矩陣方程AX=B, XC=D的(M,N)-反對(duì)稱解

劉　巍， 王柏育

(長(zhǎng)沙學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系， 湖南 長(zhǎng)沙　410022)

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矩陣方程AX=B, XC=D的(M,N)-反對(duì)稱解

劉巍， 王柏育*

(長(zhǎng)沙學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系， 湖南 長(zhǎng)沙410022)

摘要：利用奇異值分解和廣義奇異值分解，得到了矩陣方程AX=B,XC=D的(M,N)-反對(duì)稱解存在的充要條件，給出了通解表達(dá)式及其最佳逼近問(wèn)題的解，并提供了數(shù)值例子來(lái)說(shuō)明理論結(jié)果的正確性.

關(guān)鍵詞：(M,N)-反對(duì)稱矩陣； 最佳逼近； 廣義奇異值分解

0引言

定義1[1]對(duì)矩陣A=(aij)∈Rn×m和B=(bij)∈Rn×m，稱A*B=(aijbij)∈Rn×m是A與B的Hadamard乘積.

定義2給定M∈Rn×p，N∈Rq×n，如果(MXN)T=-MXN，稱X是(M,N)-反對(duì)稱矩陣.

近些年來(lái)，文獻(xiàn)[2-16]討論了矩陣方程的無(wú)約束解、(反)對(duì)稱解、廣義(反)對(duì)稱解、廣義自反解、(R,S)-對(duì)稱解、(R,S)-共軛解、Hermitian自反解和最小二乘解等，并得到了很好的結(jié)果.

本文研究以下問(wèn)題：

AX=B,XC=D

(1)

(2)

其中,SE是問(wèn)題I的解集合.

1問(wèn)題Ⅰ的解

在本節(jié)中，利用矩陣的SVD分解和GSVD分解[2]，給出問(wèn)題I有解的充要條件以及一般解的表達(dá)式.

(3)

其中:

Σ1=diag(σ11,…,σ1r1)>0，

Σ2=diag(σ21,…,σ2r2)>0.

(4)

其中:

P2∈OR(q-r2)×(q-r2),

(5)

Ω1=diag(α1,…,αs)>0,

Ω2=diag(β1,…,βs)>0,

1>α1≥…≥αs>0,

引理3若矩陣F∈Rn×n,G0∈SRn×n滿足

G0=F+FT, 則:

其中,G∈ASRn×n.

AA+B=B,DC+C=D,BC=AD

(6)

并且其一般解的表達(dá)式為:

(7)

其中,X22是任意的(p-r1)×(q-r2)階實(shí)矩陣，V12、U22如引理1中所定義.

M0=M(A+B+(I-A+A)DC+)N,

矩陣H的分塊如下

其中,Q如引理2中所定義，Hii(i=1,2,3,4)是對(duì)稱矩陣.則問(wèn)題Ⅰ的解集SE非空的充要條件是:

(ⅰ)AA+B=B,DC+C=D,BC=AD.

(ⅱ)H11=0,H33=0,Hi4=0,H4i=0,

1≤i≤4.

當(dāng)問(wèn)題Ⅰ有解時(shí)，其一般解的表達(dá)式為:

X=A+B+(I-A+A)DC++

(8)

其中:

V12、U22、P1、P2、Ω1、Ω2如引理1和引理2中所定義.

由(MXN)T=-MXN，有:

由引理2可得:

(9)

(10)

將式(5)和式(10)代入式(9)，得:

所以:

H11=0,H33=0,Hi4=0,H4i=0,1≤i≤4

(11)

(12)

(13)

式(11)即條件(ⅱ).

2問(wèn)題Ⅱ的解

注意到問(wèn)題Ⅰ的解集是一個(gè)閉凸集.因此,問(wèn)題Ⅱ存在唯一解.先給出以下引理.

(14)

證明:設(shè)K=(kij)∈ASRn×n,L=(lij)∈Rn×n,則:

且F(K)是連續(xù)可微函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)處取極小值的必要條件，可得:

定理2給定矩陣X*∈Rp×q、M∈Rn×p、

D∈Rp×s,令

的分塊如下:

(15)

(16)

其中:

(17)

V12、U22、P1、P2、Ω1、Ω2如引理1和引理2中所定義.

‖X-X*‖2=

min

(18)

對(duì)S作形如式(15)的分塊，則式(18)等價(jià)于

(19)

3數(shù)值例子

在本節(jié)中，給出相應(yīng)的數(shù)值例子，說(shuō)明所得理論結(jié)果的正確性.

例1考慮矩陣方程AX=B,XC=D,其中

經(jīng)驗(yàn)證，滿足定理1的條件，在式(8)中，取可任意取值的矩陣均為零矩陣，可得問(wèn)題I的一個(gè)解為:

且有:

‖AX-B‖=9×10-16,‖XC-D‖=6×10-17,

‖(MXN)T+MXN‖=5×10-15

給定

根據(jù)式(16)，可得問(wèn)題Ⅱ的解為：

且有：

參考文獻(xiàn)

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【責(zé)任編輯：晏如松】

The (M,N)-antisymmetric solutions of the matrix equations AX=B,XC=D

LIU Wei， WANG Bai-yu*

(Department of Mathematics and Computer Science, Changsha University, Changsha 410022, China)

Abstract:In this paper,based on the singular value decomposition (SVD) of a matrix and the generalized singular value decomposition (GSVD) of a matrix pair,we establish the solvability conditions of matrix equations AX=B,XC=D for (M,N)-antisymmetric matrices,give the expressions of general solutions and the solution of corresponding optimal approximation problem,and give a numerical example to verify the correctness of the theoretical results.

Key words:(M,N)-antisymmetric matrix; optimal approximation; generalized singular value decomposition

中圖分類號(hào)：O241.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1000-5811(2016)03-0175-05

作者簡(jiǎn)介:劉巍(1982-)，男，遼寧建平人，講師，碩士，研究方向：數(shù)值代數(shù)通訊作者:王柏育(1981-)，女，遼寧建平人，講師，博士，研究方向：數(shù)值代數(shù)、偏微分方程，wangbaiyumath@163.com

基金項(xiàng)目：湖南省教育廳科研計(jì)劃項(xiàng)目(15C0120)

收稿日期:2016-01-13