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    用“分節(jié)法”研究能被11、7整除的數(shù)的特征

    2016-06-07 08:17:19黃紅文水軍
    新課程·上旬 2016年4期
    關(guān)鍵詞:特征

    黃紅+文水軍

    摘 要:掌握了2,3,5的倍數(shù)的特征,對(duì)于學(xué)習(xí)約分、通分、分?jǐn)?shù)的四則混合運(yùn)算就有了一個(gè)強(qiáng)有力的工具。7或11的倍數(shù)是否有特征呢?如有,又是怎樣的特征呢?教材上沒(méi)有滲透,資料上也沒(méi)有提及,但教師必須弄明白這方面的真相。

    關(guān)鍵詞:分節(jié)法;規(guī)律;特征

    2012年秋,當(dāng)我上完西師版教材五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第七章“倍數(shù)與因數(shù)”第二節(jié)內(nèi)容“2,3,5的倍數(shù)特征”后,我掩卷沉思:這一章節(jié)的內(nèi)容主要是在整數(shù)中研究的,雖有許多實(shí)際的功用,但主要的目的是為今后分?jǐn)?shù)方面的計(jì)算做準(zhǔn)備。掌握了2,3,5的倍數(shù)的特征,對(duì)于學(xué)習(xí)約分、通分、分?jǐn)?shù)的四則混合運(yùn)算就有了一個(gè)強(qiáng)有力的工具。但通過(guò)我多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)得知,學(xué)生在進(jìn)行約分時(shí)最困難的卻是難以快速判斷分子、分母是否含有因子7或11,甚至于是13,因此影響約分的速度和效果。要突破這方面的難點(diǎn),須得弄清7或11的倍數(shù)的特征。

    7或11的倍數(shù)是否有特征呢?如有,又是怎樣的特征呢?教材上沒(méi)有滲透,資料上也沒(méi)有提及。但我怎能放棄呢?必須弄明白這方面的真相。

    首先,我以11為突破口,于是,在我案頭上出現(xiàn)了一大堆的數(shù)字:88,99,121,132,187,209,319,627,770,880,858,這些都是11的倍數(shù)。

    看著這些數(shù)字,我內(nèi)心只有一個(gè)想法:規(guī)律在哪里?它們的內(nèi)在存在什么聯(lián)系?……一連串的問(wèn)題在我心中縈繞。

    個(gè)位上的數(shù)字有奇、有偶,從個(gè)位上尋求規(guī)律行不通。

    把各位上的數(shù)字相加,結(jié)果與11也毫無(wú)關(guān)系。

    ……

    看著88,99,770,880這幾個(gè)比較特殊的數(shù)與121,132,187,209,319,627的結(jié)構(gòu)不同,難道是兩位數(shù)與三位數(shù)的特征不同?難道要進(jìn)行分別研究?有了這個(gè)想法,我立馬把11的倍數(shù)進(jìn)行了分類(lèi)整理。

    11的倍數(shù)是兩位數(shù)的:11,22,33,44,55,66,77,88,99

    很有趣:個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字相同。

    11的倍數(shù)是三位數(shù)的:121,132,143,154,165,176,187,198,209,220,231…308,319…

    我依次列舉了一串,通過(guò)仔細(xì)觀察,這些數(shù)似乎可以劃分為兩種情形。

    一類(lèi)是:121,132,143,154,165,176,187,198,220,231,242,253…

    一類(lèi)是:209,308,319…

    前一類(lèi)滿足一個(gè)共同的特征:

    百位上的數(shù)字+個(gè)位上的數(shù)字-十位上的數(shù)字=0

    后一類(lèi)滿足:

    百位上的數(shù)字+個(gè)位上的數(shù)字-十位上的數(shù)字=11

    我驚了:這0和11不就是11的倍數(shù)嗎?在三位數(shù)中難道滿足百位上的數(shù)字+個(gè)位上的數(shù)字-十位上的數(shù)字=0或11的數(shù)就是11的倍數(shù)嗎?我急不可待地驗(yàn)證了許多11的倍數(shù),結(jié)果都是這樣。同時(shí)也弄明白了滿足什么條件的兩位數(shù)的11倍結(jié)果為0,滿足什么條件的兩位數(shù)的11倍結(jié)果為11。

    11的倍數(shù)是兩位數(shù)的有特點(diǎn),是三位數(shù)的也有特點(diǎn),且特點(diǎn)不同,難道四位數(shù)中是11的倍數(shù)又具有另類(lèi)特征嗎?跟前面的研究方法一樣,我又列舉了一大串11的倍數(shù):1089,1100,1111,1122,1144,1188,1210,1221,1342,1353。

    1100,1111,1122,1144,1188各位數(shù)字的組合比較特殊,很容易理解。但1089,1210,1221,1342,1353這些比較一般的數(shù)怎樣才能尋出點(diǎn)眉目來(lái)呢?

    把各位上的數(shù)字相加,結(jié)果與11沒(méi)有關(guān)聯(lián),此路不通。我深信各位上的數(shù)字經(jīng)過(guò)一定方式的處理應(yīng)該與11有關(guān)聯(lián)。通過(guò)苦苦思索,我發(fā)現(xiàn)把1221分成兩節(jié),12為一節(jié),21為一節(jié),把這兩個(gè)數(shù)相加結(jié)果為33,恰是11的倍數(shù)。興奮之余,我試著把其他的幾個(gè)數(shù)按同樣的方式分為兩節(jié),把兩節(jié)數(shù)字一加,結(jié)果都是11的倍數(shù)。我相信這絕不是偶然,接著我進(jìn)行了大量的驗(yàn)證,經(jīng)過(guò)這樣的分節(jié)處理,兩節(jié)之和就是11,22,33,44…99這9個(gè)數(shù)字中的其中一個(gè)。這難道不是與判斷3的倍數(shù)的特征有異曲同工之妙嗎?

    這個(gè)分節(jié)法適用于三位數(shù)乃至更多位數(shù)嗎?試試看。

    11的倍數(shù):187 10857 39248

    分節(jié):1/87 1/08/57 3/92/48

    相加:1+87=88 1+08+57=66 3+92+48=143

    再分節(jié)相加:1/43 1+43=44

    判斷:因?yàn)?8,66,44是11的倍數(shù),故原數(shù)就是11的倍數(shù)。綜上所有研究的結(jié)果,可以表述為:11的倍數(shù)可以用分節(jié)法來(lái)進(jìn)行判斷,具體的操作過(guò)程是,把這個(gè)數(shù)從右向左每?jī)蓚€(gè)數(shù)字分為一節(jié),最后一節(jié)可以是一個(gè)數(shù)字,然后把各節(jié)上的數(shù)相加,如結(jié)果是11的倍數(shù),那么這個(gè)數(shù)就是11的倍數(shù)。

    當(dāng)然,研究問(wèn)題要全面,我舉了大量不是11的倍數(shù)的例子,通過(guò)上面的操作其結(jié)果都不是11的倍數(shù),從而初步認(rèn)定分節(jié)法的可靠性。

    有了研究11的倍數(shù)的經(jīng)驗(yàn),我接著對(duì)7的倍數(shù)進(jìn)行了摸索,最終找到了7的倍數(shù)的判斷方法。只是在分節(jié)法的基礎(chǔ)上又有不同的處理方式,具體操作演示如下:(下面的數(shù)都是7的倍數(shù))

    119 175 2520 5663

    分節(jié):1/19 1/75 25/20 56/63

    過(guò)程:1×2+19 1×2+75 25×2+20 56×2+63

    =21 =77 =70 =175

    再分節(jié)相加:1/75 1×2+75=77

    需要說(shuō)明的是,只能分成兩節(jié),右邊兩個(gè)數(shù)字為一節(jié),其余的為一節(jié),要用前一節(jié)的數(shù)乘2再加后一節(jié)的數(shù),如果結(jié)果過(guò)大,繼續(xù)分節(jié)進(jìn)行,直到很好判斷為止。

    后來(lái),我對(duì)13,17,23等數(shù)也進(jìn)行了研究,它們的倍數(shù)都可以用分節(jié)法來(lái)進(jìn)行判斷,只是過(guò)程處理有一些差別而已。

    編輯 趙飛飛

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