用“分節(jié)法”研究能被11、7整除的數(shù)的特征

黃紅+文水軍

摘 要：掌握了2，3，5的倍數(shù)的特征，對(duì)于學(xué)習(xí)約分、通分、分?jǐn)?shù)的四則混合運(yùn)算就有了一個(gè)強(qiáng)有力的工具。7或11的倍數(shù)是否有特征呢？如有，又是怎樣的特征呢？教材上沒(méi)有滲透，資料上也沒(méi)有提及，但教師必須弄明白這方面的真相。

關(guān)鍵詞：分節(jié)法；規(guī)律；特征

2012年秋，當(dāng)我上完西師版教材五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第七章“倍數(shù)與因數(shù)”第二節(jié)內(nèi)容“2，3，5的倍數(shù)特征”后，我掩卷沉思：這一章節(jié)的內(nèi)容主要是在整數(shù)中研究的，雖有許多實(shí)際的功用，但主要的目的是為今后分?jǐn)?shù)方面的計(jì)算做準(zhǔn)備。掌握了2，3，5的倍數(shù)的特征，對(duì)于學(xué)習(xí)約分、通分、分?jǐn)?shù)的四則混合運(yùn)算就有了一個(gè)強(qiáng)有力的工具。但通過(guò)我多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)得知，學(xué)生在進(jìn)行約分時(shí)最困難的卻是難以快速判斷分子、分母是否含有因子7或11，甚至于是13，因此影響約分的速度和效果。要突破這方面的難點(diǎn)，須得弄清7或11的倍數(shù)的特征。

7或11的倍數(shù)是否有特征呢？如有，又是怎樣的特征呢？教材上沒(méi)有滲透，資料上也沒(méi)有提及。但我怎能放棄呢？必須弄明白這方面的真相。

首先，我以11為突破口，于是，在我案頭上出現(xiàn)了一大堆的數(shù)字：88，99，121，132，187，209，319，627，770，880，858，這些都是11的倍數(shù)。

看著這些數(shù)字，我內(nèi)心只有一個(gè)想法：規(guī)律在哪里？它們的內(nèi)在存在什么聯(lián)系？……一連串的問(wèn)題在我心中縈繞。

個(gè)位上的數(shù)字有奇、有偶，從個(gè)位上尋求規(guī)律行不通。

把各位上的數(shù)字相加，結(jié)果與11也毫無(wú)關(guān)系。

……

看著88，99，770，880這幾個(gè)比較特殊的數(shù)與121，132，187，209，319，627的結(jié)構(gòu)不同，難道是兩位數(shù)與三位數(shù)的特征不同？難道要進(jìn)行分別研究？有了這個(gè)想法，我立馬把11的倍數(shù)進(jìn)行了分類整理。

11的倍數(shù)是兩位數(shù)的：11，22，33，44，55，66，77，88，99

很有趣：個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字相同。

11的倍數(shù)是三位數(shù)的：121，132，143，154，165，176，187，198，209，220，231…308，319…

我依次列舉了一串，通過(guò)仔細(xì)觀察，這些數(shù)似乎可以劃分為兩種情形。

一類是：121，132，143，154，165，176，187，198，220，231，242，253…

一類是：209，308，319…

前一類滿足一個(gè)共同的特征：

百位上的數(shù)字+個(gè)位上的數(shù)字-十位上的數(shù)字=0

后一類滿足：

百位上的數(shù)字+個(gè)位上的數(shù)字-十位上的數(shù)字=11

我驚了：這0和11不就是11的倍數(shù)嗎？在三位數(shù)中難道滿足百位上的數(shù)字+個(gè)位上的數(shù)字-十位上的數(shù)字=0或11的數(shù)就是11的倍數(shù)嗎？我急不可待地驗(yàn)證了許多11的倍數(shù)，結(jié)果都是這樣。同時(shí)也弄明白了滿足什么條件的兩位數(shù)的11倍結(jié)果為0，滿足什么條件的兩位數(shù)的11倍結(jié)果為11。

11的倍數(shù)是兩位數(shù)的有特點(diǎn)，是三位數(shù)的也有特點(diǎn)，且特點(diǎn)不同，難道四位數(shù)中是11的倍數(shù)又具有另類特征嗎？跟前面的研究方法一樣，我又列舉了一大串11的倍數(shù)：1089，1100，1111，1122，1144，1188，1210，1221，1342，1353。

1100，1111，1122，1144，1188各位數(shù)字的組合比較特殊，很容易理解。但1089，1210，1221，1342，1353這些比較一般的數(shù)怎樣才能尋出點(diǎn)眉目來(lái)呢？

把各位上的數(shù)字相加，結(jié)果與11沒(méi)有關(guān)聯(lián)，此路不通。我深信各位上的數(shù)字經(jīng)過(guò)一定方式的處理應(yīng)該與11有關(guān)聯(lián)。通過(guò)苦苦思索，我發(fā)現(xiàn)把1221分成兩節(jié)，12為一節(jié)，21為一節(jié)，把這兩個(gè)數(shù)相加結(jié)果為33，恰是11的倍數(shù)。興奮之余，我試著把其他的幾個(gè)數(shù)按同樣的方式分為兩節(jié)，把兩節(jié)數(shù)字一加，結(jié)果都是11的倍數(shù)。我相信這絕不是偶然，接著我進(jìn)行了大量的驗(yàn)證，經(jīng)過(guò)這樣的分節(jié)處理，兩節(jié)之和就是11，22，33，44…99這9個(gè)數(shù)字中的其中一個(gè)。這難道不是與判斷3的倍數(shù)的特征有異曲同工之妙嗎？

這個(gè)分節(jié)法適用于三位數(shù)乃至更多位數(shù)嗎？試試看。

11的倍數(shù)：187 10857 39248

分節(jié)：1/87 1/08/57 3/92/48

相加：1+87=88 1+08+57=66 3+92+48=143

再分節(jié)相加：1/43 1+43=44

判斷：因?yàn)?8，66，44是11的倍數(shù)，故原數(shù)就是11的倍數(shù)。綜上所有研究的結(jié)果，可以表述為：11的倍數(shù)可以用分節(jié)法來(lái)進(jìn)行判斷，具體的操作過(guò)程是，把這個(gè)數(shù)從右向左每?jī)蓚€(gè)數(shù)字分為一節(jié)，最后一節(jié)可以是一個(gè)數(shù)字，然后把各節(jié)上的數(shù)相加，如結(jié)果是11的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是11的倍數(shù)。

當(dāng)然，研究問(wèn)題要全面，我舉了大量不是11的倍數(shù)的例子，通過(guò)上面的操作其結(jié)果都不是11的倍數(shù)，從而初步認(rèn)定分節(jié)法的可靠性。

有了研究11的倍數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，我接著對(duì)7的倍數(shù)進(jìn)行了摸索，最終找到了7的倍數(shù)的判斷方法。只是在分節(jié)法的基礎(chǔ)上又有不同的處理方式，具體操作演示如下：（下面的數(shù)都是7的倍數(shù)）

119 175 2520 5663

分節(jié)：1/19 1/75 25/20 56/63

過(guò)程：1×2+19 1×2+75 25×2+20 56×2+63

=21 =77 =70 =175

再分節(jié)相加：1/75 1×2+75=77

需要說(shuō)明的是，只能分成兩節(jié)，右邊兩個(gè)數(shù)字為一節(jié)，其余的為一節(jié)，要用前一節(jié)的數(shù)乘2再加后一節(jié)的數(shù)，如果結(jié)果過(guò)大，繼續(xù)分節(jié)進(jìn)行，直到很好判斷為止。

后來(lái)，我對(duì)13，17，23等數(shù)也進(jìn)行了研究，它們的倍數(shù)都可以用分節(jié)法來(lái)進(jìn)行判斷，只是過(guò)程處理有一些差別而已。

編輯 趙飛飛