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    一類冪函數(shù)的半共軛

    2016-06-05 14:18:14石勇國(guó)鐘韜
    關(guān)鍵詞:冪函數(shù)共軛表達(dá)式

    石勇國(guó),鐘韜

    一類冪函數(shù)的半共軛

    石勇國(guó)1,鐘韜2

    (1.信陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南信陽(yáng)464000;2.四川交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院,四川成都611130)

    運(yùn)用動(dòng)力系統(tǒng)方法得到了一種新的實(shí)數(shù)表示.利用這種實(shí)數(shù)的表示,給出了冪函數(shù)ft:[-1,1]→[-1,1],ft(x)=2|x|t-1,t>0到f1(x)=2|x|-1的半共軛的精確表達(dá)式.

    區(qū)間映射;半共軛;冪函數(shù);實(shí)數(shù)表示;共軛方程

    設(shè)I和J是緊區(qū)間.若共軛方程φ°f=g°φ存在連續(xù)解φ:I→J,則稱自映射f:I→I和g:J→J是拓?fù)浒牍曹?,?jiǎn)稱f半共軛于g.連續(xù)映射φ稱作拓?fù)浒牍曹棧?jiǎn)稱半共軛.進(jìn)一步,如果連續(xù)映射φ是雙射,那么稱f和g是拓?fù)涔曹?,?jiǎn)稱f共軛于g.

    如果2個(gè)映射共軛,則它們具有相同的動(dòng)力學(xué)性質(zhì);如果f半共軛于g,則映射f的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)至少像g那樣復(fù)雜.這樣,考慮某個(gè)映射的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),一般先將這個(gè)映射(半)共軛到最簡(jiǎn)單的映射,即是所謂的正規(guī)型.

    W.Parry[1]首先給出了關(guān)于區(qū)間映射共軛的經(jīng)典結(jié)果:若多峰映射f是傳遞的,則f共軛于一個(gè)斜率為±s的逐段線性映射,其中l(wèi)og s為f的拓?fù)潇?后來(lái),J.Milnor等[2]進(jìn)一步給出了半共軛的結(jié)果:如果f是連續(xù)的逐段單調(diào)的區(qū)間映射,拓?fù)潇豯og s>0,則f半共軛于一個(gè)斜率為±s的逐段線性映射,而且這樣的半共軛是單調(diào)的.J.F.Alves等[3]指出這樣的單調(diào)半共軛不唯一.

    不妨設(shè)I:=[-1,1],考慮區(qū)間I上的冪函數(shù)ft(x)=2|x|t-1,t>0,如圖1所示.這類映射是一類單谷映射,最簡(jiǎn)單的形式是逐段線性映射f1(x)=2|x|-1.J.Mycielski[4]利用所謂的零點(diǎn)匹配法[5]構(gòu)造共軛,證明了:對(duì)于1/2≤t≤2,ft共軛于f1;對(duì)于0<t<1/2,ft不共軛于f1.C.Kawan[6]利用不動(dòng)點(diǎn)定理得到:對(duì)于t>1,ft共軛于f1.于是有:對(duì)于t≥1/2,ft共軛于f1.

    D.S.Ou等[7]考慮了單峰映射與帳篷映射的半共軛問(wèn)題,及其推廣.由他們的結(jié)論可得到:對(duì)于0<t<1/2,ft半共軛于f1,而且遞增的半共軛存在且唯一.由于無(wú)法找到半共軛的精確表達(dá)式,他們利用逐段線性的函數(shù)序列逼近半共軛.一個(gè)有意思的問(wèn)題是如何準(zhǔn)確確定半共軛,這也是求解共軛方程的核心問(wèn)題之一[8-9].

    本文利用實(shí)數(shù)的f1展開(kāi),對(duì)于t>0,給出了映射ft到f1的半共軛的精確表達(dá)式.該方法可以推廣到一般的單谷或單峰映射的半共軛問(wèn)題.無(wú)需逼近,即可得到精確的半共軛.

    1 實(shí)數(shù)的f1展開(kāi)

    下面介紹f1展開(kāi)的概念.它是文獻(xiàn)[10]中一類特殊的展開(kāi).

    考慮區(qū)間I=[-1,1],按照f(shuō)1的谷點(diǎn),將它分成2部分:

    任意的實(shí)數(shù)x∈I有下面的展開(kāi)表達(dá)式

    不論哪種情形,均有x2∈I.

    迭代上面過(guò)程,得到一個(gè)序列{xn},這里x1= x,且對(duì)于n≥2有

    于是

    這樣x可以展開(kāi)成級(jí)數(shù)的形式

    類似于二進(jìn)制,對(duì)于每個(gè)x∈I都可以通過(guò)0-1序列{εn}n∈N表示.簡(jiǎn)記為

    容易得到x=-1的f1展開(kāi)為[1,0,0,0,…];x=0的f1展開(kāi)為[1,1,0,0,0,…];x=1的f1展開(kāi)為[0,0,0,0,…].對(duì)于每個(gè)0-1序列{εn}n∈N,根據(jù)上面的展開(kāi)式,在I上存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng).

    定義關(guān)于映射f1展開(kāi)的柱集.

    可以看出這些集合是端點(diǎn)為[ε1,ε2,…,εk,1,0,0,0,…]和[ε1,ε2,…,εk,0,0,0,…]的閉區(qū)間.因此這些閉區(qū)間的長(zhǎng)度為

    2 半共軛的精確表達(dá)式

    定義2.1給定t>0,一個(gè)0-1數(shù)列{εn}n∈N稱為點(diǎn)x∈I關(guān)于映射ft的跡,如果

    特別地,當(dāng)上面定義的映射ft是映射f1時(shí),點(diǎn)x∈I關(guān)于映射f1的跡就是f1展開(kāi)式.

    下面給出半共軛的精確表達(dá)式

    定理2.2給定t>0,任取點(diǎn)x∈I,設(shè)0-1數(shù)列{εn}n∈N是點(diǎn)x關(guān)于映射ft的跡,則φt:I→I

    是映射ft到映射f1的一個(gè)半共軛.

    利用MATLAB畫(huà)出φt曲線,如圖2所示.

    證明首先證明定義的φt滿足φt°ft=f1°φt.因?yàn)辄c(diǎn)ft(x)關(guān)于映射ft的跡為{ε2,ε3,…,εn,…},于是

    另一方面,若φt(x)≤0,則ε1=1,于是

    若φt(x)>0,則ε1=0,于是

    因此,對(duì)于所有x∈[-1,1],都有φt°ft=f1°φt.

    再證明φt是區(qū)間[-1,1]上的連續(xù)的滿射.根據(jù)跡,容易得到φt(-1)=-1,φt(0)=0和φt(1)=1.下面分3種子情形證明.

    情形(i)任取x∈[-1,1]使得對(duì)于所有的非負(fù)整數(shù)k,ft

    k(x)≠0.證φt在這樣的點(diǎn)x上連續(xù).事實(shí)上,由ft的連續(xù)性知ft的所有次迭代也連續(xù).任取?>0,選擇N使得2-(N+1)<?.令

    存在一個(gè)δ>0使得如果x'∈[-1,1]且|x-x'|<δ,那么對(duì)于k=0,1,2,..,N均有|(x)-(x')|<δ'.由x, x'的假設(shè),則x,x'關(guān)于映射ft的跡在前N+1個(gè)位置相同,根據(jù)φt的定義有|φt(x)-φt(x')|≤2-(N+1)<?.

    情形(ii)證φt在點(diǎn)x=0處連續(xù).知道無(wú)窮數(shù)列{1,1,0,0,0,…}是點(diǎn)x=0關(guān)于映射f1的跡;前面N+1個(gè)數(shù)字具有形式{1,1,0,0,0,…}的跡的點(diǎn)x都落在區(qū)間[-1/2N,0]上;前面N+1個(gè)數(shù)字具有形式{0,1,0,0,0,…}的跡的點(diǎn)x都落在區(qū)間[0,1/ 2N]上.同時(shí),點(diǎn)x=0關(guān)于映射ft的跡是{1,1,0,0,0,…}.任取?>0,選擇N使得1/2N-1<?.于是對(duì)于所有的正整數(shù)k,有fk(c)≠c,類似情形(i)的證明,可以找到一個(gè)δ>0使得如果x'∈[-1,1]且|0-x'|<δ,點(diǎn)x=0和x'關(guān)于映射ft的跡至少?gòu)牡?個(gè)位置到前N+1個(gè)位置相同.這樣φt(x)∈[-1/2N,1/2N]上,由于φt(0)=0,所以|φt(x')-φt(0)|≤1/2N-1<?.

    情形(iii)討論x≠0但存在正整數(shù)k使得fk(x)=0的所有這樣的點(diǎn),證φ在這樣點(diǎn)x處連續(xù).設(shè)存在最小的正整數(shù)N使得fN(x)=0,記y=0=fN(x).由情形(ii),φ在這樣點(diǎn)y=0處連續(xù),即對(duì)于任取?>0,存在δ'>0使得如果y'∈[-1,1]且|y-y' |<δ',則有|φt(y)-φt(y')|<?.令存在正數(shù)δ使得如果x'∈[-1,1]且|x-x'|<δ,則有|(x)-(x')|<δ'和(x)-(x')|<γ,k=0,1,2,..,N-1.這樣點(diǎn)x和x'關(guān)于映射ft的跡的前N個(gè)位置相同.因此,令g-i1表示f1某個(gè)單調(diào)區(qū)間上的逆映射

    證畢.

    注2.3根據(jù)φt公式,容易驗(yàn)證φt(x)≥0當(dāng)且僅當(dāng)x≥0.φt(x)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0.進(jìn)一步可得φt([-1,0])=[-1,0],φt([0,1])=[0,1].

    注2.4給定0<t<1/2,設(shè)0<x0<1是映射ft的不動(dòng)點(diǎn).于是對(duì)于任意的x∈[x0,1],x關(guān)于映射ft的跡{0,0,0,…},所以φt(x)=1.對(duì)于任意的x∈[-1,(x0+1)1/t],x關(guān)于映射ft的跡{1,0,0,0,…},所以φt(x)=-1.

    致謝四川師范大學(xué)博士科研啟動(dòng)一般項(xiàng)目(2015KYQD314)對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

    [10]BYES B.Monotonic semiconjugacies onto expanding maps of the interval[J].Proc Am Math Soc,1983,89:371-374.

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    Semi-conjugacies for a Type of Power Functions

    SHI Yongguo1,ZHONG Tao2
    (1.College of Mathematics and Information Science,Xinyang Normal University,Xinyang 464000,Henan; 2.Sichuan Vocational and Technical College of Communications,Chengdu 611130,Sichuan)

    With the method of dynamical system,we obtain a new representation of real numbers.Using this new real number representation,we obtain the explicit expression of the semi-conjugacy of the power function ft:[-1,1]→[-1,1],ft(x)=2|x|t-1,t>0 to f1(x)=2|x|-1.

    maps of the interval;semi-conjugacy;power function;real number representation;conjugacy equation

    46B20;39B12

    A

    1001-8395(2016)03-0318-04

    10.3969/j.issn.1001-8395.2016.03.003

    (編輯周俊)

    2015-11-19

    國(guó)家自然科學(xué)基金(11301256),四川省教育廳科研創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)基金(14TD0026)和四川省教育廳自然科學(xué)一般項(xiàng)目(16ZB0063)

    石勇國(guó)(1978—),男,副教授,主要從事函數(shù)方程的研究,E-mail:scumat@163.com

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    2010 MSC:26A03

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