震屈服加速度后，對(duì)式(4)進(jìn)行二次積分，便可得到滑塊ABC的累計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)滑移量，因此，通過(guò)幾何關(guān)系可求得邊坡坡腳的水平永久位移

(5)

式中：C為位移系數(shù)。

(6)

以上分析過(guò)程即為假定豎向與水平地震波時(shí)程波形一致，并假定豎向地震波時(shí)程幅值為水平地震波時(shí)程幅值的固定比值，以基于水平加速度-時(shí)程曲線的邊坡永久位移簡(jiǎn)化計(jì)算方法。實(shí)際地震中豎向地震波與水平向地震波的時(shí)程曲線并非一致，波形一致假定和量值比例假定可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)較大誤差。以下進(jìn)一步提出基于水平與豎向加速度-時(shí)程曲線的邊坡永久位移計(jì)算思路與方法。

2基于水平與豎向加速度-時(shí)程曲線的邊坡永久位移計(jì)算方法

2.1基本步驟

采用極限分析上限法，結(jié)合Newmark“滑塊模型”的概念，以往僅基于水平加速度-時(shí)程曲線的邊坡永久位移計(jì)算方法直接以水平屈服加速度評(píng)估邊坡處于臨界極限平衡狀態(tài)，進(jìn)而估算邊坡地震永久位移量，基本步驟可以概括為：

1)確定臨界屈服加速度，其中臨界屈服加速度為使邊坡處于臨界極限平衡狀態(tài)需施加的水平向地震加速度；

2)對(duì)于給定水平加速度時(shí)程曲線中大于水平屈服加速度的部分進(jìn)行二次積分便求得滑塊的總位移。

本文由于同時(shí)引入了水平和豎向地震影響效應(yīng)，直接以水平和豎向屈服加速度評(píng)估邊坡處于臨界極限平衡狀態(tài)時(shí)存在困難。故本文通過(guò)引入工程實(shí)際中常用的以安全系數(shù)Fs=1.0為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)判邊坡是否處于臨界極限平衡狀態(tài)，由此確定邊坡安全系數(shù)Fs=1.0為節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的水平和豎向臨界屈服加速度，進(jìn)一步對(duì)給定的水平和豎向加速度時(shí)程曲線中大于水平和豎向臨界屈服加速度的部分進(jìn)行二次積分求得對(duì)數(shù)螺旋線滑塊的總位移。

該分析思路實(shí)際上依然是基于Newmark“滑塊模型”假定進(jìn)行的，區(qū)別在于：以往以水平臨界屈服加速度評(píng)估邊坡第一次處于臨界極限平衡狀態(tài)，本文以水平和豎向地震時(shí)程波效應(yīng)下，邊坡第一次安全系數(shù)Fs恰好等于1.0為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)判邊坡達(dá)到了臨界極限平衡狀態(tài)?；谒脚c豎向地震加速度-時(shí)程曲線計(jì)算邊坡永久位移的基本步驟可以概括為：

1)基于實(shí)際水平與豎向地震加速度-時(shí)程曲線，將水平和豎向地震動(dòng)時(shí)程曲線在有效影響時(shí)長(zhǎng)范圍內(nèi)劃分為時(shí)間步非常短的多個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)；結(jié)合強(qiáng)度折減技術(shù)，通過(guò)從第一個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)開(kāi)始向后遍歷水平和豎向加速度-時(shí)程曲線每個(gè)時(shí)刻，對(duì)邊坡進(jìn)行穩(wěn)定性分析，結(jié)合數(shù)學(xué)插值方法找出邊坡安全系數(shù)Fs第一次等于1.0的時(shí)刻(為保證計(jì)算精度，設(shè)置相對(duì)誤差限值為10-3)，此時(shí)刻即邊坡開(kāi)始滑動(dòng)的時(shí)刻；由此獲得相應(yīng)此刻的水平地震加速度值kh和豎向地震加速度值kv，進(jìn)一步獲得此時(shí)刻邊坡的滑裂面參數(shù)(θ0，θh) ，并假定此后邊坡在地震作用下以此滑裂面保持不變。

2)依據(jù)所確定第一次滑動(dòng)的滑動(dòng)面參數(shù)(θ0，θh)，可以通過(guò)動(dòng)力平衡方程求得開(kāi)始滑動(dòng)以后邊坡每一時(shí)刻的加速度，通過(guò)兩次積分便可以求出邊坡在這段時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的位移，將其累積疊加在一起即為邊坡在整個(gè)地震過(guò)程中的永久位移。

2.2計(jì)算方法和原理

2.2.1強(qiáng)度折減法基本原理采用強(qiáng)度折減法求解邊坡安全系數(shù)的物理意義為：對(duì)潛在滑動(dòng)土體的抗剪強(qiáng)度參數(shù)折減Fs倍，邊坡恰好過(guò)度到臨界平衡狀態(tài)[24]。經(jīng)折減后的巖土材料抗剪強(qiáng)度參數(shù)(cf，φf(shuō))變?yōu)椋?/p>

(7)

式中：Fs為強(qiáng)度折減系數(shù)；c和φ為初始抗剪強(qiáng)度參數(shù)，cf和φf(shuō)為折減后的抗剪強(qiáng)度參數(shù)。

2.2.2穩(wěn)定性分析當(dāng)邊坡同時(shí)受豎向和水平地震影響效應(yīng)時(shí)，滑體外功率和內(nèi)耗能所滿足的動(dòng)力平衡方程為

(8)

結(jié)合強(qiáng)度折減原理，為確定豎向和水平地震影響效應(yīng)下邊坡的安全儲(chǔ)備，將原始抗剪強(qiáng)度指標(biāo)c和φ按式(7)折減并代入式(8)，有

(9)

式中：φf(shuō)=arctan(tanφ/Fs)，且系數(shù)f1～f3，f4～f6中內(nèi)摩擦角φ均由φf(shuō)=arctan(tanφ/Fs)替代。

根據(jù)極限分析上限定理，式(9)給出了豎向和水平地震影響效應(yīng)下邊坡安全系數(shù)FS的一個(gè)上限意義的隱式解答式。當(dāng)θh、θ0滿足條件

(10)

(11)

時(shí)，函數(shù)Fs(θh,θ0)取得一個(gè)極值，進(jìn)而得到邊坡安全系數(shù)FS的一個(gè)基于上限定理意義的解答。

根據(jù)上限解答的基本意義，當(dāng)邊坡體外力做功和內(nèi)部耗能值為最小時(shí)與其對(duì)應(yīng)的安全系數(shù)才為邊坡的最小安全系數(shù)。即強(qiáng)度折減系數(shù)Fs的上限意義解答實(shí)際上轉(zhuǎn)化成了一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題。對(duì)于兩個(gè)或兩個(gè)以上不同的自變量或自變量組合能得到多個(gè)該不同條件下的邊坡臨界狀態(tài)。將求Fs最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為約束非線性最優(yōu)化問(wèn)題，同時(shí)，由于安全系數(shù)FS實(shí)際上是一個(gè)隱函數(shù)，因而在進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算時(shí)還需要進(jìn)行迭代運(yùn)算。通過(guò)引入MATLAB中求解單目標(biāo)多變量非線性約束函數(shù)Fmincon函數(shù)[25]，編程采用序列二次規(guī)劃法進(jìn)行優(yōu)化迭代計(jì)算，詳細(xì)過(guò)程可參見(jiàn)文獻(xiàn)[26-27] 。

以上分析過(guò)程通過(guò)引入工程技術(shù)人員熟悉的強(qiáng)度折減技術(shù)進(jìn)行邊坡臨界失穩(wěn)狀態(tài)描述。遍歷地震動(dòng)時(shí)程曲線范圍，尋找到某一時(shí)刻的水平和豎向地震影響效應(yīng)作用時(shí)邊坡安全系數(shù)Fs第一次恰好等于1.0判定為邊坡第一次達(dá)到臨界極限平衡狀態(tài)，該臨界狀態(tài)即為邊坡開(kāi)始滑動(dòng)的時(shí)刻，與該臨界狀態(tài)對(duì)應(yīng)的水平和豎向加速度即為臨界屈服水平和豎向加速度。

2.2.3地震作用下邊坡開(kāi)始滑動(dòng)時(shí)刻及臨界滑動(dòng)面的確定同時(shí)考慮水平和豎向地震加速度-時(shí)程曲線時(shí)，由于并未假定λ=kv/kh為常量，則kv、kh兩者的比例關(guān)系不確定，故不能基于傳統(tǒng)Newmark滑塊法如式(9)采用屈服加速度的概念來(lái)判斷邊坡的產(chǎn)生滑動(dòng)的時(shí)刻。自1955年Bishop提出強(qiáng)度折減法以來(lái)，許多學(xué)者都采用此概念來(lái)評(píng)價(jià)邊坡的穩(wěn)定性，即分析邊坡的臨界狀態(tài)。對(duì)一個(gè)特定邊坡(給定邊坡參數(shù)β、γ、c、φ)，以下采用強(qiáng)度折減的概念來(lái)判斷邊坡在水平和豎向地震時(shí)程效應(yīng)下邊坡開(kāi)始產(chǎn)生滑動(dòng)的初始臨界狀態(tài)。具體描述為：

將水平和豎向地震動(dòng)時(shí)程曲線有效影響時(shí)長(zhǎng)劃分為時(shí)間步dt非常短的由(n)個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)(t(1)、t(2)、……、t(n-1)、t(n))組成的(n-1)個(gè)時(shí)段，通過(guò)從第一個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)t(1)開(kāi)始向后遍歷水平和豎向加速度-時(shí)程曲線第i時(shí)刻(kv(i)、kh(i))所對(duì)應(yīng)的Fs(i)，首先找到第一個(gè)kv(j)、kh(j)使邊坡失穩(wěn)的時(shí)間點(diǎn)，此瞬時(shí)時(shí)刻即Fs(j)≤1.0。同樣優(yōu)化求解并記錄上一瞬時(shí)時(shí)刻(j-1)邊坡的安全系數(shù)Fs(j-1)(Fs(j-1)>1.0)。假定邊坡安全系數(shù)在兩個(gè)瞬時(shí)時(shí)刻t(j-1)與t(j)之間線性變化，通過(guò)簡(jiǎn)單的線性插值法求出邊坡開(kāi)始滑動(dòng)(Fs=1.0)的時(shí)刻(t(j-1)+Δ)，如圖2所示，其中Δ由三角形的相似原理求得。

(12)

式中：dt為加速度-時(shí)程的時(shí)間步長(zhǎng)取值。

圖2　確定邊坡處于臨界滑動(dòng)時(shí)刻的安全系數(shù)示意圖Fig.2　Determination of the time that slop begins to

由于假定地震加速度kv、kh在dt內(nèi)為線性變化，故可依據(jù)第t(j-1)時(shí)刻的地震加速度(kv(j-1)、kh(j-1))和第t(j)時(shí)刻地震加速度(kv(j)、kh(j))求出第(t(j-1)+Δ)時(shí)刻(邊坡的臨界極限平衡狀態(tài))的地震加速度(kv(j-1+△)、kh(j-1+Δ))。并將(kv(j-1+Δ)、kh(j-1+Δ))帶入式(9)，采用上述2.2.2節(jié)中的序列二次優(yōu)化法對(duì)函數(shù)f(θ0，θh)進(jìn)行了優(yōu)化求解，校核邊坡最小安全系數(shù)是否為Fs(j-1+Δ)≈1.0(實(shí)際操作過(guò)程中，校核邊坡最小安全系數(shù)完全等于1.0非常困難，本文設(shè)置相對(duì)誤差限值為10-3，即認(rèn)為在該時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)安全系數(shù)計(jì)算值符合要求。事實(shí)上，這樣處理所導(dǎo)致的安全系數(shù)計(jì)算值差異非常小，影響后續(xù)邊坡滑裂面參數(shù)取值也非常細(xì)微)。由此得到此刻邊坡開(kāi)始滑動(dòng)的滑裂面參數(shù)(θ0、θh)，并假定此后邊坡在地震作用下以此滑裂面保持不變。進(jìn)一步對(duì)給定的加速度時(shí)程曲線中大于屈服加速度的部分進(jìn)行二次積分求得對(duì)數(shù)螺旋線滑塊的總位移。

同時(shí)需要說(shuō)明的是：對(duì)于某一特定邊坡而言，同時(shí)考慮某一特定地震波的水平向和豎直向加速度時(shí)，二者的臨界屈服加速度“組合”并不是唯一的。本文在選取兩者“組合”時(shí)，是依據(jù)該地震波時(shí)程范圍內(nèi)兩者“組合”的第一個(gè)使邊坡達(dá)到臨界失穩(wěn)狀態(tài)的時(shí)刻點(diǎn)。而非任意或者所有可能導(dǎo)致邊坡達(dá)到臨界狀態(tài)的“組合”。這樣實(shí)施的原因?qū)嶋H也符合僅考慮水平地震加速度-時(shí)程曲線時(shí)Newmark滑塊法計(jì)算邊坡永久位移的思想：在水平地震加速度-時(shí)程曲線上找到第一個(gè)使邊坡達(dá)到臨界失穩(wěn)狀態(tài)的時(shí)間點(diǎn)，并認(rèn)為邊坡的臨界滑裂面在出現(xiàn)永久位移的過(guò)程中不變。當(dāng)然，實(shí)際中水平向和豎直向地震效應(yīng)對(duì)邊坡的影響非常復(fù)雜，本文所選擇的計(jì)算策略僅為理想條件下的簡(jiǎn)化，后續(xù)值得進(jìn)一步研究。

2.3邊坡永久位移的計(jì)算

水平和豎向地震影響效應(yīng)下，當(dāng)邊坡恰好在第q時(shí)刻達(dá)到臨界失穩(wěn)狀態(tài)，滑體內(nèi)外功能處于動(dòng)力平衡的方程式(3)變?yōu)?/p>

(13)

式中：(kv(q)、kh(q))為第q時(shí)刻的豎向和水平地震加速度。參數(shù)(θ0，θh)為第q時(shí)刻邊坡開(kāi)始滑動(dòng)的滑裂面參數(shù)，可通過(guò)編制優(yōu)化程序求得。

由式(13)可得出地震作用下第q時(shí)刻的邊坡角加速度

(14)

在確定出邊坡的轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度以后，對(duì)給定的水平和豎向加速度時(shí)程曲線中大于水平和豎向臨界屈服加速度的部分進(jìn)行二次積分，便可得到滑塊ABC的累計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)滑移量，則邊坡坡腳的水平永久位移為

(15)

3算例與參數(shù)分析

3.1算例分析

僅輸入Northridge的水平地震波(圖7(a))采用You等[4]分析算例進(jìn)行對(duì)比分析。本文方法得到的邊坡永久位移為4.20 cm，與原文計(jì)算結(jié)果4.20 cm一致，速度和位移時(shí)程曲線分別如圖3和圖4所示。同時(shí)，本文方法獲得的邊坡臨界滑裂面幾何參數(shù)和安全系數(shù)(θ0，θh，F(xiàn)s)為(53.322，98.848，0.999)，與采用You等[4]所提方法進(jìn)行重新編程運(yùn)算所得的分析結(jié)果(θ0，θh，F(xiàn)s)=(53.356，98.807，1.0)吻合，表明當(dāng)只考慮水平向加速度時(shí)，本文方法蛻化為與前人方法兼容。

圖3　臨界失穩(wěn)狀態(tài)下滑塊角速度-時(shí)程曲線Fig.3　Slop angular velocity-time

圖4　地震影響效應(yīng)下邊坡永久位移-時(shí)程曲線Fig.4　Slop permanent displacement-time

3.2豎向地震效應(yīng)的影響分析

同時(shí)輸入Northridge(1994)的水平和豎向地震波(圖7(a))，其豎向加速度峰值為155.98 cm/s2，時(shí)間步長(zhǎng)取值為0.02。采用本文方法計(jì)算所得的邊坡角速度和位移時(shí)程圖如圖5和圖6所示。邊坡永久位移計(jì)算結(jié)果為4.48 cm，比只考慮水平地震效應(yīng)的永久位移計(jì)算結(jié)果略有增大，表明忽略豎向地震可能使邊坡永久位移計(jì)算結(jié)果偏于不安全。

圖5　臨界失穩(wěn)狀態(tài)下滑塊角速度-時(shí)程曲線Fig.5　Slop angular

圖6　地震影響效應(yīng)下邊坡永久位移-時(shí)程曲線Fig.6　Slop Permanent

由于天然地震具有強(qiáng)烈的隨機(jī)效應(yīng)，不同的豎向地震波與水平地震波的疊加效應(yīng)對(duì)邊坡永久位移影響不一樣。為更全面地分析豎向地震對(duì)邊坡永久位移的影響，本文中選取兩組具有不同頻譜特性的實(shí)測(cè)地震地面運(yùn)動(dòng)記錄(地震動(dòng)的信息見(jiàn)表1，加速度時(shí)程如圖7所示)作用在傾角為45°、70°、90°邊坡上(邊坡參數(shù)見(jiàn)表2)，采取本文邊坡地震永久位移計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。

圖7　地震加速度時(shí)程曲線Fig.7　Acceleration time history of

地震名稱時(shí)間記錄地點(diǎn)震級(jí)PGA(g)(H)PGA(g)(V)震中距離/kmPref.Vs30/(m·s-1)DTNorthridge(a)1994-01-17Moorpark6.60.2920.15931.45405.200.02Kobe(b)1995-01-17Kakogawa6.90.3450.15824.20312.000.01

表2　邊坡參數(shù)

表3　邊坡永久位移

注：a、b分別代表Northridge 、kobe地震；D1代表水平與豎向地震疊加效應(yīng)下邊坡的永久位移計(jì)算值；D2為僅考慮水平地震效應(yīng)的邊坡永久位移計(jì)算值，P=(D1-D2)/D2×100%。

由表3可以看出地震a的水平與豎向地震疊加效應(yīng)將使邊坡的永久位移計(jì)算值增加，地震b的水平與豎向地震疊加效應(yīng)將使邊坡的永久位移計(jì)算值減小，不同地震記錄的豎向與水平地震的疊加效應(yīng)不同；疊加效應(yīng)最大可使邊坡的地震永久位移計(jì)算值增大超過(guò)15%，故豎向地震對(duì)邊坡永久位移的影響不可忽略。

4結(jié)論

1)結(jié)合極限分析上限分析法和強(qiáng)度折減技術(shù)，提出了一種基于水平與豎向地震加速度-時(shí)程曲線的邊坡地震永久位移計(jì)算改進(jìn)方法。

2)探討了同水平向地震加速度-時(shí)程曲線成一定比例引入豎向地震加速度-時(shí)程曲線方法與基于實(shí)際水平與豎向地震加速度-時(shí)程曲線計(jì)算邊坡永久位移的差異。

3)不考慮豎向地震加速度-時(shí)程曲線的簡(jiǎn)化條件下，與已有研究成果的對(duì)比計(jì)算證明本文方法可蛻化為與前人方法兼容。

4)分析了兩組具有代表性實(shí)測(cè)典型水平和豎向地震波記錄對(duì)邊坡永久位移的影響規(guī)律，計(jì)算結(jié)果表明：不同的豎向地震與水平地震的疊加效應(yīng)不同，豎向地震對(duì)邊坡永久位移的影響不可忽略。

必須指出，本文在同時(shí)引入水平和豎向地震波影響效應(yīng)進(jìn)行地震永久位移計(jì)算時(shí)，采用了同時(shí)遍歷水平和豎向地震加速度時(shí)程曲線的方式，來(lái)獲求第一次達(dá)到臨界失穩(wěn)的時(shí)刻節(jié)點(diǎn)(以邊坡最小安全系數(shù)第一次出現(xiàn)Fs=1.0來(lái)表征)；這一時(shí)刻節(jié)點(diǎn)即假定為邊坡開(kāi)始滑動(dòng)的時(shí)刻，并假定此后邊坡在地震作用下此滑裂面保持不變；獲得相應(yīng)此刻的水平地震加速度值kh和豎向地震加速度值kv，進(jìn)一步依據(jù)破壞模式假定獲得此時(shí)刻邊坡的滑裂面參數(shù)(θ0，θh) 。這種計(jì)算策略存在如下特點(diǎn)：

1)這種策略與時(shí)程曲線上時(shí)間間隔大小的選取有密切關(guān)系，當(dāng)時(shí)間間隔取得越小時(shí)，計(jì)算耗時(shí)比較大；對(duì)于本文的簡(jiǎn)單邊坡算例而言雖然可以接受，但對(duì)復(fù)雜邊界條件下邊坡的位移分析有待進(jìn)一步研究；

2)本文在進(jìn)行分析計(jì)算時(shí)，依據(jù)Newmark剛性滑塊位移計(jì)算的基本假定開(kāi)展計(jì)算，認(rèn)為邊坡第一次達(dá)到臨界極限平衡狀態(tài)的時(shí)刻節(jié)點(diǎn)為開(kāi)始位移計(jì)算的初始時(shí)刻，此后邊坡在地震作用下以此滑裂面保持不變。且進(jìn)一步依據(jù)所確定第一次滑動(dòng)的滑動(dòng)面參數(shù)(θ0，θh)通過(guò)兩次積分求得邊坡在整個(gè)地震過(guò)程中的永久位移。但對(duì)于某一特定邊坡而言，在同時(shí)輸入某一地震的水平和豎向地震加速度時(shí)程曲線進(jìn)行分析時(shí)，引起邊坡失穩(wěn)的水平和豎向地震加速度組合可能并不是唯一的。該組合型式與巖土邊坡幾何、抗剪強(qiáng)度特性等參數(shù)，以及分析采用破壞模式均有聯(lián)系。本文方法對(duì)于復(fù)雜邊坡地震永久位移分析方法的適用性還有待進(jìn)一步深入。

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(編輯王秀玲)

Upper bound analysis of seismic permanent displacement of soil slopes based on horizontal and vertical acceleration time-history curves

Wang Zhibin1,Tang Zuping2,Zhao Lianheng3,Cheng Xiao3

(1. School of Civil Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201,Hunan,P.R. China;2. Shanghai Municipal Engineering Design Institute (Group) CO.,LTD-Shenzhen Branch, Shenzhen 518013,Guangdong,P.R. China; 3. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075,P.R. China)

Abstract:The dynamic stability of slopes is influenced by the horizontal and vertical earthquake forces. The traditional method of calculating the seismic permanent displacement does not take enough consideration about the vertical seismic effect. However, considering the combined effect of horizontal and vertical accelerations is more accord with the engineering practice. Based on the upper bound limit analysis and the model of Newmark’s rigid-plastic block, an approach for evaluating the permanent displacement of slopes based on the actual horizontal and vertical earthquake acceleration time-history curves is proposed. Three types of engineering slopes are studied to discuss the impact of two typical earthquake ground motions on seismic permanent displacement. The results show that: this method is compatible with the previous method without considering the vertical acceleration; the combined effect of horizontal and vertical accelerations is different for various earthquake records, and the influence of vertical acceleration on the permanent slope displacement cannot be ignored.

Keywords:slope; seismic permanent displacement; acceleration time-history curves; Newmark’s method; upper bound limit analysis

doi:10.11835/j.issn.1674-4764.2016.02.005

收稿日期：2014-11-18

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(51208522)；湖南省科學(xué)技術(shù)廳科技項(xiàng)目(2012SK3231、2012TT2039)；貴州省交通廳科技項(xiàng)目(2013-122-005)

作者簡(jiǎn)介：王志斌(1975-)，男，博士，主要從事路基路面工程研究，(E-mail)71496933@qq.com。

中圖分類號(hào)：TU435

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-4764(2016)02-0035-09

趙煉恒(通信作者)，男，博士(后)，副教授，博士生導(dǎo)師，(E-mail)zlh8076@163.com。

Received:2014-11-18

Foundation item：National Natural Science Foundation of China (No.51208522); Hunan Provincial Department of Science and Technology Foundation (No.2012SK3231,2012TT2039); Guizhou Provincial Department of Transportation Foundation (No.2013-122-005)

Author brief：Wang Zhibin (1975-), PhD, main research interests: subgrade and pavement engineering, (E-mail) 71496933@qq.com.

Zhao Lianheng (corresponding author), postdoctor, associate professor, PhD supervisor, (E-mail) zlh8076@163.com.