基于四元數(shù)理論與流形學(xué)習(xí)的多通道機(jī)械故障信號(hào)分類方法

何 博, 呂 勇, 易燦燦，黨 章

(武漢科技大學(xué)機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院，湖北 武漢，430081)

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基于四元數(shù)理論與流形學(xué)習(xí)的多通道機(jī)械故障信號(hào)分類方法

何 博, 呂 勇, 易燦燦，黨 章

(武漢科技大學(xué)機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院，湖北 武漢，430081)

提出一種基于增廣四元數(shù)矩陣奇異值分解與流形學(xué)習(xí)正交鄰域保持嵌入算法的多通道機(jī)械故障信號(hào)分類方法，通過引入四元數(shù)來(lái)耦合4個(gè)通道信號(hào)，并且利用四元數(shù)乘方的性質(zhì)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行增廣處理，充分利用各通道信息并挖掘通道之間的相關(guān)性，從而減少因故障特征信息丟失對(duì)分類結(jié)果的影響。此外，針對(duì)傳統(tǒng)奇異譜分析提取特征參數(shù)的分類效果受噪聲影響較大的問題，引入正交鄰域保持嵌入算法對(duì)奇異值序列進(jìn)行維數(shù)約簡(jiǎn)，最后使用分類器完成故障分類。對(duì)仿真信號(hào)的分類結(jié)果表明，在強(qiáng)噪聲背景下，相較于單通道奇異譜分析方法和機(jī)械故障信號(hào)中常用的排列熵方法，本文提出的方法分類效果更好。將其應(yīng)用于更為復(fù)雜的實(shí)測(cè)軸承故障信號(hào)的分類與識(shí)別中，同樣有著較好的效果。

故障診斷；信號(hào)處理；四元數(shù)；奇異值分解；流形學(xué)習(xí)；故障分類

機(jī)械設(shè)備故障信號(hào)常常呈現(xiàn)出強(qiáng)非線性、非平穩(wěn)性，并且包含著與設(shè)備運(yùn)行狀態(tài)相聯(lián)系的動(dòng)力學(xué)特性[1]，這使得許多傳統(tǒng)信號(hào)處理方法難以達(dá)到精確的故障診斷效果。奇異譜分析(singular spectrum analysis, SSA)是近年來(lái)興起的一種非線性信號(hào)處理方法，在機(jī)械故障診斷中被廣泛應(yīng)用[2-3]。然而，與目前絕大部分機(jī)械故障診斷方法一樣，SSA算法只針對(duì)單通道故障信號(hào)數(shù)據(jù)，這必然會(huì)造成有效故障特征信息的遺漏，增大故障診斷結(jié)果的不確定性[4-6]。同時(shí)采集并分析多個(gè)通道的信號(hào)數(shù)據(jù)可以獲得更多包含故障特征的有用信息，從而提高故障診斷結(jié)果的準(zhǔn)確性和置信度。Enshaeifar等[7]用四元數(shù)理論耦合四通道信號(hào)，并采用增廣四元數(shù)奇異值分解(augmented quaternion singular value decomposition, AQSVD)算法將信號(hào)分解為多個(gè)子空間信號(hào)，最后通過奇異譜分析選擇部分子空間進(jìn)行重構(gòu)。該方法被成功地用于生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理，能準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)信號(hào)的降噪及盲源分離。

流形學(xué)習(xí)近年來(lái)一直是模式識(shí)別領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，常常被用于高維數(shù)據(jù)的維數(shù)約簡(jiǎn)，可挖掘出高維數(shù)據(jù)的低維結(jié)構(gòu)[8]。目前主要非線性流形學(xué)習(xí)算法包括局部線性嵌入算法、拉普拉斯特征映射算法、近鄰域保持嵌入算法等[9]。這些方法能夠較好地找到高維數(shù)據(jù)集所在流形的幾何特性以及非線性結(jié)構(gòu)，并且挖掘原始數(shù)據(jù)的低維分布。正交鄰域保持嵌入(orthogonal neighborhood preserving embedding, ONPE)是一種根據(jù)鄰域保持嵌入改進(jìn)的算法[10]，該算法使得到的投影向量具有正交性，保留了數(shù)據(jù)的非線性特征，避免了局部子空間的結(jié)構(gòu)失真，對(duì)非線性高維數(shù)據(jù)具有較好的維數(shù)約簡(jiǎn)以及分類效果。

為此，本文提出一種基于AQSVD和ONPE的多通道機(jī)械故障信號(hào)分類方法，并與傳統(tǒng)的排列熵算法及單通道奇異譜分析法相比較，以驗(yàn)證其對(duì)強(qiáng)噪聲背景下故障信號(hào)提取及分類的有效性。

1 基于增廣四元數(shù)矩陣奇異值分解的故障信號(hào)特征提取

1.1 四元數(shù)的基本概念與性質(zhì)

四元數(shù)最早是由愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓提出的概念[11]，它的數(shù)學(xué)意義是一種超復(fù)數(shù)，一個(gè)四元數(shù)包括一個(gè)實(shí)部分量和3個(gè)虛部分量，其形式為[7]：

x=xa+ixb+jxc+kxd

(1)

其中，i、j、k表示虛部正交單位向量，具有如下性質(zhì)：

ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j

(2)

i2=j2=k2=ijk=-1

(3)

四元數(shù)域的另一個(gè)重要概念即為“自逆映射”，即四元數(shù)乘方，其計(jì)算公式如下[7]：

xi=-ixi=xa+ixb-jxc-kxd

xj=-jxj=xa-ixb+jxc-kxd

xk=-kxk=xa-ixb-jxc+kxd

(4)

1.2 基于增廣四元數(shù)矩陣奇異值分解的特征信號(hào)提取方法

對(duì)于一個(gè)四通道數(shù)據(jù)，可通過四元數(shù)的概念將其耦合。本文將每個(gè)通道信號(hào)數(shù)據(jù)都視為四元數(shù)的其中一個(gè)分量，將4個(gè)通道數(shù)據(jù)耦合表示整體故障信息，即用一個(gè)超復(fù)數(shù)單通道信號(hào)來(lái)表示原始四通道信號(hào)，這樣就可用單通道計(jì)算方法來(lái)處理四通道信號(hào)，有效地利用了多通道信息。將4×N的輸入信號(hào)變?yōu)?×N的四元數(shù)序列，令該四元數(shù)序列為x=[x1,x2,…,xN]，通過相空間重構(gòu)，構(gòu)建一個(gè)Hankel矩陣W：

(5)

式中：N為信號(hào)源長(zhǎng)度；L為窗口長(zhǎng)度，1

不同于傳統(tǒng)奇異值分解算法，為了充分挖掘四通道之間的相關(guān)性，AQSVD算法中將對(duì)軌道矩陣W進(jìn)行增廣處理。根據(jù)四元數(shù)的“自逆映射”(式(4))，可由W計(jì)算出3個(gè)乘方數(shù)軌道矩陣Wi、Wj和Wk。利用3個(gè)軌道矩陣對(duì)W進(jìn)行增廣處理，得到增廣四元數(shù)矩陣Wa=[WT,WiT,WjT,WkT]T，Wa∈H4L×K,其中H為四元數(shù)域。然后計(jì)算增廣矩陣的協(xié)方差矩陣Ca∈Η4L×4L，計(jì)算公式如下：

Ca=E{WaWaH}=

(6)

式中：CWW為標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差矩陣，矩陣CWi、CWj和CWk是互補(bǔ)矩陣。

對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行奇異值分解，由其特征向量和左右奇異值矩陣來(lái)表示，公式如下：

Ca=UΛ1/2VT

(7)

(8)

λj按逐個(gè)減小的方式排列為(λ1>λ2>…>λL)，序列中的奇異值即為代表機(jī)械故障特征的參數(shù)。至此，特征提取已經(jīng)完成，奇異譜分解中的重構(gòu)部分將不被用到。

2 正交鄰域保持嵌入算法

2.1 正交化處理

設(shè)提取的原信號(hào)特征參數(shù)有n個(gè)，樣本維數(shù)為D，則原始特征集為X={x1,…,xn}∈D×n。流形學(xué)習(xí)進(jìn)行維數(shù)約簡(jiǎn)首先要計(jì)算出轉(zhuǎn)換矩陣。機(jī)械故障診斷中常常需要較多的特征參數(shù)，即特征維度大于樣本數(shù)，這樣得到的矩陣XXT為奇異矩陣，計(jì)算出來(lái)的轉(zhuǎn)換矩陣為非正交，不能保證數(shù)據(jù)集的幾何結(jié)構(gòu)，因此需要對(duì)原特征集進(jìn)行正交化處理。

將原始特征集X={x1,…,xn}∈D×n投影到PCA子空間，舍棄特征值為0的成分，得到正交處理后的數(shù)據(jù)X={x1,…,xn}∈d×n，式中d為降維后的維度，則矩陣XXT即為非奇異矩陣。將高維數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到低維數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換矩陣記為Apca。

2.2 鄰域權(quán)值矩陣構(gòu)造

利用K近鄰算法尋找數(shù)據(jù)集X中任意一點(diǎn)xi的k個(gè)近鄰點(diǎn)xj(j=1,…,k)，計(jì)算其重構(gòu)權(quán)值矩陣Wij(即節(jié)點(diǎn)xj對(duì)節(jié)點(diǎn)xi的重構(gòu)貢獻(xiàn)度，兩節(jié)點(diǎn)距離越近則Wij越大)，然后通過最小化重構(gòu)誤差函數(shù)構(gòu)造權(quán)值矩陣：

(9)

(10)

其中，xu、xv同樣為xi的近鄰點(diǎn)。權(quán)值矩陣Wij代表了原始數(shù)據(jù)集鄰域的結(jié)構(gòu)關(guān)系。

2.3 計(jì)算正交鄰域保持嵌入

正交領(lǐng)域保持嵌入的映射矩陣記為AONPE=(a1,a2,…,ad)。存在一種極限情況，即經(jīng)過PCA投影的數(shù)據(jù)集X映射到一維直線上，映射結(jié)果為y=(y1,y2,…,yn)∈1×n，y=aTX。由于數(shù)據(jù)從高維嵌入低維后其幾何分布不變，所以直線上每一數(shù)據(jù)都可視為其鄰域點(diǎn)的線性重構(gòu)。為了使重構(gòu)誤差最小，設(shè)計(jì)其最小懲罰函數(shù)為

(11)

定義過渡矩陣z和I：z=yT-WyT=(I-W)yT，那么有：

aTX(I-W)T(I-W)XTa

(12)

由于aTXXTa=1，令aTX(I-W)T(I-W)XTa=λ=λaTXXTa，可得：

(XXT)-1X(I-W)T(I-W)XTa=λa

(13)

其中λ為矩陣(XXT)-1X(I-W)T(I-W)XT的最小特征值，代表最小重構(gòu)誤差，其對(duì)應(yīng)的特征向量為a1。因此，ONPE的局部保持函數(shù)即為

(14)

ONPE的目標(biāo)函數(shù)為

(15)

(16)

·

(XXT)-1X(I-W)T(I-W)XTak=λak

(17)

其中A(k-1)=[a1,a2,…,ak-1]，S(k-1)=(A(k-1))T(XXT)-1A(k-1)(k=2,3,…,d)。

由式(17)迭代可求出映射矩陣AONPE,則低維特征集Y為

Y=(ApcaAONPE)TX

(18)

至此，實(shí)現(xiàn)了由高維數(shù)據(jù)集到低維數(shù)據(jù)集的正交鄰域保持投影。

3 模擬故障信號(hào)分析

3.1 模擬故障信號(hào)的設(shè)置

軸承故障信號(hào)常常表現(xiàn)為調(diào)制信號(hào)與噪聲信號(hào)的線性疊加，因此，本文將使用4種調(diào)制信號(hào)線性疊加并添加3 dB強(qiáng)背景噪聲來(lái)模擬多通道信號(hào)數(shù)據(jù)。調(diào)制信號(hào)的表達(dá)式如下：

ch1=0.2cos(2πf1t+5)+noise

ch2=0.25cos(2πf2t-15)+noise

ch3=0.25cos(2πf3t)+noise

ch4=0.25sin(2πf4t+15)+noise

(19)

式中：chi(i=1，2，3，4)表示通道編號(hào)；fi(i=1,2,3,4)為模擬故障信號(hào)的頻率；t為時(shí)間參數(shù)；noise為3 dB的噪聲。

采樣頻率為1024 Hz，每個(gè)信號(hào)采樣長(zhǎng)度均為20 000，則四通道仿真信號(hào)S為

(20)

為了驗(yàn)證分類效果，設(shè)置3組模擬故障信號(hào)，其頻率如表1所示。

表1 3組模擬故障信號(hào)的頻率(單位：Hz)

由于多通道故障信號(hào)的各個(gè)通道之間存在一定關(guān)聯(lián)性，對(duì)于每組模擬故障信號(hào)，生成一個(gè)隨機(jī)矩陣C，使用隨機(jī)矩陣將原始多通道信號(hào)混合，則模擬四通道信號(hào)為

Xi=C×Si(i=1,2,3)

(21)

每組仿真故障信號(hào)的頻譜圖如1所示。由圖1中可見，在強(qiáng)噪聲背景下，各組模擬信號(hào)中設(shè)置的故障頻率均無(wú)法在頻譜圖上被找出。

將每類故障平均分為20組，則每類故障都生成了20個(gè)長(zhǎng)度為1000的四通道信號(hào)樣本。為了驗(yàn)證本文提出的基于AQSVD與ONPE方法的可靠性，將對(duì)其與排列熵算法及單通道奇異值分解算法的分類效果進(jìn)行對(duì)比。

3.2 基于排列熵算法的仿真信號(hào)分類

排列熵算法是一種非線性數(shù)據(jù)處理方法，熵的大小可描述一維數(shù)據(jù)復(fù)雜度，并且可以檢測(cè)到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化特征[12-13]。因此，排列熵算法近幾年被廣泛應(yīng)用于機(jī)械故障診斷中。

對(duì)于任意四通道信號(hào)樣本，計(jì)算每一通道信號(hào)的排列熵，令算法中嵌入維度為5，延時(shí)時(shí)間為1，結(jié)果如圖2所示。由圖2可見，無(wú)論在哪一通道，3組故障之間都沒有明顯界限，不同故障之間區(qū)分度不明顯，可見使用排列熵算法對(duì)仿真信號(hào)分類的效果較差，同時(shí)充分表明了排列熵算法在強(qiáng)噪聲背景下效果的局限性。

圖1 仿真信號(hào)頻譜圖

(a)通道1(b)通道2

(c)通道3(d)通道4

圖2 樣本排列熵值

Fig.2 Permutation entropy of samples

3.3 基于單通道奇異值分解算法的仿真信號(hào)分類

傳統(tǒng)單通道奇異值分解算法中，常使用峭度作為分類的特征參數(shù)[14]。對(duì)于任意四通道信號(hào)樣本，分別對(duì)其每一通道信號(hào)進(jìn)行奇異值分解，得到奇異值序列，選取奇異值序列中貢獻(xiàn)度之和大于95%的前n個(gè)奇異值組成新的奇異值序列，計(jì)算該序列的峭度。

采用單通道奇異值分解算法對(duì)本文仿真信號(hào)進(jìn)行分析，計(jì)算結(jié)果如圖3所示。由圖3可見，通道1和通道2中第三組仿真信號(hào)可以被準(zhǔn)確區(qū)分開，而第一組與第二組數(shù)據(jù)混雜在一起，沒有明顯界限；通道3中也僅有第二組仿真信號(hào)可以被區(qū)分開；通道4是4個(gè)通道中效果最好的一個(gè)通道，其中第一組與其他兩組有著明顯界限，但第二、三組之間仍有少量樣本混疊?？梢妴瓮ǖ浪惴黠@存在偶然性，其分類效果也并不理想。

(a)通道1

(b)通道2

(c)通道3

(d)通道4

圖3 樣本奇異值序列峭度

Fig.3 Kurtosis of sample singular value sequence

3.4 基于AQSVD與ONPE算法的仿真信號(hào)分類

對(duì)于任意四通道信號(hào)樣本，利用本文提出的基于AQSVD與ONPE的算法，將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行四元數(shù)耦合處理，生成一個(gè)四元數(shù)序列；繼而對(duì)序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，形成Hankel矩陣，并依據(jù)四元數(shù)乘方的性質(zhì)對(duì)矩陣進(jìn)行增廣處理；然后計(jì)算協(xié)方差矩陣，對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行奇異值分解，得到奇異值序列。選取奇異值序列中貢獻(xiàn)度之和大于95%的前n個(gè)奇異值組成新的奇異值序列，對(duì)新的奇異值序列使用ONPE算法進(jìn)行維數(shù)約簡(jiǎn)，之后即可使用分類器進(jìn)行故障分類。

圖4所示為使用ONPE算法將經(jīng)AQSVD步驟計(jì)算得出的奇異值序列降至二維后的樣本分布。由圖4中可看出，同組故障都有明顯類聚的特點(diǎn)，不同故障之間界限清晰，分類效果優(yōu)于前兩種方法。并且由于使用了基于四元數(shù)理論的AQSVD算法，避免了單通道信號(hào)遺漏故障信息且具有偶然性的缺點(diǎn)。

圖4 模擬信號(hào)的二維分布圖

Fig.4 2D distribution of the analog signals

4 實(shí)測(cè)故障信號(hào)分析

仿真信號(hào)的模擬環(huán)境比較理想，而機(jī)械設(shè)備的工作環(huán)境通常較為復(fù)雜，并包含了更多不確定因素。因此，為驗(yàn)證本文所提出方法在實(shí)際機(jī)械故障信號(hào)分類中的有效性，采用美國(guó)辛辛那提大學(xué)智能維護(hù)系統(tǒng)中心提供的標(biāo)準(zhǔn)軸承故障測(cè)試數(shù)據(jù)[15]作進(jìn)一步分析。所選3組故障信號(hào)的描述如表2所示。

由于第二組與第三組同為四通道信號(hào)，而第一組為八通道信號(hào)，故第一組取四個(gè)豎直方向的振動(dòng)信號(hào)組成四通道數(shù)據(jù)。每組故障隨機(jī)取20組樣本，采樣點(diǎn)數(shù)為6000。

使用本文提出的基于AQSVD與ONPE的方法處理軸承故障數(shù)據(jù)，并將奇異值序列維度降至二維，樣本的空間分布情況如圖5所示。由圖5可知，經(jīng)過基于AQSVD及ONPE算法后，3組軸承故障樣本在二維空間中的投影具有明顯的類聚特點(diǎn)，不同種類的故障樣本之間有著明顯界限。該方法無(wú)需對(duì)不同通道的信號(hào)進(jìn)行篩選，有效簡(jiǎn)化了分類步驟，并且降低了識(shí)別偶然性。由于對(duì)奇異值序列組成的特征集進(jìn)行了維數(shù)約簡(jiǎn)，在使用分類器進(jìn)行分類時(shí)計(jì)算量將被大幅度削減。

表2 3組軸承故障信號(hào)的描述

圖5 實(shí)測(cè)信號(hào)的二維分布

Fig.5 2D distribution of the measured signals

5 結(jié)語(yǔ)

本文在傳統(tǒng)奇異值分解故障診斷方法的基礎(chǔ)上，提出了基于增廣四元數(shù)矩陣奇異值分解及正交鄰域保持嵌入的分類方法。針對(duì)單通道數(shù)據(jù)處理方法會(huì)造成有效信息遺漏這一缺點(diǎn)以及傳統(tǒng)奇異值分解算法在機(jī)械故障診斷應(yīng)用中的缺陷，提出了基于增廣四元數(shù)矩陣奇異值分解的算法，耦合四通道數(shù)據(jù)并充分挖掘各通道之間相關(guān)性，減少了有效信息的遺漏。針對(duì)傳統(tǒng)奇異譜分析提取的特征參數(shù)分類效果差的缺點(diǎn)，引入了正交鄰域保持嵌入算法對(duì)高維數(shù)據(jù)進(jìn)行維數(shù)約簡(jiǎn)并完成分類。對(duì)仿真信號(hào)以及軸承實(shí)測(cè)故障信號(hào)的分類結(jié)果表明，基于增廣四元數(shù)矩陣奇異值分解及正交鄰域保持嵌入的分類方法在機(jī)械故障診斷應(yīng)用中具有較好的效果，識(shí)別準(zhǔn)確度要明顯高于傳統(tǒng)方法。

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[責(zé)任編輯 鄭淑芳]

A novel method for multi-channel mechanical fault signal classification based on quaternion and manifold learning

HeBo,LvYong,YiCancan,DangZhang

(College of Machinery and Automation, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430081, China)

A novel method for multi-channel mechanical fault signal classification based on augmented quaternion matrix singular value decomposition and orthogonal neighborhood preserving embedding algorithm of manifold learning is proposed. Quaternion is used to couple four channel signals, and the nature of the quaternion power is employed for augmented processing of the data. The correlation between channels is made use of, and the information from each channel is employed to offset the negative influence of loss of characteristic information of faults on classification. Considering that the traditional classification method that uses singular spectrum analysis to extract characteristic parameters is seriously affected by noise, the orthogonal neighborhood preserving embedding algorithm is used to reduce the dimension of singular value sequence. Finally, the classifier is used to classify faults. The results show that, with the background of strong noise, the proposed method is superior to the traditional single-channel singular spectrum analysis method and the method of permutation entropy in fault classification. Applied to the complex identification and classification of real bearing fault signals, the proposed method shows good performance.

fault diagnosis; signal processing; quaternion; singular value decomposition; manifold learning; fault classification

2016-09-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51475339)；武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目(2015B11).

何 博(1990-)，男，武漢科技大學(xué)碩士生.E-mail:sainthebo@163.com

呂 勇(1976-)，男，武漢科技大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師.E-mail:lvyong@wust.edu.cn

TH133.3；TH165.3

A

1674-3644(2016)06-0455-07