重視變式訓(xùn)練拓展學(xué)生思維

◇　山東　楊　希

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重視變式訓(xùn)練拓展學(xué)生思維

◇山東楊希

變式訓(xùn)練的核心是通過(guò)變式的構(gòu)造,將數(shù)學(xué)知識(shí)生成和發(fā)展的演變過(guò)程表示出來(lái),并將解題思路和易錯(cuò)點(diǎn)揭示給學(xué)生．通過(guò)變式訓(xùn)練的設(shè)置,我們可以增加標(biāo)準(zhǔn)試題中的干擾因素,增強(qiáng)學(xué)生解題的邏輯思維能力,提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．同時(shí),變式訓(xùn)練也有效提高了數(shù)學(xué)訓(xùn)練效率,實(shí)現(xiàn)了新課改要求的減負(fù)目標(biāo)．在本文中,我們將從高中數(shù)學(xué)實(shí)踐角度出發(fā),對(duì)數(shù)學(xué)訓(xùn)練中的變式訓(xùn)練進(jìn)行探討,實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的拓展訓(xùn)練．

1本質(zhì)不變,更換表述

在傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)訓(xùn)練中,我們往往采用題海戰(zhàn)術(shù),但這樣的訓(xùn)練方式不僅枯燥,而且缺乏高效性．有些學(xué)生做了大量數(shù)學(xué)題,但一碰到新題時(shí)還是無(wú)從下手,很多時(shí)候題目只是換了一種說(shuō)法,就給解題帶來(lái)了阻礙．對(duì)此,我們?cè)谧兪接?xùn)練實(shí)施過(guò)程中,采取本質(zhì)不變、更換表述的形式,深化學(xué)生對(duì)變式習(xí)題的認(rèn)識(shí)．

圖1

變式過(guò)點(diǎn)A(-6,0)的動(dòng)直線(xiàn)l1與過(guò)點(diǎn)B(2,0)的動(dòng)直線(xiàn)l2和x軸圍成的△PAB中,PO始終平分∠APB,試求點(diǎn)P的軌跡方程．

很多學(xué)生做到這里就終止了,細(xì)心的同學(xué)可以發(fā)現(xiàn)我們還缺乏對(duì)定義域的判定．當(dāng)方程過(guò)原點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P與原點(diǎn)重合,故可知x≠0．由于題意可知,當(dāng)點(diǎn)P落于x軸上除線(xiàn)段AB以外的任意一點(diǎn)處均有∠APO=∠BPO=0．所以,這也是本題成立的一種特殊情況,即在方程y=0(x<-6及x>2)時(shí)成立．故本題的最終答案即上述二者的綜合．

通過(guò)此類(lèi)換湯不換藥的變式訓(xùn)練,學(xué)生們對(duì)題目表述的認(rèn)識(shí)越發(fā)深刻,審題及解題思路越發(fā)清晰．

2題設(shè)不變,改變解法

變式訓(xùn)練不僅指對(duì)題目的改變,針對(duì)相同的一道習(xí)題使用不同的解法,同樣可以實(shí)現(xiàn)變式訓(xùn)練的目的,也就是我們所說(shuō)的一題多解．通過(guò)一題多解式的變式訓(xùn)練,可以激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)解題的潛能與積極性,對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力及綜合能力的培養(yǎng)作用顯著．在日常的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們不妨利用相同的題目,通過(guò)解法的變化達(dá)到有效的變式訓(xùn)練作用．

設(shè)函數(shù)g(x)=x2+2x+a，則g(x)在[1,+∞)遞增,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,在x=1時(shí),gmin(x)=3+a．此時(shí),要想保證x2+2x+a>0恒成立,即是要保證3+a>0,最終可以得到a>-3．

方法2在法1的基礎(chǔ)上,對(duì)x2+2x+a>0的形式進(jìn)行改編,由原式恒成立進(jìn)一步可得a>-x2-2x恒成立．故可得a>h(x)=-x2-2x,在x∈[1,+∞)時(shí)恒成立．而在該定義域內(nèi),hmax(x)=-3,故a的取值范圍是(-3,+∞)．

方法3首先對(duì)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn),即

在定義域x∈[1,+∞)中,當(dāng)a≥0時(shí)函數(shù)f(x)的值恒為正;當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)為增函數(shù),故x=1時(shí)函數(shù)可以取到最小值fmin(x)=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)3+a>0時(shí)恒成立,即是a>-3．

從本題的求解來(lái)看,面對(duì)相同的一道題目,我們采取了多樣化的求解方式．在實(shí)際訓(xùn)練過(guò)程中,我們同樣可以采用類(lèi)似的一題多解變式訓(xùn)練,幫助學(xué)生拓展自身的解題思維．

3逐層深入,改變提問(wèn)

高中數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練的核心在于變式構(gòu)造,將數(shù)學(xué)問(wèn)題發(fā)展演變的思路揭示給學(xué)生．在日常的變式訓(xùn)練中,我們最常使用的就是遞進(jìn)式變式,通過(guò)對(duì)提問(wèn)難度的逐層增加,實(shí)現(xiàn)變式訓(xùn)練在數(shù)學(xué)思維與解題方法上的教學(xué)目的．

變式已知sin4x+cos4x=23/32,試求sinx-cosx的值．

sin4x+cos4x+2sin2xcos2x=1,

題目經(jīng)過(guò)變式改編后,其難度得到了適當(dāng)提高．首先由關(guān)系式sin4x+cos4x=23/32可得

(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=23/32,

即sinxcosx=±3/8．

然后針對(duì)2個(gè)值進(jìn)行討論分析:

當(dāng)sinxcosx=3/8時(shí),

當(dāng)sinxcosx=-3/8時(shí),

雖然只是小小的改變,但題目的難度和復(fù)雜性卻得到了顯著提高,此類(lèi)變式可以在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段廣泛采用,可以顯著提高習(xí)題課的效率．

總之,在高中數(shù)學(xué)訓(xùn)練中,很多問(wèn)題都是同根同源的．在訓(xùn)練設(shè)計(jì)上,我們必須秉承新課改理念,優(yōu)化變式訓(xùn)練實(shí)效性,在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中有目的、有原則、有方法地推進(jìn)變式訓(xùn)練在高中數(shù)學(xué)解題中的使用．唯有從學(xué)生角度出發(fā),實(shí)施綜合性、創(chuàng)新性的變式教學(xué),才是拓展學(xué)生思維的有效方式．

(作者單位：山東省淄博市周村區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué))