二維機(jī)織復(fù)合材料力學(xué)分析中的周期性邊界條件研究

薛亞紅， 陳繼剛， 閆世程， 駱俊廷

(1. 燕山大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 河北 秦皇島 066004； 2. 燕山大學(xué) 自潤滑關(guān)節(jié)軸承共性技術(shù)航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004； 3. 燕山大學(xué) 先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 河北 秦皇島 066004)

二維機(jī)織復(fù)合材料力學(xué)分析中的周期性邊界條件研究

薛亞紅1，2， 陳繼剛1，2， 閆世程1，2， 駱俊廷1,3

(1. 燕山大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 河北 秦皇島 066004； 2. 燕山大學(xué) 自潤滑關(guān)節(jié)軸承共性技術(shù)航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004； 3. 燕山大學(xué) 先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 河北 秦皇島 066004)

為了精確地進(jìn)行二維機(jī)織復(fù)合材料力學(xué)性能的數(shù)值分析,需建立單胞模型的準(zhǔn)確邊界條件。基于周期邊界條件理論，提出了簡便通用的二維機(jī)織復(fù)合材料周期邊界方程，并給出了周期邊界條件下各彈性常數(shù)在有限元分析中的求解方法；為驗(yàn)證周期邊界條件的正確性，建立了9個(gè)單胞構(gòu)成的九宮格結(jié)構(gòu)，取中央單胞作為參考單胞，對不同邊界條件下獨(dú)立單胞的變形和應(yīng)力分布與參考單胞進(jìn)行對比。研究結(jié)果表明：即使在單向拉伸載荷下，單胞各個(gè)邊界面也不保持平面狀態(tài)，而是出現(xiàn)凹凸翹曲變形，即存在邊界周期性；通過邊界周期性條件，可正確地獲得二維機(jī)織織物的工程彈性常數(shù)。

二維機(jī)織復(fù)合材料； 周期邊界條件； 單胞； 有限元模型； 彈性常數(shù)

二維機(jī)織復(fù)合材料是一種新型輕質(zhì)高效結(jié)構(gòu)材料，具有質(zhì)量輕，抗沖擊性好，比強(qiáng)度和比剛度高等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空航天、國防、電力、醫(yī)藥和紡織等領(lǐng)域[1]。對于二維機(jī)織復(fù)合材料綜合力學(xué)性能的預(yù)測是其用于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的重要前提?？椢飶?fù)合材料在結(jié)構(gòu)上一般呈現(xiàn)良好的周期性，通常基于單胞計(jì)算分析其宏觀力學(xué)性能[2]，主要包括理論解析法和有限元計(jì)算法。理論解析法基于等應(yīng)力或應(yīng)變假設(shè)，按所占的體積分?jǐn)?shù)加權(quán)平均組分材料剛度矩陣來得到織物總體的等效剛度。它能很好地預(yù)測織物的宏觀力學(xué)性能，但不能得到材料細(xì)觀層次上的應(yīng)力分布。有限元計(jì)算法通過建立織物的單胞模型，并施加一定的邊界條件，即可得到材料細(xì)觀層次的應(yīng)力應(yīng)變分布及宏觀力學(xué)性能，因此受到眾多學(xué)者的青睞。

基于單胞的織物有限元分析中，合理的邊界條件是保證計(jì)算準(zhǔn)確的關(guān)鍵。目前普遍假設(shè)邊界面保持一致[3]，即約束一個(gè)面的法向，對其對立面施加荷載，而其他面進(jìn)行法向耦合使其保持平面。這種邊界條件在有限元計(jì)算中很方便施加，但形成了過約束，破壞了相鄰單胞邊界面上應(yīng)力的連續(xù)性，僅適用于單向載荷狀態(tài)具有反對稱結(jié)構(gòu)的單胞[4-5]。Hori等[6]研究結(jié)果表明：等應(yīng)變假設(shè)的邊界條件將得到織物彈性常數(shù)的上限，應(yīng)力連續(xù)性難以滿足；等應(yīng)力假設(shè)的邊界條件將得到織物彈性常數(shù)的下限，不能滿足相鄰單胞變形的連續(xù)。為此，文獻(xiàn)[7]通過建立多個(gè)單胞來減小邊界效應(yīng)，雖然能獲得較好的結(jié)果，但大大降低了計(jì)算效率。

Whitcomb[8]、Xia[9]提出了周期邊界條件理論，較精確地獲得了織物的力學(xué)性能。Li[10]、Xu[11]、Carvalho[12]根據(jù)所研究織物的具體結(jié)構(gòu)，給出了各種單胞下周期邊界的表達(dá)形式，雖然較好地預(yù)測了織物的力學(xué)性能，但這些表達(dá)式均需事先給定單胞的平均應(yīng)變，通過有限元模擬得到相應(yīng)的應(yīng)力。而工程上通常在已知載荷的情況下，用簡單拉伸及剪切實(shí)驗(yàn)測量試件的位移，求得工程彈性常數(shù)。另外，周期邊界方程依賴于單胞的選取、織物的結(jié)構(gòu)及受載情況。文獻(xiàn)[13]利用對稱和反對稱性，將單胞簡化為1/16單胞模型，在降低計(jì)算量的同時(shí)，極大地增加了周期性邊界條件的施加難度；張超等[14]介紹了三維織物復(fù)合材料的周期邊界方程及彈性常數(shù)求解方法，但并不適用于只具有2對周期邊界的二維機(jī)織物。文獻(xiàn)[15]將三維周期性邊界表達(dá)式應(yīng)用在具有二維機(jī)織復(fù)合材料上，將非周期性邊界面施加周期邊界方程，與實(shí)際并不相符。

為此，本文給出了一種對于二維機(jī)織復(fù)合材料通用而簡便的周期邊界方程，通過建立多個(gè)單胞組成的九宮格結(jié)構(gòu)，取中間單胞以減小邊界效應(yīng)的方法，驗(yàn)證周期邊界方程的準(zhǔn)確性。

1 周期邊界條件理論

織物復(fù)合材料在結(jié)構(gòu)上一般具有周期性，只需進(jìn)行平移而不需要旋轉(zhuǎn)就能形成整個(gè)織物結(jié)構(gòu)的最小重復(fù)單元，稱為單胞。圖1示出具有周期性結(jié)構(gòu)的織物胞體二維示意圖。

圖1 具有周期性結(jié)構(gòu)的織物胞體二維示意圖

胞體內(nèi)任意點(diǎn)的位移場[9]可表示為

(1)

(2)

(3)

式中：k+和k-分別表示法向沿Xk正負(fù)2個(gè)方向的周期邊界面。

(4)

(5)

從式(5)可以看出，方程滿足邊界上位移的周期性與連續(xù)性，并且平行的周期邊界面上對應(yīng)節(jié)點(diǎn)的位移差保持為常數(shù)。Xia等[9]還進(jìn)一步證明施加式(5)后相鄰單胞邊界處能夠同時(shí)滿足應(yīng)力的連續(xù)性，因此可采用式(5)對單胞進(jìn)行分析。

2 周期邊界條件有限元分析模型

2.1 單胞分析模型

斜紋織物襯墊為典型的具有二維周期性結(jié)構(gòu)的機(jī)織復(fù)合材料。圖2示出一上二下左斜紋織物的細(xì)觀結(jié)構(gòu)三視圖。圖中虛線部分為其單胞，沿著2個(gè)編織方向，單胞結(jié)構(gòu)上具有周期性。為分析方便，建立了織物單胞坐標(biāo)位置圖，如圖3所示。單胞在坐標(biāo)系中位置為0≤x≤2a，0≤y≤2b，0≤z≤2c，坐標(biāo)原點(diǎn)建立在點(diǎn)D，2對周期邊界面分別沿x軸和z軸，織物厚度方向沿著y軸，結(jié)構(gòu)上不具有周期性。

圖2 斜紋織物的細(xì)觀結(jié)構(gòu)三視圖

圖3 織物單胞坐標(biāo)位置圖

2.2 有限元力學(xué)分析的周期邊界條件設(shè)定

2.2.1 剛體位移約束

為了消除單胞剛體位移，選擇頂點(diǎn)A、D、C、H，約束式(6)中的6個(gè)自由度。

(6)

式中：U、V、W分別表示沿x、y、z方向的位移；下標(biāo)字

母表示頂點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)；下標(biāo)數(shù)字表示棱邊上的節(jié)點(diǎn)；下標(biāo)為等式則表示對應(yīng)面上的節(jié)點(diǎn)。

2.2.2 面上節(jié)點(diǎn)約束

在2對平行的周期邊界面中，分別選擇x=0與z=0的面為主平面，與主平面相對的面為從平面，主平面上的節(jié)點(diǎn)為主節(jié)點(diǎn)，從平面上的節(jié)點(diǎn)為從節(jié)點(diǎn)。選擇節(jié)點(diǎn)對(D，C)，(D，A)作為參考，由式(5)可知，對于法向沿x方向的對應(yīng)主節(jié)點(diǎn)與從節(jié)點(diǎn)，其位移差即為節(jié)點(diǎn)C與D的位移差。由于節(jié)點(diǎn)D固定，位移差即為節(jié)點(diǎn)C的位移。同理，法向沿z方向的主節(jié)點(diǎn)與從節(jié)點(diǎn)的位移差，即節(jié)點(diǎn)A的位移。

法向沿x軸的面內(nèi)節(jié)點(diǎn)約束：

(7)

法向沿z軸的面內(nèi)節(jié)點(diǎn)約束：

(8)

連續(xù)體沿y軸方向的結(jié)構(gòu)不具有周期性，因此，法向沿y軸的面不需要施加周期邊界約束。

2.2.3 棱邊節(jié)點(diǎn)約束

對于自由的4個(gè)頂點(diǎn)(B、E、F、G)和4個(gè)棱邊(9，10，11，12)，處于兩周期邊界面的交界處，其節(jié)點(diǎn)同時(shí)滿足式(7)、(8)，如果直接把這些約束都施加到有限元分析中，就會(huì)導(dǎo)致有些節(jié)點(diǎn)既為主節(jié)點(diǎn)，又為從節(jié)點(diǎn)，計(jì)算將無法進(jìn)行，因此，需將這些棱邊和頂點(diǎn)單獨(dú)施加相互獨(dú)立的方程。

以棱9為參考，對于棱10，只施加方程(7)，其節(jié)點(diǎn)約束為

(9)

對于棱12，只施加方程(8)，其節(jié)點(diǎn)約束為

(10)

對于棱11，由式(7)、(8)可得其節(jié)點(diǎn)約束為

(11)

(12)

2.2.4 頂點(diǎn)約束

以頂點(diǎn)D為參考，對于頂點(diǎn)G，只施加方程(7)，其節(jié)點(diǎn)約束為

(13)

對于頂點(diǎn)E，只施加方程(8)，其節(jié)點(diǎn)約束為

(14)

對于頂點(diǎn)F，由式(7)、(8)可得其節(jié)點(diǎn)約束為

(15)

以頂點(diǎn)D為參考，對于頂點(diǎn)B，其節(jié)點(diǎn)約束為

(16)

式(6)～(16)，可應(yīng)用有限元分析軟件中的邊界設(shè)定，利用其多點(diǎn)約束功能并結(jié)合編寫的相應(yīng)程序加以實(shí)現(xiàn)。

3 周期邊界下織物彈性常數(shù)求解方法

3.1 宏觀彈性常數(shù)求解方法

在利用細(xì)觀有限元法研究二維機(jī)織復(fù)合材料宏觀力學(xué)性能時(shí)，施加周期邊界條件的目的，僅僅保證

可以用1個(gè)單胞代替整個(gè)織物的建模，如通過單胞研究織物的宏觀彈性常數(shù)進(jìn)行強(qiáng)度預(yù)測等。欲求得織物的宏觀力學(xué)性能，需要在周期邊界條件的基礎(chǔ)上，施加一定的載荷。二維機(jī)織復(fù)合材料為各項(xiàng)異性材料，其等效本構(gòu)方程可記為

(17)

(18)

式中：Ex、Ey、Ez分別為二維機(jī)織復(fù)合材料在x、y、z方向的彈性模量；Gxy、Gyz、Gxz分別為xy、yz、xz面內(nèi)的剪切模量；μxy、μyz、μxz、μyx、μzy、μzx分別為xy、yz、xz、yx、zy、zx面內(nèi)的泊松比。若要得到織物的9個(gè)工程彈性常數(shù)，可以施加6組線性不相關(guān)的宏觀應(yīng)力場。周期邊界條件下的6組簡單宏觀應(yīng)力場如表1所示。

表1 周期邊界條件下的6組簡單宏觀應(yīng)力場Tab.1 Six groups of simple macroscopic stress fieldparameters under periodic boundary condition

施加表1所示的1種應(yīng)力場，可得到1個(gè)或多個(gè)二維機(jī)織復(fù)合材料的宏觀彈性常數(shù)。施加全部6種應(yīng)力場，即可得到織物全部9個(gè)宏觀彈性常數(shù)。如施加k=1的應(yīng)力場，可求得Ex、μxy、μxz。

(19)

3.2 周期邊界條件下的加載方法

對單胞施加周期邊界方程后，對于表1中的6組宏觀應(yīng)力場，只需分別對6個(gè)節(jié)點(diǎn)自由度施加相應(yīng)的集中力。

(20)

式中Fx|C為在頂點(diǎn)C施加x軸方向的集中力。

通過有限元后處理，由節(jié)點(diǎn)位移求得連續(xù)體宏觀平均應(yīng)變值。

(21)

周期邊界條件下，二維機(jī)織復(fù)合材料宏觀彈性常數(shù)的具體求解方法為：首先在單胞模型的周期邊界面施加周期邊界方程(6)～(16)，然后給定表1所示的其中1種或幾種宏觀應(yīng)力場，按照式(20)的載荷施加方式對節(jié)點(diǎn)施加集中力，計(jì)算后通過式(21)獲得宏觀平均應(yīng)變值，最后由式(19)獲得織物宏觀彈性常數(shù)。

由于單胞y=0及y=2b的2面為非周期邊界面，未對節(jié)點(diǎn)進(jìn)行關(guān)聯(lián)約束，因此，對于k=2及k=5的應(yīng)力場，為避免應(yīng)力集中，在施加集中力前，先將2面內(nèi)的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行耦合處理。對于k=2的應(yīng)力場：需將面y=2b內(nèi)部(不包括4個(gè)棱邊和4個(gè)頂點(diǎn))的所有節(jié)點(diǎn)與頂點(diǎn)H進(jìn)行y方向的耦合，將面y=0內(nèi)部的所有節(jié)點(diǎn)與頂點(diǎn)D進(jìn)行y方向的耦合。對于k=5的應(yīng)力場：需要將面y=2b內(nèi)部的所有節(jié)點(diǎn)與頂點(diǎn)H進(jìn)行z方向的耦合；將面y=0內(nèi)部的所有節(jié)點(diǎn)與頂點(diǎn)D進(jìn)行z方向的耦合。

4 實(shí)例驗(yàn)證

4.1 周期邊界效應(yīng)存在性驗(yàn)證

為驗(yàn)證周期邊界效應(yīng)的存在，進(jìn)行了斜紋織物襯墊壓縮實(shí)驗(yàn)。斜紋織物襯墊由美國杜邦公司提供，其由徑向芳綸和緯向PTFE纖維編織而成，基體為酚醛樹脂。試件尺寸為100 mm×50 mm×0.4 mm，壓縮實(shí)驗(yàn)在TOX電子壓機(jī)上進(jìn)行，壓縮方向?yàn)榇怪崩w維編織方向，載荷為75 MPa。圖4示出顯微鏡下斜紋織物襯墊壓縮前后細(xì)觀結(jié)構(gòu)圖。可以看出，斜紋織物襯墊經(jīng)壓縮后，由于斜紋織物的細(xì)觀組織結(jié)構(gòu)的不對襯，單胞的邊界面變形不一致，明顯看出徑向纖維束由直線狀經(jīng)過壓縮出現(xiàn)屈曲變形，且這種變形形態(tài)存在重復(fù)性和周期性。

圖4 二維織物襯墊的受壓前與受壓后對比圖

4.2 周期邊界條件設(shè)置的正確性驗(yàn)證

為驗(yàn)證周期邊界條件設(shè)置的正確性，以斜紋織物為對象，進(jìn)行力學(xué)性能的有限元模擬及實(shí)驗(yàn)。其試件材料及尺寸同襯墊壓縮實(shí)驗(yàn)，力學(xué)性能實(shí)驗(yàn)在微機(jī)控制電子式萬能試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行。圖5示出斜紋織物的單胞的幾何模型。建立了如圖6所示的由9個(gè)單胞組成的九宮格結(jié)構(gòu)，其中間單胞邊界效應(yīng)較小，作為參考單胞。

以施加x方向的單軸拉伸為例，對于不同的胞體載荷施加方式為：1) 按照邊界保持一致的假設(shè)對九宮格結(jié)構(gòu)施加約束。即固定ADEH面，使其法向位移為0；對CDHG、ABFE這2個(gè)邊界面施加法向耦合約束，使其法向變形保持平面；在BCGF面上施加沿x方向、大小為150 N的單向拉力。2) 按照本文方法對單胞施加周期邊界方程后，在單胞的節(jié)點(diǎn)C施加大小為50 N的集中力。3) 按照邊界保持一致的假設(shè)對單胞施加約束后，在BCGF面上施加沿x方向大小為50 N的單向拉力。圖7示出不同邊界下胞體的變形形態(tài)。

圖5 斜紋織物單個(gè)胞體的幾何模型

圖6 九宮格結(jié)構(gòu)中參考單胞分析示意圖

圖7 不同邊界條件下胞體的等效應(yīng)力圖

從圖7可看出，由于邊界效應(yīng)的影響，九宮格結(jié)構(gòu)中沿x軸方向排布的3個(gè)單胞應(yīng)力分布各不相同。周期邊界條件下的單胞變形形態(tài)與參考單胞的基本一致。此外，由于結(jié)構(gòu)的不對稱性，即使在單向應(yīng)力狀態(tài)下的邊界面也不再保持平面，而是出現(xiàn)了翹曲，但平行的周期邊界面保持相同的形狀變形，其位移差相等，從而保證了相鄰單胞位移的連續(xù)性。周期邊界下的單胞與參考單胞，應(yīng)力分布有較小偏差，這是由于對九宮格結(jié)構(gòu)施加了簡化的邊界條件，參考單胞受到一定的邊界效應(yīng)的影響，并不能模擬連續(xù)體真實(shí)的周期性狀態(tài)。從圖5可看出，在平面保持一致的假設(shè)下單胞的等效應(yīng)力整體偏大，這是由于邊界面保持一致，相當(dāng)于施加了附加力，一定的載荷下變形減弱，使得單胞整體剛度增加。

表2給出了不同邊界條件下有限元模擬與實(shí)驗(yàn)獲得的部分彈性常數(shù)值?？梢钥闯?，周期邊界條件下的彈性常數(shù)值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為接近，其預(yù)測的斜紋織物彈性模量誤差能控制在6%以內(nèi)；由于單胞邊界面在變形過程中被迫保持為平面狀態(tài)，使得邊界保持一致假設(shè)下單胞的彈性常數(shù)預(yù)測值偏大，這與前面的分析一致。因此，基于本文給出的周期邊界條件的設(shè)置方法對預(yù)測二維織物復(fù)合材料的彈性常數(shù)有足夠的精度，及相對于傳統(tǒng)邊界保持一致的邊界條件設(shè)置方法具有絕對的優(yōu)勢。

表2 不同邊界條件下有限元模擬值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

5 結(jié) 論

本文針對二維機(jī)織復(fù)合材料的有限元分析模型問題，開展了單胞模型周期邊界條件的研究，得出了具有二維周期性結(jié)構(gòu)的機(jī)織復(fù)合材料單胞的周期邊界方程，給出了在有限元中織物宏觀彈性常數(shù)求解方法。通過斜紋織物壓縮實(shí)驗(yàn)，證實(shí)了織物周期邊界效應(yīng)的存在。將九宮格結(jié)構(gòu)的中央單胞作為參考單胞，對比不同邊界條件下單胞變形和應(yīng)力分布，并進(jìn)行斜紋織物彈性常數(shù)預(yù)測的模擬和實(shí)驗(yàn)，證明了本文給出的單胞模型周期邊界條件的正確性。研究表明，織物復(fù)合材料的單胞即使在單向拉伸載荷下各個(gè)邊界面也不保持平面狀態(tài)，而是出現(xiàn)凹凸翹曲變形，即存在邊界周期性；本文給出的邊界周期性條件，相對于傳統(tǒng)有限元方法預(yù)測二維機(jī)織復(fù)合材料彈性常數(shù)有更高的精度。

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Periodic boundary conditions for mechanical property analysis of 2-D woven fabric composite

XUE Yahong1，2, CHEN Jigang1，2, YAN Shicheng1，2, LUO Junting1,3

(1.SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity,Qinhuangdao,Hebei066004,China; 2.AviationKeyLaboratoryofScienceandTechnologyonGenericTechnologyofSelf-LubricatingSphericalPlainBearing,YanshanUniversity,Qinhuangdao,Hebei066004,China; 3.KeyLaboratoryofAdvancedForging&StampingTechnologyandScience,MinistryofEducation,YanshanUniversity,Qinhuangdao,Hebei066004,China)

In order to accurately implement the numerical analysis for the mechanics performance of two-dimensional (2-D) woven fabric composite, the accurate boundary condition of unit cell model should be established. Based on the periodic boundary condition theory, a set of simple and universal periodic boundary equations was proposed for the 2-D woven fabric composite, and the solving method of elastic constants for engineering in the finite element analysis under the periodic boundary conditions was given. In order to verify the correctness of periodic boundary conditions, the nine-block-box structure including 9 unite cells of 2-D fabric composite were established. Taking the central cell as the reference cell, the deformation and stress distribution of the single cells under different boundary conditions were compared with the reference cell. The results indicate that all boundary surfaces of the fabric composite do not keep planar state, but present the concave and convex buckling deformation under uniaxial tensile load. In other words, the periodic property of the unite cell boundary faces is demonstrated. Furthermore, the engineering constants of the 2-D woven fabric composite can be obtained properly under the periodic boundary conditions.

2-D woven fabric composite; periodic boundary condition; unit cell; finite element model; elastic constant

10.13475/j.fzxb.20150800808

2015-08-05

2016-03-10

國家科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目(2014BAF08B03)

薛亞紅(1989—)，女，碩士生。研究方向?yàn)樽詽櫥牧稀⒕艹尚?。陳繼剛，通信作者，E-mail:24000082@qq.com。

TB 332

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