有限狀態(tài)多期模型下的最小κ熵等價鞅測度期權(quán)定價

翟迎新,讓光林

(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 武漢，430072)

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有限狀態(tài)多期模型下的最小κ熵等價鞅測度期權(quán)定價

翟迎新,讓光林

(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 武漢，430072)

本文用一個純跳的隨機(jī)過程來描述標(biāo)的資產(chǎn)價格的動態(tài)性，稱為有限狀態(tài)多期模型?？紤]只有一個標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價模型，給出其最小κ熵等價鞅測度，在此基礎(chǔ)上采用Monte Carlo模擬歐式期權(quán)定價MCMEM(κ)方法，分別以虛擬Black-Scholes世界中歐式期權(quán)價格和現(xiàn)實金融市場中的麥當(dāng)勞股票期權(quán)價格為例，對MCMEM(κ)和Black-Scholes公式等其他定價方法進(jìn)行比較，驗證了MCMEM(κ)的可行性。

最小熵；等價鞅測度；期權(quán)定價；有限狀態(tài)多期模型；歐式期權(quán)

Black-Scholes期權(quán)定價公式為包括股票、債券、貨幣、商品在內(nèi)的新興衍生金融市場中各種根據(jù)市價變動定價的衍生金融工具的合理定價奠定了基礎(chǔ)。但Black-Scholes期權(quán)定價模型中有很多假設(shè)與現(xiàn)實市場不符，如股票價格行為服從對數(shù)正態(tài)分布模式、在期權(quán)有效期內(nèi)無風(fēng)險利率和金融資產(chǎn)收益恒定等。隨著金融理論的不斷完善，很多研究人員開始探討放松Black-Scholes模型中的某些條件以獲得新的期權(quán)定價模型。例如，用隨機(jī)變量替代Black-Scholes期權(quán)定價模型中的某些固定參數(shù)，得到隨機(jī)波動率模型[1]；在標(biāo)的資產(chǎn)價格運動模型中引入跳-擴(kuò)散過程或純跳過程[2]；用非參數(shù)方法對衍生產(chǎn)品進(jìn)行定價，如正則定價法[3-4]。

本文擬采用一個純跳的隨機(jī)過程來描述標(biāo)的資產(chǎn)價格，考慮只有一個標(biāo)的資產(chǎn)的有限狀態(tài)多期模型，給出其最小κ熵等價鞅測度，并提出基于Monte Carlo模擬的歐式期權(quán)定價方法，然后分別以虛擬Black-Scholes世界中歐式期權(quán)和現(xiàn)實市場中的麥當(dāng)勞股票期權(quán)價格為例，對最小κ熵等價鞅測度定價方法(MCMEM(κ))和Black-Scholes公式等其他定價方法進(jìn)行比較，以驗證MCMEM(κ)的可行性。

1 最小κ熵等價鞅測度定價方法

1.1 有限狀態(tài)多期模型

本文采用文獻(xiàn)[5]建議的逐天記錄價格變化的模型作為股票價格運動模型。記當(dāng)前時刻的股票價格為S0，T天以后的股票價格可以表示成

(1)

式中：Zj是從第j-1天到第j天股票價格的變化量，即Zj=Sj-Sj-1。

假定所有價格變化來自一個有限狀態(tài)空間Z={z1,z2,…,zn}，其中n是狀態(tài)的個數(shù)。關(guān)于股票價格逐日的變化量，作如下假定(APC)：

(1)Z中元素的個數(shù)是有限的, 可以由歷史數(shù)據(jù)估計出來；

(2)標(biāo)的資產(chǎn)價格的逐日變化之間相互獨立；

將以上模型稱為有限狀態(tài)多期模型。這個模型中每天股票價格的可能變化超過2個，一般而言這樣的市場都是不完備市場。

在不完備市場下，等價鞅測度集合通常不是單點集合，需要從許多等價鞅測度中選取一個合適的定價測度。備選原則有多種，應(yīng)用相對熵最小原則就可以得到最小κ熵等價鞅測度[6]，該測度誘導(dǎo)出來的定價泛函是一個正的泛函，從而是一個合適的定價測度。

1.2 最小κ熵等價鞅測度

記市場價格變化的自然測度為P，記它的等價鞅測度為Q。由無套利定價原理可知, 對于一個T天的價格過程, 等價鞅測度Q必須滿足:

(2)

在有限狀態(tài)多期模型中, 第j天價格變化的自然測度為

P的等價鞅測度Q必須滿足式(2)和下面的約束:

定義1 設(shè)(Ω,F,Ρ)為一個概率空間，Q為可測空間(Ω,F)上的另一概率測度，定義測度Q相對于測度P的相對κ熵[6]為

Hκ(Q|

對于有限狀態(tài)多期模型而言，Q關(guān)于P的相對κ熵為

下面研究一種最簡單的情形: 假定所考慮的期權(quán)寫在一種標(biāo)的資產(chǎn)上，在T天以后到期，標(biāo)的資產(chǎn)在所考慮時間段內(nèi)沒有紅利支付，在到期日前銀行利率是一個常數(shù)，沒有交易費用，這正是文獻(xiàn)[3]中考慮的情形。

由式(2)以及關(guān)于股票價格變化的假設(shè)(APC)，有

可以改寫為

根據(jù)最小κ熵等價鞅測度的定義,有如下凸優(yōu)化問題：

使用拉格朗日乘數(shù)法,取兩個拉格朗日乘子分別為λ和γ，則目標(biāo)函數(shù)為

(3)

式中：Q=(q1,q2,…,qn)。

分別對目標(biāo)函數(shù)式(3)關(guān)于Q、λ、γ求偏導(dǎo)后可得到以下方程組：

λ+γzi=0，i=1,2,…,n

(4)

(5)

(6)

=1，則

由式(4)可以得到

(7)

(8)

{[-(λ+γzi)-

i=1,2,…,n

(9)

其中，(λ，γ)∈R2為以下方程組的唯一解：

從命題1可以看出, 最小κ熵等價鞅測度是關(guān)于S0、r、T、Ρ的函數(shù)。用LINGO軟件可直接求得Q*，然后就能夠根據(jù)無套利定價原理給出T天后到期、敲定價格為K的歐式期權(quán)的風(fēng)險中性價格:

(10)

1.3 Monte Carlo模擬計算風(fēng)險中性價格

對于一個T天后到期的歐式看漲期權(quán)，標(biāo)的資產(chǎn)的價格軌道中有T個價格變化需要模擬。這些價格變化被認(rèn)為是從一個有限狀態(tài)集合中按照最小κ熵等價鞅測度Q*獨立抽取的樣本， 按如下方式記向量QC：QC(1)=0，QC(i)=QC(i-1)+Q*(i-1)，i=2,3,…,n。

為了模擬出一條軌道上的第j次價格變化Zj,首先隨機(jī)抽取一個區(qū)間 [0,1] 上的均勻分布隨機(jī)變量s，如果滿足QC(i)≤s

(1)空氣濾清器阻塞清洗空氣濾清器芯子或清除指質(zhì)濾芯上的灰塵，必要時應(yīng)更換，以及檢查機(jī)油平面是否正常。(2)排氣管阻塞或接管過長，轉(zhuǎn)彎半徑太小、彎頭過多清除排氣管內(nèi)積碳，重新排氣接管，彎頭不能多余三個，并有足夠大的排氣截面。

其中，Zk,j為第k條價格軌道中j時刻的價格變動。

在下面的研究中, 每次估計期權(quán)價格都用 Monte Carlo 方法[7]產(chǎn)生N=1000條價格的樣本軌道，然后把樣本平均作為期權(quán)價格的估計值。本文將采用Monte Carlo模擬方法計算風(fēng)險中性價格的最小κ熵等價鞅測度定價方法記為MCMEM(κ)，而將最小熵等價鞅測度定價方法[7]記為MCMEM(0)。

2 MCMEM(κ)與MCMEM(0)的比較

圖1 效用函數(shù)曲線的對比

表1 不同κ值所對應(yīng)的u′與的偏差

以上分析說明，最小κ熵等價鞅測度更加貼近實際的金融市場，所以MCMEM(κ)定價方法理論上要優(yōu)于MCMEM(0)定價方法。

3 MCMEM(κ)在虛擬Black-Scholes世界中的應(yīng)用

在虛擬Black-Scholes世界中，本文采用如下改進(jìn)的方法對歐式期權(quán)價格進(jìn)行估計:生成一條長度為T的價格軌道, 然后從這些價格中估計出歷史波動率δ和市場狀態(tài)集合Z，計算出相應(yīng)的基于歷史波動率的Black-Scholes值(HVBS)和MCMEM(κ)值，并與真實的Black-Scholes值(BS)進(jìn)行比較。由于價格軌道產(chǎn)生的隨機(jī)性，實驗重復(fù)以上過程100次，取其平均值作為各種方法對歐式期權(quán)價格的估計。

在上述隨機(jī)模型中，設(shè)連續(xù)復(fù)利r=0.05，幾何布朗運動的漂移和波動率分別為μ=0.05,δ=0.2。計算出固定敲定價格K=100、到期日T=30、當(dāng)前市場價格S0不同時的期權(quán)價格，結(jié)果如表2所示。

表2 采用不同方法的期權(quán)定價(K=100,T=30)

由表2可見，HVBS值與BS值的平方誤差和最小，而相比于MCMEM(0)，MCMEM(κ)(κ=0.1,0.25,0.5,0.75)值與BS值的平方誤差和較小，這也進(jìn)一步說明MCMEM(κ)方法比MCMEM(0)方法在期權(quán)定價中的表現(xiàn)更好。HVBS值與BS值的平方誤差和很小是因為HVBS在估計期權(quán)價格的過程中用到了標(biāo)的資產(chǎn)價格運動是幾何布朗運動的信息，而MCMEM(κ)方法卻可以在沒有利用任何有關(guān)標(biāo)的資產(chǎn)價格運動過程分布特性的前提下得到如此準(zhǔn)確的估計，說明其能夠有效地從標(biāo)的資產(chǎn)的歷史價格數(shù)據(jù)中收集可用于期權(quán)定價的信息。因此,MCMEM(κ)方法是可行的且優(yōu)于最小熵等價鞅測度定價方法 。

4 MCMEM(κ)在現(xiàn)實金融市場中的應(yīng)用

一種期權(quán)定價方法在虛擬世界中表現(xiàn)得再好, 也不能保證它在現(xiàn)實市場中的適用性，所以下面以麥當(dāng)勞股票為例分析MCMEM(κ)方法在實際金融市場中的表現(xiàn)。

以麥當(dāng)勞股票(股票代碼MCD)為標(biāo)的資產(chǎn)，選取其在2012年1月9日至2016年4月25日期間的1080個收盤價數(shù)據(jù)，初始值S0取股票歷史價格的最后一個值，即2016年4月25日的收盤價，故S0=127.46。取無風(fēng)險利率為1%，分別對到期日T=5、20、40、105、195，執(zhí)行價格K=115、120、125、130、135、140的期權(quán)價格進(jìn)行分析。

采用R語言編程計算，由麥當(dāng)勞股票的1080個收盤價數(shù)據(jù)和其他給定的參數(shù)，得到歐式看漲期權(quán)的HVBS值和MCMEM(κ)值 (κ=0,0.1,0.25,0.5,0.75)，結(jié)果見表3。表4為麥當(dāng)勞股票真實期權(quán)價格與各定價方法下估計值的平方誤差和。

由表3可見，MCMEM(κ)定價的擬合效果比較好，更加驗證了該方法的適用性和可行性。MCMEM(κ)方法估計的期權(quán)價格在到期日較短時優(yōu)于基于歷史波動率的Black-Scholes方法所得期權(quán)價格(HVBS)，但是在到期日較長時，MCMEM(κ)定價法得到的期權(quán)價格偏離真實價格較遠(yuǎn)，這是因為歷史價格的數(shù)據(jù)有限，短期變化可以從歷史信息中表現(xiàn)出來，但是長期的變化則無法根據(jù)有限的歷史信息完全預(yù)測。

表3 采用不同方法的麥當(dāng)勞股票期權(quán)定價

續(xù)表

K定價方法期權(quán)價格T=5T=20T=40T=105T=195125BS2．673．494．045．987．95HVBS2．73113．62984．49516．45538．4077MCMEM(0)2．63753．23463．75134．82046．7613MCMEM(0．1)2．63903．19924．10535．24846．9008MCMEM(0．25)2．64613．02623．85925．21446．8241MCMEM(0．5)2．50432．97453．49404．82857．0587MCMEM(0．75)2．52013．23023．84065．09286．5183130BS0．100．791．323．355．45HVBS0．25471．14712．01293．97985．9429MCMEM(0)0．10730．54251．21242．55453．7936MCMEM(0．1)0．13980．64031．22592．65553．9480MCMEM(0．25)0．06620．60341．25892．59773．8649MCMEM(0．5)0．07150．62991．15592．42164．0690MCMEM(0．75)0．09010．62341．19502．78063．9363135BS0．020．060．251．603．45HVBS0．00260．22280．71882．27414．0496MCMEM(0)0．00390．03370．27171．07762．0441MCMEM(0．1)0．00290．03940．26001．20962．2370MCMEM(0．25)0．00260．04530．29711．05372．2316MCMEM(0．5)0．00020．03520．26041．12812．4216MCMEM(0．75)00．05060．24371．13222．1007140BS0．050．010．050．552．05HVBS00．02570．20271．20412．6620MCMEM(0)00．00360．01270．40231．0534MCMEM(0．1)00．00500．03870．34611．1316MCMEM(0．25)00．00590．02740．46971．1813MCMEM(0．5)000．02200．29681．0822MCMEM(0．75)00．00070．03150．37581．1462

表4 麥當(dāng)勞股票真實期權(quán)價格與各定價方法所得估計值的平方誤差和

從表4可以看出真實期權(quán)價格與MCMEM(κ)(κ=0.1,0.25,0.5,0.75)的平方誤差和要小于其與MCMEM(0)的平方誤差和，這為MCMEM(κ)定價方法的存在必要性進(jìn)一步提供了依據(jù)。

5 結(jié)語

本文引入了一種新的期權(quán)定價方法——采用Monte Carlo模擬的最小κ熵等價鞅測度定價MCMEM(κ)，它是一種完全由數(shù)據(jù)驅(qū)動的定價方法，不依賴任何關(guān)于股票價格分布的假設(shè)，也可以嵌入隨機(jī)紅利或隨機(jī)利率的影響，因此應(yīng)用比較靈活。

從虛擬Black-Scholes世界中歐式期權(quán)定價隨機(jī)模擬實驗結(jié)果和現(xiàn)實金融市場中麥當(dāng)勞股票期權(quán)定價結(jié)果來看，MCMEM(κ)方法是可行的，且在一定程度上要優(yōu)于MCMEM(0)。

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[責(zé)任編輯 尚 晶]

Option pricing based on the minimalκ-entropy equivalent martingale measure for finite state multi-period model

ZhaiYingxin,RangGuanglin

(School of Mathematics and Statistics, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

This paper uses a pure jump stochastic process called the finite state multi-period model to describe the dynamics of underlying asset prices. Option pricing model for only one underlying asset is considered and the minimumκ-entropy equivalent martingale measure is deduced. On this basis, a pricing method for European option using Monte Carlo simulation named as MCMEM(κ) is proposed. MCMEM(κ) and other pricing methods such as Black-Scholes formula are used to evaluate European option price in a virtual Black-Scholes world and the option price of McDonald’s stock in the real financial market. The comparison results verify the feasibility of MCMEM(κ).

minimal entropy; equivalent martingale measure; option pricing; finite state multi-period model; European option

2016-07-06

國家自然科學(xué)基金資助項目(11571272).

翟迎新(1992-)，女，武漢大學(xué)碩士生.E-mail：2014202010053@whu.edu.cn

讓光林(1970-)，男，武漢大學(xué)副教授，博士.E-mail：glrang.math@whu.edu.cn

F830.9；F224

A

1674-3644(2016)06-0472-06