• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    數(shù)學(xué)方法論在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運用

    2016-06-08 14:17曹潔
    科技視界 2016年14期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法論

    曹潔

    【摘 要】數(shù)學(xué)方法論是關(guān)于數(shù)學(xué)方法的理論,不僅是對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識,也是數(shù)學(xué)知識的精髓。新課程改革中注重并且加強了數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí),這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng),形成良好思維品質(zhì)的關(guān)鍵。而數(shù)學(xué)方法論同樣為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了理論指導(dǎo),有利于學(xué)生由傳統(tǒng)的機械化的模仿式解題轉(zhuǎn)向能夠創(chuàng)新的以實踐為基礎(chǔ)的解題習(xí)慣,以數(shù)學(xué)思維方法的分析去帶動和促進(jìn)具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)與應(yīng)用。

    【關(guān)鍵詞】方法論;數(shù)學(xué)方法論;數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

    偉大的哲學(xué)家、科學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡爾在《方法導(dǎo)論》一書中總結(jié)出四條規(guī)則:

    (一)不要把任何事物看成是真的,除非對它已經(jīng)認(rèn)識清楚了;

    (二)利用逐步分析的方法去系統(tǒng)地解決一個問題;

    (三)思考時,由簡到繁;

    (四)要徹底復(fù)查(檢查)一切之前的各種工作,做到確實無遺漏。

    將這四條規(guī)律映射在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,也就是說,首先,要小心避免一些“眾所周知”的事情,除非像公理、定理或者之前得到的可靠地結(jié)論才可以放進(jìn)判斷的標(biāo)準(zhǔn)之中。其次,把所遇見的每一個難題盡可能的分解成許多個與之關(guān)聯(lián)的細(xì)小的,并且可以輕松解決或者是曾經(jīng)解決過的問題,當(dāng)然這個“問題”或許已經(jīng)不是問題。然后,從最簡單、最容易認(rèn)識的對象開始,按照順序逐步上升到復(fù)雜的難以一下子解決的問題,從已知到未知,從簡單到復(fù)雜,從具體到抽象。最后,檢驗。把所有想到的情形盡可能的全部羅列出來,確保毫無遺漏。

    這四條規(guī)則與新課改中所提出的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法在一定程度上相互吻合:第一,體現(xiàn)出了合情推理與演繹推理的相輔相成的關(guān)系,“想象(猜想)的規(guī)律要經(jīng)過驗證才能應(yīng)用”。第二,體現(xiàn)出了整體與局部的關(guān)系和轉(zhuǎn)化化歸的思想,這要求學(xué)生在解題的過程中要注意問題的轉(zhuǎn)化化歸,由繁到簡、由難到易、由未知到已知,要注意整體代換思想的滲透,要注意一般和特殊的關(guān)系等等。第三,體現(xiàn)出了學(xué)習(xí)應(yīng)循序漸進(jìn)的原則。學(xué)習(xí)應(yīng)有序而為,循序漸進(jìn),不可越節(jié)而施。第四,體現(xiàn)出了分類與整合思想、窮舉法等數(shù)學(xué)思想方法。

    數(shù)學(xué)方法論,主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律(宏觀),數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則(微觀)的一門學(xué)問。數(shù)學(xué)是一門工具性很強的科學(xué),它具有較高的抽象性、嚴(yán)密性、符號性等特征,為了有效地學(xué)習(xí)它、應(yīng)用它、改進(jìn)它、發(fā)展它,就要求對這門科學(xué)的發(fā)展規(guī)律、研究方法、發(fā)現(xiàn)與發(fā)明等法則都有所掌握。學(xué)生在有效的數(shù)學(xué)方法論的指導(dǎo)下,再加上所學(xué)內(nèi)容的不斷加大以及知識建構(gòu)體系的不斷拓展,有益于學(xué)生數(shù)學(xué)思想的建構(gòu),將數(shù)學(xué)學(xué)懂,學(xué)活在很多人眼里,數(shù)學(xué)方法不過是深刻挖掘數(shù)學(xué)教課書中所提到的各種問題,教會老師如何去上好這門課,較高的學(xué)術(shù)水平才是保證教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵所在。他們不明白,教育既是一門科學(xué),又是一門技術(shù),只有高深學(xué)問,不懂得教育規(guī)律是教不好學(xué)生的。在課堂中不斷向?qū)W生輸送好的數(shù)學(xué)方法,遠(yuǎn)比一味的讓學(xué)生埋頭做題效果要好的多。

    讓我們來看美籍匈牙利數(shù)學(xué)教喬治·波利亞在其《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中講到的一道題。

    例1:給定三角形的三條邊a,b,c,求做一個三角形。

    這道題,在現(xiàn)代學(xué)生看來,只能算是一到基本的作圖題,甚至可能都不會出現(xiàn)在考試卷中。大家都會這樣做(圖1):

    1.做一條線段等于線段a,端點分別為B,C;

    2.分別以B,C為圓心,線段b,c的長為半徑畫圓,兩圓相交于點 A或點A′;

    3.連接AB,AC和A′B,A′C,則?駐ABC以及?駐A′BC就是所求的三角形。

    圖1

    相信基本所有的學(xué)生遇見這道題做到這里就結(jié)束了,但是我們回頭再看這道題,按照波利亞的《怎樣解題》中提到步驟,一步步來分析。

    首先,從問題的敘述開始。問題很簡單,是要求做一個三角形。第二,考慮怎么做三角形呢?很簡單,三條線段順次首位相連,或者連接不在同一條直線上的三個點。再回到問題中,當(dāng)我做出了一條線段BC即線段a之后,就等于我已經(jīng)確定好三角形的兩個頂點了,如果在確定一個頂點A,順次相連就可以了。那么第三步,實施計劃。確保計劃進(jìn)行中每一步的準(zhǔn)確性,做出一個完美的三角形。第四,回顧。也就是我們現(xiàn)在要做的事。我們把一道求做三角形的題,轉(zhuǎn)化成了已知兩點B,C,求第三點A的問題,條件是,點A到點B的距離為c,到點C距離為b,如果只看條件,到點B的距離為c的點和到C點距離為b的點必然會是兩條軌跡,我們所要求的點A,就是這兩條軌跡的交點。當(dāng)然了,這樣的交點有兩個。這樣看來,我們就把已知三邊求做一個三角形的問題轉(zhuǎn)化成了一道確定兩條軌跡交點的問題,這就是一種解題模式——雙軌跡模式。

    波利亞是這樣概括雙軌跡模式的:第一,把問題歸結(jié)為要確定一個點;第二,對于每一部分的條件,未知點都會形成相應(yīng)的一條軌跡;第三,所有軌跡的交點就是滿足所求問題的所有點的集合。這樣一來,這就不是一道簡單的作圖題,我們在它之上找到了一種適合解所有類似問題的解題模式,這才是這道題的意義所在。例如把相對較復(fù)雜的求做一角形的內(nèi)切圓、外接圓,等等一系列問題經(jīng)過雙軌跡解題模式分析之后,就會很輕松容易解決了。以此類推當(dāng)然還有三軌跡模式以及多軌跡模式。

    再來看一道題。

    相信提到解方程,很多人一下就會想到經(jīng)典的雞兔同籠問題,看看波利亞是怎么看這個問題的。

    例2:一個農(nóng)民有若干只兔子和雞,這些家畜一共有50個頭和140條腿。問這個農(nóng)民有多少只兔子多少只雞?

    這個問題有很多種解法:

    1.嘗試法。假設(shè)出全部是兔子或者全部是雞的兩種極限模式,列出一個表把所有的可能性羅列出來,結(jié)合實際情況,找到答案(表1)。

    2.巧解法。將兔子和雞的腿數(shù)減半,這樣一共有70條腿,其中,雞的頭數(shù)和腿數(shù)相等,而兔子的腿數(shù)是頭數(shù)的兩倍,從而70-50=20,既為兔子的個數(shù),當(dāng)然雞為30只?;蛘甙央u的翅膀也當(dāng)做“腿”,同樣可以推算出兔子和雞的個數(shù)。

    3.代數(shù)法。按照笛卡爾“任何問題都能劃歸為代數(shù)問題”的“萬能原理”,我們來翻譯這道題(表2)。

    顯然,我們成功的把題目翻譯成了兩個未知數(shù)和兩個方程,接下來的工作就是聯(lián)立方程解方程組。得到方程組的解,x=20y=30這道題也就成功的解答了。那對于這道題,我們要對其“回顧”什么呢?嘗試著把給定的數(shù)字換成字母,我們再來解這道題。已知這些家畜一共有h個頭,l條腿(表3)。

    繼續(xù)聯(lián)立解方程組得。不難看出,對于新的方程組所得到的兩個解,恰巧可以翻譯成巧解法中的兩種情況。

    對于第一種解法,我們稱其為“試湊法”,也可以稱為“逐次試驗法”,我們有理由相信,在一次次的錯誤嘗試之后,最終肯定會得到一個滿意的結(jié)果。但是相對于較大的數(shù)值而言,這個方法顯然是不可取的,不僅浪費時間精力,也有可能在不經(jīng)意的粗心計算下,錯過正確的解答。相比較第一種解法,第二種解法要取巧得多,正所謂“巧解法”,然而這個解法與實際的聯(lián)系并不十分緊密。也正是所謂“巧”,很多學(xué)生在做題時不會考慮到這些,即便考慮到了,在數(shù)學(xué)表述方面也會猶豫不決,再或者說,這個“巧”僅僅只適合于這道題目。對于第三種代數(shù)法,既為笛卡爾的解題模式,要求雞兔各多少只,那就先就把它們假設(shè)出來當(dāng)做已知,設(shè)兔子x只,雞y只,緊接著,根據(jù)題目中僅有的兩個條件,有50個頭140條腿,列出代數(shù)式,即x+y=50,4x+2y=140,發(fā)現(xiàn)可以聯(lián)立二元一次方程組,接下來,就是解方程組的問題了。

    對于笛卡爾模式,波利亞是這樣總結(jié)的:首先,在了解問題的基礎(chǔ)上,把問題歸結(jié)為確定若干個未知量;其次,根據(jù)已知條件,在未知量和已知量之間建立數(shù)學(xué)關(guān)系,既為方程;最后,聯(lián)立解方程組。同樣的,在笛卡爾解題模式下,我們可以更容易的解答有更多未知數(shù)的題目,他們歸根到底,就是解方程組的問題。

    當(dāng)然,波利亞提出的數(shù)學(xué)模式還有很多,所列出的方法也有很多。大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為,數(shù)學(xué),就是計算就是不斷的做題,除此之外沒有什么意思。通過對以上的兩道題的分析,我們發(fā)現(xiàn),其實每一道數(shù)學(xué)題,都有它自己的存在意義,每一道數(shù)學(xué)題的背后,都有很深的理論等待我們的發(fā)現(xiàn)。如果每個學(xué)生在完成題目之后都可以稍加回顧,相信對他來說會是一個不小的進(jìn)步。同時,通過對以上兩道題的仔細(xì)分析,我們看到數(shù)學(xué)方法論在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要意義:

    第一,提高理解能力和閱讀能力。數(shù)學(xué)的思想和方法對理解和閱讀問題是十分重要的。例如我們要理解和認(rèn)識接觸到的信息比如文字、圖形、聲音等方式包含的內(nèi)容時,常常會用到我們的數(shù)學(xué)思想和方法。通過抽象與概括、分析與歸納、還有比較與分析等方法來加深理解。這些數(shù)學(xué)的思想和方法對于我們提高理解能力和閱讀能力有著十分重要的作用。

    第二,培養(yǎng)良好的邏輯思維。雖然數(shù)學(xué)方法論并不是主要討論邏輯科學(xué)和思維科學(xué),但是數(shù)學(xué)方法論實質(zhì)上就是思維活動的方法。數(shù)學(xué)方法論主要討論數(shù)學(xué)邏輯的特點、結(jié)構(gòu)、方法與規(guī)律在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,從而推廣到我們?nèi)粘5膶W(xué)習(xí)和生活當(dāng)中的應(yīng)用,對于培養(yǎng)自己良好的邏輯思維有重要的作用。

    第三,思考方式的轉(zhuǎn)變。我們在中學(xué)學(xué)習(xí)具體解決數(shù)學(xué)題目的方法,主要在培養(yǎng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ),而在高等數(shù)學(xué)中就要認(rèn)識解決問題的思想和方法。通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法論,把以前學(xué)過的一些數(shù)學(xué)思想和方法,例如函數(shù)的思想、微分和積分的思想、無限和逼近的思想、抽象與概括、歸納與演繹、歸類與分類、比較與類比、分析與綜合、聯(lián)想和直覺等進(jìn)行了概括和總結(jié)。思考方式有了重大的轉(zhuǎn)變,解決問題要想到的不僅僅是眼前看到的一些特點,更加重要的是利用什么樣的數(shù)學(xué)的思想和方法使問題簡單化來達(dá)到解決問題。

    第四,有用的工具。數(shù)學(xué)的思想和方法并不僅僅是單純進(jìn)行理論討論的內(nèi)容,現(xiàn)實生活中,數(shù)學(xué)的思想和方法對于解決實際問題有重要的作用,是解決問題的有力工具。比如在日常經(jīng)濟(jì)和管理的決策實踐當(dāng)中面對一些問題時候,如果沒有學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)的思想和方法是很難找到解決的方法的。通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法論。我們便可以想到比如函數(shù)、方程、數(shù)形結(jié)合、微分和積分的思想方法來解決問題。同時,數(shù)學(xué)的思想和方法對于日常生活的規(guī)劃也是產(chǎn)生了重要的幫助。

    第五,數(shù)學(xué)的思想和方法是一個永遠(yuǎn)值得去研究的學(xué)科。數(shù)學(xué)的思想和方法影響是巨大的,小到我們?nèi)粘5募彝ド詈蛯W(xué)習(xí),大到一個國家宏觀的經(jīng)濟(jì)和管理以及成千上萬的公司企業(yè)的正常運轉(zhuǎn)都離不開數(shù)學(xué)的思想和方法。特別是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)和管理的復(fù)雜性越來越要求更高的數(shù)學(xué)知識技能和解決實際問題的思想和方法。因此數(shù)學(xué)的思想和方法是很值得深入研究的。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1][法]笛卡爾.談?wù)劮椒╗M].王太慶,譯.商務(wù)印書出版社,2009.

    [2]鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論[M].廣西:教育出版社,1996.

    [3]GoPolya.How to Solve It [M].閻育蘇,譯.北京:科學(xué)出版社,1982.

    [4]GoPolya.Mathematical Discovery.Vol.1[M].劉景麟,等,譯.內(nèi)蒙古人民出版社,1981.

    [5]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京:師范大學(xué)出版社,2011.

    [6]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)[M].北京:人民教育出版社,2003.

    [責(zé)任編輯:楊玉潔]

    猜你喜歡
    數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法論
    漢學(xué)方法論值得關(guān)注
    方法論視角下的制定法解釋
    法本位的方法論闡釋
    UAF的方法論意義
    抓改革落實,習(xí)近平的十大方法論
    漢語授課對維吾爾族學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)影響的案例分析
    數(shù)學(xué)文化價值觀對中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的影響
    在游戲中經(jīng)歷, 在探索中提升
    簡述黑格爾的哲學(xué)史觀與方法論
    制服诱惑二区| 无遮挡黄片免费观看| 老汉色av国产亚洲站长工具| 国产精品自产拍在线观看55亚洲| 两个人免费观看高清视频| 变态另类丝袜制服| 日韩欧美国产一区二区入口| 动漫黄色视频在线观看| 日韩欧美国产一区二区入口| 欧美黑人欧美精品刺激| 国内毛片毛片毛片毛片毛片| 在线观看免费日韩欧美大片| 99香蕉大伊视频| 免费av毛片视频| 亚洲avbb在线观看| 亚洲天堂国产精品一区在线| 日韩欧美国产一区二区入口| 激情在线观看视频在线高清| 怎么达到女性高潮| 成熟少妇高潮喷水视频| 欧美日韩福利视频一区二区| 高清黄色对白视频在线免费看| 亚洲国产欧美网| 色综合欧美亚洲国产小说| 久久久久久久精品吃奶| 日韩欧美国产一区二区入口| 久久精品91蜜桃| 欧美大码av| 性少妇av在线| 国产麻豆成人av免费视频| 久久婷婷成人综合色麻豆| 亚洲午夜理论影院| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 好男人在线观看高清免费视频 | 97人妻精品一区二区三区麻豆 | 国产精品亚洲av一区麻豆| 后天国语完整版免费观看| 人成视频在线观看免费观看| 久久久国产精品麻豆| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频| 午夜视频精品福利| 国产乱人伦免费视频| 咕卡用的链子| 9色porny在线观看| 亚洲成国产人片在线观看| 国产熟女午夜一区二区三区| 成人免费观看视频高清| 男人的好看免费观看在线视频 | 视频区欧美日本亚洲| 大型av网站在线播放| av福利片在线| 国产区一区二久久| 久久影院123| 色综合婷婷激情| 国产精品乱码一区二三区的特点 | 亚洲在线自拍视频| 国产精品亚洲美女久久久| 在线观看66精品国产| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 久久人人97超碰香蕉20202| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 18禁国产床啪视频网站| 久久久国产精品麻豆| 欧美黄色片欧美黄色片| 咕卡用的链子| 精品久久久久久久毛片微露脸| 乱人伦中国视频| 不卡一级毛片| 又紧又爽又黄一区二区| 亚洲国产欧美网| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| 999久久久国产精品视频| 久久人人精品亚洲av| 午夜福利欧美成人| 变态另类丝袜制服| 国产成人精品久久二区二区91| 这个男人来自地球电影免费观看| 黄片播放在线免费| 日韩大尺度精品在线看网址 | 搞女人的毛片| 很黄的视频免费| 88av欧美| 97碰自拍视频| 中文字幕精品免费在线观看视频| 久久精品国产亚洲av高清一级| 在线永久观看黄色视频| 国产午夜福利久久久久久| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 国产日韩一区二区三区精品不卡| 久久精品国产99精品国产亚洲性色 | 亚洲精品国产一区二区精华液| 麻豆av在线久日| 露出奶头的视频| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 波多野结衣高清无吗| 国产亚洲精品久久久久久毛片| 精品久久久精品久久久| 99精品在免费线老司机午夜| 中文字幕最新亚洲高清| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| av超薄肉色丝袜交足视频| 久久久久久大精品| 国产主播在线观看一区二区| 婷婷精品国产亚洲av在线| 久久久久久人人人人人| 久久国产精品影院| 午夜福利18| 国产精品免费视频内射| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 亚洲色图综合在线观看| 黑人欧美特级aaaaaa片| 9色porny在线观看| 女性被躁到高潮视频| 黄色成人免费大全| 欧美成人午夜精品| 啦啦啦免费观看视频1| 亚洲第一青青草原| av视频免费观看在线观看| 长腿黑丝高跟| 在线观看免费视频网站a站| 国产一卡二卡三卡精品| 欧美黄色片欧美黄色片| 91精品三级在线观看| 亚洲av电影在线进入| 亚洲五月婷婷丁香| 国产av又大| 国产单亲对白刺激| 看免费av毛片| 欧美精品亚洲一区二区| 久久人人97超碰香蕉20202| 男人舔女人的私密视频| 久久国产乱子伦精品免费另类| 一进一出抽搐gif免费好疼| 亚洲成人免费电影在线观看| 国产精品一区二区免费欧美| 两人在一起打扑克的视频| tocl精华| 国产成人精品无人区| 国产熟女午夜一区二区三区| 精品久久蜜臀av无| 日日夜夜操网爽| 国产乱人伦免费视频| 国产99白浆流出| 午夜福利18| 国产xxxxx性猛交| 国产av一区二区精品久久| 亚洲无线在线观看| 在线观看午夜福利视频| 亚洲av熟女| 热99re8久久精品国产| а√天堂www在线а√下载| 男女下面插进去视频免费观看| 亚洲九九香蕉| 两性夫妻黄色片| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放 | 国产精品亚洲一级av第二区| 精品久久久久久,| 淫秽高清视频在线观看| 久久久久九九精品影院| 91麻豆av在线| 搡老熟女国产l中国老女人| 丝袜在线中文字幕| 亚洲精品久久成人aⅴ小说| 免费看a级黄色片| 午夜免费观看网址| 日韩精品免费视频一区二区三区| 免费在线观看完整版高清| 国产主播在线观看一区二区| avwww免费| 少妇被粗大的猛进出69影院| 久久精品国产清高在天天线| 免费少妇av软件| 国产亚洲精品第一综合不卡| ponron亚洲| 国产亚洲精品久久久久久毛片| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 国产精品98久久久久久宅男小说| 少妇粗大呻吟视频| 婷婷六月久久综合丁香| 男女做爰动态图高潮gif福利片 | 宅男免费午夜| 1024香蕉在线观看| 国产一区二区激情短视频| 后天国语完整版免费观看| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 久热爱精品视频在线9| 精品不卡国产一区二区三区| 嫩草影视91久久| 国产又爽黄色视频| 国产欧美日韩精品亚洲av| 亚洲九九香蕉| 啪啪无遮挡十八禁网站| 琪琪午夜伦伦电影理论片6080| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 午夜免费成人在线视频| 美女国产高潮福利片在线看| 一本大道久久a久久精品| 777久久人妻少妇嫩草av网站| 亚洲午夜精品一区,二区,三区| 少妇 在线观看| 免费在线观看影片大全网站| 在线观看免费视频网站a站| 成人亚洲精品一区在线观看| 亚洲成av人片免费观看| 国产野战对白在线观看| 精品国产一区二区久久| x7x7x7水蜜桃| 亚洲国产中文字幕在线视频| 91在线观看av| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 国产精品野战在线观看| 久久午夜综合久久蜜桃| 欧美日韩福利视频一区二区| 欧美激情高清一区二区三区| 欧美日本亚洲视频在线播放| 老汉色∧v一级毛片| 纯流量卡能插随身wifi吗| 欧美精品亚洲一区二区| 成人国产综合亚洲| 男男h啪啪无遮挡| 日韩大尺度精品在线看网址 | 成年版毛片免费区| 91九色精品人成在线观看| 国产在线精品亚洲第一网站| 午夜福利18| 黑人欧美特级aaaaaa片| 级片在线观看| 久久青草综合色| 日本在线视频免费播放| 亚洲avbb在线观看| 人妻久久中文字幕网| 亚洲第一欧美日韩一区二区三区| 一进一出抽搐动态| 香蕉国产在线看| 十分钟在线观看高清视频www| 欧美成狂野欧美在线观看| 成年女人毛片免费观看观看9| 欧美乱码精品一区二区三区| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 久久国产乱子伦精品免费另类| 日本精品一区二区三区蜜桃| 免费看美女性在线毛片视频| 十八禁人妻一区二区| 欧美日韩福利视频一区二区| 成年女人毛片免费观看观看9| 91在线观看av| 亚洲全国av大片| 久久久久久国产a免费观看| 午夜精品在线福利| 中文字幕久久专区| 丝袜在线中文字幕| 女生性感内裤真人,穿戴方法视频| 又大又爽又粗| 伦理电影免费视频| 精品国产国语对白av| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 亚洲 国产 在线| 精品国产一区二区三区四区第35| www.999成人在线观看| 一级,二级,三级黄色视频| 首页视频小说图片口味搜索| 久久青草综合色| 欧美日韩黄片免| 国产又爽黄色视频| 岛国视频午夜一区免费看| 精品国产乱码久久久久久男人| 亚洲人成电影观看| 中文字幕色久视频| 中文字幕av电影在线播放| 国产视频一区二区在线看| 免费在线观看影片大全网站| 免费少妇av软件| videosex国产| 久久中文字幕一级| 亚洲国产精品成人综合色| tocl精华| 精品国产乱子伦一区二区三区| 久久精品亚洲精品国产色婷小说| 动漫黄色视频在线观看| 午夜影院日韩av| 日韩精品免费视频一区二区三区| av中文乱码字幕在线| 午夜福利欧美成人| 国产av一区二区精品久久| 中文字幕人成人乱码亚洲影| 91字幕亚洲| 人人妻人人澡欧美一区二区 | 村上凉子中文字幕在线| 国产高清视频在线播放一区| 麻豆久久精品国产亚洲av| 精品电影一区二区在线| 精品一区二区三区视频在线观看免费| 婷婷精品国产亚洲av在线| 欧美黑人精品巨大| 深夜精品福利| 啦啦啦 在线观看视频| 亚洲久久久国产精品| 亚洲第一青青草原| 99在线人妻在线中文字幕| 亚洲精品一区av在线观看| 欧美av亚洲av综合av国产av| 99re在线观看精品视频| 亚洲精品在线美女| 最近最新中文字幕大全免费视频| 日日爽夜夜爽网站| 成年女人毛片免费观看观看9| 极品人妻少妇av视频| 久久精品成人免费网站| 嫁个100分男人电影在线观看| 在线观看日韩欧美| 黄色片一级片一级黄色片| 首页视频小说图片口味搜索| 国产av一区在线观看免费| 中文字幕最新亚洲高清| 色尼玛亚洲综合影院| 中文字幕最新亚洲高清| 国产亚洲欧美98| 校园春色视频在线观看| 最新美女视频免费是黄的| 淫妇啪啪啪对白视频| 啦啦啦观看免费观看视频高清 | 999精品在线视频| 97碰自拍视频| 亚洲少妇的诱惑av| 精品国产美女av久久久久小说| 亚洲激情在线av| 亚洲狠狠婷婷综合久久图片| 国产伦人伦偷精品视频| 国产成人精品久久二区二区91| av超薄肉色丝袜交足视频| 青草久久国产| 青草久久国产| 中文字幕最新亚洲高清| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看 | 亚洲精品中文字幕一二三四区| 免费在线观看亚洲国产| 一级毛片精品| 在线十欧美十亚洲十日本专区| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 国产免费av片在线观看野外av| 国产av精品麻豆| 很黄的视频免费| 精品卡一卡二卡四卡免费| 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 欧美成人性av电影在线观看| 亚洲精品国产一区二区精华液| 亚洲午夜理论影院| 精品国产超薄肉色丝袜足j| 国产精品,欧美在线| 亚洲av电影在线进入| 最新在线观看一区二区三区| 色老头精品视频在线观看| 久久亚洲精品不卡| 国产一区二区三区综合在线观看| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 高潮久久久久久久久久久不卡| 精品少妇一区二区三区视频日本电影| 亚洲人成网站在线播放欧美日韩| 亚洲成人精品中文字幕电影| 人人妻人人澡欧美一区二区 | 日日干狠狠操夜夜爽| 一区在线观看完整版| 黄色片一级片一级黄色片| 一级毛片女人18水好多| 欧美国产精品va在线观看不卡| 亚洲色图av天堂| 一级毛片女人18水好多| 岛国在线观看网站| 国产精品久久久久久亚洲av鲁大| 99国产极品粉嫩在线观看| 国产一区二区在线av高清观看| 免费在线观看完整版高清| 视频区欧美日本亚洲| 最近最新免费中文字幕在线| 波多野结衣一区麻豆| 久久香蕉激情| 老司机午夜福利在线观看视频| 99国产精品99久久久久| 人妻久久中文字幕网| 色综合婷婷激情| 日韩精品免费视频一区二区三区| 男人操女人黄网站| 国产亚洲精品综合一区在线观看 | 一a级毛片在线观看| 91av网站免费观看| 亚洲成a人片在线一区二区| 中文字幕高清在线视频| 国产精品综合久久久久久久免费 | 成人亚洲精品一区在线观看| 女性生殖器流出的白浆| 欧美日韩福利视频一区二区| 国内久久婷婷六月综合欲色啪| 国产精品亚洲美女久久久| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 美女午夜性视频免费| 淫秽高清视频在线观看| 十分钟在线观看高清视频www| 热re99久久国产66热| www.自偷自拍.com| 亚洲片人在线观看| 亚洲国产精品成人综合色| 久久久久九九精品影院| 国产成人av教育| 丰满人妻熟妇乱又伦精品不卡| 午夜福利18| 亚洲中文字幕日韩| av天堂在线播放| 欧美日本中文国产一区发布| 后天国语完整版免费观看| 伦理电影免费视频| 欧美不卡视频在线免费观看 | 亚洲av第一区精品v没综合| 亚洲人成77777在线视频| 美女 人体艺术 gogo| 久久久久久久久中文| 在线十欧美十亚洲十日本专区| 日韩免费av在线播放| 亚洲熟妇熟女久久| 一边摸一边抽搐一进一小说| 国产日韩一区二区三区精品不卡| 亚洲中文字幕一区二区三区有码在线看 | 欧美老熟妇乱子伦牲交| 欧美激情高清一区二区三区| 女人精品久久久久毛片| 成人永久免费在线观看视频| 国产精品久久久久久精品电影 | 黑丝袜美女国产一区| 国产成人av激情在线播放| 亚洲自拍偷在线| 亚洲国产欧美一区二区综合| 黄色a级毛片大全视频| 久久狼人影院| www.www免费av| 中文亚洲av片在线观看爽| 欧美国产精品va在线观看不卡| 欧美人与性动交α欧美精品济南到| 亚洲av电影在线进入| 黄网站色视频无遮挡免费观看| 亚洲国产欧美日韩在线播放| www.999成人在线观看| 亚洲av日韩精品久久久久久密| 黄色片一级片一级黄色片| 好看av亚洲va欧美ⅴa在| 久久人人97超碰香蕉20202| 亚洲专区中文字幕在线| 午夜影院日韩av| av在线播放免费不卡| 在线免费观看的www视频| 女性生殖器流出的白浆| 50天的宝宝边吃奶边哭怎么回事| 国产97色在线日韩免费| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放 | 亚洲 国产 在线| 亚洲色图av天堂| 一边摸一边抽搐一进一出视频| 国产精品国产高清国产av| 又黄又粗又硬又大视频| 波多野结衣巨乳人妻| 老司机福利观看| 老司机午夜十八禁免费视频| 午夜两性在线视频| 九色亚洲精品在线播放| 中文字幕久久专区| 人妻丰满熟妇av一区二区三区| 欧美一级a爱片免费观看看 | 亚洲午夜理论影院| 色播在线永久视频| 不卡av一区二区三区| 黑人操中国人逼视频| 中文字幕高清在线视频| 一级毛片精品| 亚洲中文日韩欧美视频| 看黄色毛片网站| 亚洲av片天天在线观看| 在线国产一区二区在线| 国产精品野战在线观看| 波多野结衣巨乳人妻| 精品久久久精品久久久| 又黄又粗又硬又大视频| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 欧美性长视频在线观看| 黑人欧美特级aaaaaa片| 日本 欧美在线| cao死你这个sao货| 男女午夜视频在线观看| 女性被躁到高潮视频| 午夜成年电影在线免费观看| 正在播放国产对白刺激| 色av中文字幕| 美女扒开内裤让男人捅视频| 在线av久久热| 国产单亲对白刺激| 成熟少妇高潮喷水视频| 久久久久精品国产欧美久久久| 女警被强在线播放| 国产亚洲欧美精品永久| 亚洲五月婷婷丁香| 亚洲一卡2卡3卡4卡5卡精品中文| 国产成人精品久久二区二区91| 亚洲国产精品成人综合色| 午夜福利免费观看在线| cao死你这个sao货| 丰满的人妻完整版| 亚洲熟妇熟女久久| 丝袜美腿诱惑在线| 亚洲五月婷婷丁香| 日韩大尺度精品在线看网址 | 中文亚洲av片在线观看爽| 国产成年人精品一区二区| 亚洲人成77777在线视频| 日本vs欧美在线观看视频| 麻豆一二三区av精品| 欧美精品啪啪一区二区三区| 精品人妻在线不人妻| 精品国产乱码久久久久久男人| av片东京热男人的天堂| 国产成+人综合+亚洲专区| 级片在线观看| 少妇 在线观看| 一进一出好大好爽视频| 嫁个100分男人电影在线观看| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看 | 亚洲人成伊人成综合网2020| 国产激情欧美一区二区| 自线自在国产av| 黄色视频,在线免费观看| 亚洲av成人av| 亚洲人成电影免费在线| 男男h啪啪无遮挡| 村上凉子中文字幕在线| 欧美黄色片欧美黄色片| 成人手机av| 成人精品一区二区免费| 国产高清激情床上av| 欧美成人一区二区免费高清观看 | 国产区一区二久久| 一级黄色大片毛片| 90打野战视频偷拍视频| 日韩大尺度精品在线看网址 | 最新美女视频免费是黄的| 黑人巨大精品欧美一区二区mp4| av视频免费观看在线观看| 精品乱码久久久久久99久播| 禁无遮挡网站| 老汉色av国产亚洲站长工具| 亚洲成av人片免费观看| 欧美最黄视频在线播放免费| 国产av在哪里看| 丝袜美腿诱惑在线| 亚洲全国av大片| 又紧又爽又黄一区二区| 99国产精品免费福利视频| 日本一区二区免费在线视频| 99国产精品一区二区三区| 久久国产精品影院| 日韩精品青青久久久久久| 亚洲五月天丁香| 久久午夜综合久久蜜桃| 久久久久亚洲av毛片大全| 男女下面进入的视频免费午夜 | 国产精品国产高清国产av| 午夜福利,免费看| 99久久国产精品久久久| 亚洲av五月六月丁香网| 国产成人精品无人区| 婷婷丁香在线五月| 脱女人内裤的视频| 久久精品国产清高在天天线| 桃色一区二区三区在线观看| 午夜老司机福利片| 天天添夜夜摸| aaaaa片日本免费| 丰满人妻熟妇乱又伦精品不卡| av免费在线观看网站| 国产伦人伦偷精品视频| 黄色丝袜av网址大全| 亚洲中文字幕一区二区三区有码在线看 | 亚洲中文日韩欧美视频| 精品久久久久久,| 在线观看午夜福利视频| 午夜日韩欧美国产| 亚洲精品一区av在线观看| 长腿黑丝高跟| 精品日产1卡2卡| 国产成人免费无遮挡视频| 午夜福利欧美成人| av网站免费在线观看视频| 超碰成人久久| 久久精品影院6| 国产成人av激情在线播放| 久久欧美精品欧美久久欧美| 操出白浆在线播放| www日本在线高清视频| 亚洲九九香蕉| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 日本 av在线| 欧美黄色淫秽网站| 一级a爱片免费观看的视频| 嫁个100分男人电影在线观看| 日韩中文字幕欧美一区二区| 婷婷六月久久综合丁香| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 女人高潮潮喷娇喘18禁视频| 可以在线观看的亚洲视频| 亚洲精品国产区一区二| 中亚洲国语对白在线视频| 在线十欧美十亚洲十日本专区| 女生性感内裤真人,穿戴方法视频| 真人一进一出gif抽搐免费| 少妇熟女aⅴ在线视频| 色综合亚洲欧美另类图片| 十分钟在线观看高清视频www|