焦重慶

(華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院， 北京 102206)

電偶極子和磁偶極子場分布相似性的一種解釋

焦重慶

(華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院， 北京 102206)

電偶極子電場與磁偶極子磁場具有相似的空間分布。然而，這種相似性并非顯而易見：電偶極子由一對等量異號電荷組成，而磁偶極子則是一個電流回路。本文從矢量場邊值問題的唯一性定理出發(fā)，得出了面散度源和面旋度源產(chǎn)生的矢量場分布的一種等價關(guān)系，進而對電偶極子電場與磁偶極子磁場空間分布的相似性進行了解釋。

電偶極子；磁偶極子；唯一性定理；邊值問題

0 引言

電偶極子和磁偶極子屬于電磁場理論中的基本模型[1-3]。在“電磁場”課程的靜電場部分，電偶極子指的是由兩個相互臨近的等量異號電荷組成的電荷系統(tǒng)。提出電偶極子這一基本模型的作用是為講解介質(zhì)的極化電場作鋪墊。此外，在“電磁場”課程的電磁輻射部分，電偶極子(此時電荷量為時變的)還可以指電偶極子天線。在“電磁場”課程的恒定磁場部分，磁偶極子指的是一個閉合的電流回路。此時，提出磁偶極子這一基本模型是為講解媒質(zhì)磁化后的磁場作鋪墊。此外，在“電磁場”課程的電磁輻射部分，磁偶極子(此時電流為時變的)還可以指磁偶極子天線。

有趣的是，為何把一個電流回路叫做磁偶極子？可能的原因有二：①由于至今仍未發(fā)現(xiàn)帶有磁荷的粒子(磁單極子)，故無法采用與構(gòu)建電偶極子類似的方法來構(gòu)建磁偶極子，即無法用一對等量異號的磁荷來表示磁偶極子；②用電流回路表示的磁偶極子產(chǎn)生的磁場在空間的分布與電偶極子產(chǎn)生的電場的空間分布是相同的。也就是說，用電流回路表示的磁偶極子與用等量異號的磁荷構(gòu)成的“理想磁偶極子”在產(chǎn)生磁場的效果上是等價的。從這個意義上說，電流回路可以替代等量異號磁荷，因而被等效成磁偶極子。

然而，帶來的問題是，為什么電流回路構(gòu)成的磁偶極子產(chǎn)生的磁場與電偶極子電場的空間分布是一致的？雖然課本上給出的就是如此結(jié)果，但畢竟不便于理解?？紤]到，“理想磁偶極子”(本文指一對臨近的等量異號磁荷)產(chǎn)生的磁場與電偶極子產(chǎn)生的電場有相同的空間分布是顯而易見的。因此，該問題可以換一個角度理解，即為什么電流回路構(gòu)成的磁偶極子產(chǎn)生的磁場與由等量異號磁荷構(gòu)成的磁偶極子產(chǎn)生的磁場具有相同的分布。本文從唯一性定理出發(fā)，對該問題給出了解釋。

1 電偶極子場與磁偶極子場的相似性

“電磁場”課本中介紹的電偶極子和磁偶極子的模型如圖1所示。

(a) 電偶極子 (b)磁偶極子

圖1(a)中，q為電荷量，d為電荷間距。以兩電荷的中心為坐標原點，由負電荷指向正電荷的方向為z軸方向，則自由空間中電偶極子電場的空間分布可以表示成：

(1)

式中，p=qd為電偶極子的電偶極矩。

圖1(b)中，I為電流，S為電流回路包圍的面積。以S的中心為坐標原點，以與回路所在面垂直且與電流環(huán)形方向成右手螺旋關(guān)系的軸線為z軸，則自由空間中磁偶極子磁場的空間分布可表示成：

(2)

式中，m=IS為磁偶極子的磁偶極矩。

比較式(1)和(2)，不難看出，兩種場的空間分布一致。需要強調(diào)的是，上述等價關(guān)系成立的前提是場點位于偶極子的遠場區(qū)。在近場區(qū)，兩者顯然不同，前者是有散無旋場，后者是無散有旋場。然而，如果電偶極子的電荷間距盡可能小，同時磁偶極子的回路半徑也盡可能小，則兩者的場分布能夠在靠近偶極子的區(qū)域內(nèi)也能保持一致。

2 面散度源和面旋度源的等效關(guān)系

如圖2所示，某矢量場F在體積V內(nèi)均勻分布，即各點的場強大小相同、方向也一致。假設(shè)在區(qū)域V外F為零。從矢量場唯一性定理(如亥姆霍茲定理)考慮，矢量場由散度、旋度和邊界條件唯一確定[4]。對于圖2所示的問題，S被看成是分界面而不是邊界，場域為整個空間，則從矢量場的分界面條件出發(fā)，為了達到這種特殊的場分布，必然要求S上有以下兩種面源存在(這種思路類似于電磁場理論中的等效原理[5])：

1)面散度源

ρs=en·(F2-F1)=-en·F

(3)

2)面旋度源

Js=en×(F2-F1)=-en×F

(4)

式中，en為S的法向單位矢量，從S內(nèi)部指向外部。F1指F在S內(nèi)側(cè)的值，F(xiàn)2指F在S外側(cè)的值。

圖2 局限在任一體積內(nèi)的常矢量場

由于F在空間其它區(qū)域均無散且無旋。故F的場源只包括上述面散度源和面旋度源。即在上述面散度源和面旋度源的共同作用下，可以產(chǎn)生上述被局限在S內(nèi)部的常矢量場：此時，上述兩種面源產(chǎn)生的場在V內(nèi)部疊加的效果是形成常矢量場，在V以外區(qū)域則相互抵消。類比自由空間面電荷分布產(chǎn)生的電位移矢量D，可以得出面散度源對矢量場F的貢獻為

(5)

類比自由空間面電流分布產(chǎn)生的磁場強度H，可以得出面旋度源對矢量場F的貢獻為

(6)

對于位于V外部的場點P，式(5)和(6)疊加等于零。實際上，我們也可以通過直接的數(shù)學(xué)推導(dǎo)來證明這一點。

如果把F看成電位移矢量D，則面散度源對應(yīng)面電荷，而面旋度源對應(yīng)面磁流(磁荷運動形成磁流)。如果把F看成磁場強度H，則面散度源對應(yīng)面磁荷，而面旋度源對應(yīng)面電流。

3 相似性的解釋

如圖3所示，假設(shè)自由空間中沿z軸方向的均勻磁場H僅僅分布在高度h、半徑a的圓柱體內(nèi)。則要求在圓柱體的上端面S1存在如下密度的面磁荷分布(定義磁感應(yīng)強度B的散度為磁荷體密度):

ρms1=μ0H

(7)

在圓柱體的下端面S2存在如下密度的面磁荷分布:

ρms2=-μ0H

(8)

在圓柱體的側(cè)面S3存在如下密度的面電流分布:

JS=H

(9)

該電流沿與z軸呈左手螺旋關(guān)系的方向流動。

圖3 局限在一圓柱體內(nèi)的均勻磁場

假設(shè)圓柱體的半徑趨向于零，則面磁荷分布被壓縮成一個點磁荷，其磁荷大小為

qm=πa2ρms1=πa2μ0H

(10)

上端面的磁荷與下端面的磁荷構(gòu)成具有如下偶極矩的“理想磁偶極子”：

m′=qmh=πa2μ0Hh

(11)

依據(jù)電荷和磁荷的對稱關(guān)系，磁荷磁場與電荷電場的對應(yīng)關(guān)系：

E?H，D?B，ε0?μ0，qe?qm,p?m′

(12)

式中qe代表電荷，qm代表磁荷。從式(1)、(11)和(12)可以得出式(11)表示的磁偶極子產(chǎn)生的磁場強度H為

(13)

現(xiàn)在假設(shè)圓柱體的高度趨向于零，則面電流分布被壓縮成一根圓形的線電流，其電流大小為

I=Jsh=Hh

(14)

它相當于如下偶極矩的磁偶極子：

m=πa2I=πa2Hh

(15)

可以看出，式(11)給出的基于電流定義的磁偶極矩與式(15)給出的基于磁荷定義的磁偶極矩之間相差一個常數(shù)μ0，但這并不影響最終的結(jié)論。

依據(jù)第2節(jié)的分析，如果將電流的方向反過來，即該電流沿與z軸呈右手螺旋關(guān)系的方向流動。然后，該電流產(chǎn)生的磁場將完全等同于上述“”理想磁偶極子“”產(chǎn)生的磁場。此時，式(15)表示的基于電流定義的磁偶極子產(chǎn)生的磁場強度H的表達式就是式(13)。在式(13)中，將式(15)代入，有

(16)

相應(yīng)的，磁感應(yīng)強度B為

(17)

可以看出，式(17)與式(2)完全相同。需要指出的是，上述等價關(guān)系只在圓柱體外部區(qū)域成立，這一點與第1節(jié)末尾所述的電偶極子場與磁偶極子場只在遠場區(qū)相同的規(guī)律類似。

4 結(jié)語

本文基于矢量場的唯一性定理和分界面條件證明了對于一個閉合曲面，通過在曲面上放置適當?shù)拿嫔⒍仍春兔嫘仍矗稍谇鎯?nèi)產(chǎn)生均勻矢量場，在曲面外產(chǎn)生零矢量場。反之，面散度源和面旋度源可以在曲面外產(chǎn)生相同的場。由此，面電荷分布可以與面磁流分布產(chǎn)生相同的電場，而面磁荷分布可以與面電流分布產(chǎn)生相同的磁場。

基于上述理由，可以證明基于電流回路定義的磁偶極子產(chǎn)生的磁場等同于理想磁偶極子(等量異號磁荷)產(chǎn)生的磁場。而又因電偶極子的電場與“理想磁偶極子”產(chǎn)生的磁場具有相同的空間分布。最終對磁偶極子磁場分布與電偶極子電場分布的相似性給出了解釋。

[1] 倪光正. 工程電磁場原理[M]. 北京: 高等教育出版社, 2009.

[2] 馮慈璋，馬西奎. 工程電磁場導(dǎo)論[M]. 北京: 高等教育出版社, 2000.

(焦重慶文)

[3] 王澤忠，全玉生，盧斌先. 工程電磁場[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2011.

[4] 雷銀照. 電磁場[M]. 北京: 高等教育出版社, 2008.

[5] 夏明耀、王均宏. 電磁場理論與計算方法要論[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 2013.

A Simple Explanation for the Similarity of Field Distributions of Electric Dipole and Magnetic Dipole

JIAO Chong-qing

(SchoolofElectricalandElectronicEngineering,NorthChinaElectricPowerUniversity,Beijing102206,China)

The electric field distribution of an electric dipole is similar with the magnetic field distribution of a magnetic dipole. However, this similarity is not obvious and is difficult to be understood due to the fact that: an electric dipole consists of a pair of separate electric charges with equal magnitude and opposite sign, but the magnetic dipole is a closed circulation of electric current. A kind of equivalent relationship between the vector field from a surface divergence source and that from a surface rotation source is obtained by using the uniqueness theorem of the boundary problem of a vector field. Based on this relationship, the similarity can be explained easily.

electric dipole; magnetic dipole; uniqueness theorem; boundary problem

2015-04-12;

2016-05-02

焦重慶(1981-)：男，博士，副教授，主要從事電磁場理論和電磁兼容技術(shù)方向的教學(xué)和科研工作，E-mail: cqjiao@ncepu.edu.cn

G642.0

A

1008-0686(2016)03-0031-04