列車工作輪熱鍛成形問題的無網(wǎng)格EFGM分析

楊垠耘，劉泓濱，劉欣瑋

（昆明理工大學 機電工程學院，云南 昆明 650504）

列車工作輪熱鍛成形問題的無網(wǎng)格EFGM分析

楊垠耘，劉泓濱，劉欣瑋

（昆明理工大學 機電工程學院，云南 昆明 650504）

基于伽遼金型無網(wǎng)格理論和緊支試函數(shù)加權(quán)殘量法理論基礎(chǔ)，在確定近似函數(shù)定義域及節(jié)點支撐域的前提下，利用移動最小二乘近似構(gòu)造了滿足條件的權(quán)函數(shù)，在彈性力學控制方程的基礎(chǔ)上構(gòu)造伽遼金型無網(wǎng)格格式，對比選擇積分方案，尋找引入試探函數(shù)約束條件的合適方法以確定邊界條件處理方式，建立了三維彈塑性EFG模型。將所建模型運用到某重裝企業(yè)的列車工作輪鍛件生產(chǎn)研究中，對熱鍛過程中的材料特性參數(shù)、鍛件尺寸參數(shù)等進行了全面的EFG和FEM模擬，通過與實驗數(shù)據(jù)的對比分析，驗證了EFG模型的正確性和EFGM在分析金屬塑性成形過程的優(yōu)越性，對實際生產(chǎn)研究具有一定的參考價值。

鍛造成形；EFG法；FEM法；列車工作輪

計算力學的發(fā)展面臨著許多難以處理的問題[1]，如金屬塑性成形問題是典型的計算力學難題，其原因是由于傳統(tǒng)的有限元法依賴于網(wǎng)格，而大變形問題會使網(wǎng)格產(chǎn)生嚴重畸變導致計算終止，網(wǎng)格重構(gòu)又會增加計算量且大大降低計算精度[2]。20世紀90年代中期，無網(wǎng)格法的興起有效解決了此問題，其求解思路是：將求解域和邊界離散為有限數(shù)目的節(jié)點，對求解域中任一點處的場變量用該點支撐域中的節(jié)點的函數(shù)值進行局部近似，然后根據(jù)不同的離散方法，形成無網(wǎng)格法的離散方程，最后把基于點的離散方程組裝為總體剛度方程并進行求解。由于無網(wǎng)格法不依賴于網(wǎng)格，避免了網(wǎng)格畸變問題，提高了求解精度[3]。

經(jīng)過近三十年的發(fā)展，無網(wǎng)格法已日趨成熟，并大量運用在金屬塑性成形問題中。其中，運用緊支試函數(shù)加權(quán)殘量法，基于移動最小二乘近似的無網(wǎng)格伽遼金法（Element-free Galerkin Method，EFGM）[4-6]，由于其具有穩(wěn)定性好、協(xié)調(diào)性強等特點，在金屬塑性成形的計算分析中表現(xiàn)出了較明顯的優(yōu)勢。本文以某企業(yè)實際生產(chǎn)研發(fā)中的某型號列車工作輪為例，建立FEM及EFG分析模型，分別運用兩種模型對列車工作輪熱鍛成形過程進行模擬仿真，擬通過其仿真結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的對比分析，驗證EFG模型的正確性和優(yōu)越性。

1 基本原理

EFGM屬伽遼金型無網(wǎng)格法，其原理是通過伽遼金法對控制方程進行離散，檢驗試探函數(shù)可以采用哪種加權(quán)殘量法進行建立并進行計算。從彈性力學的控制方程出發(fā)，在考慮其給定的體力、面力和本構(gòu)張量的前提下，將權(quán)函數(shù)取為真實位移的變分δui及其邊界值的負值，由加權(quán)殘量法可得到彈性力學控制方程中的平衡方程和力邊界條件的等效積分形式：

式（1）中，考慮到應(yīng)力張量σij的對稱性以及δui｜Γu=0，寫成矩陣形式有：

式中：u——位移矩陣；

將式（2）與緊支近似函數(shù)的形函數(shù)理論結(jié)合得：

式中：

由以上格式可見，伽遼金型無網(wǎng)格法的格式與有限元法的格式非常相似。

1.1 緊支近似函數(shù)

緊支函數(shù)是定義在局部區(qū)域（支撐域）中的函數(shù)，它只在其支撐域中有定義，而在其支撐域外為零。對二維問題，函數(shù)u（x）可以用與一組離散節(jié)點 xI（I=1，2，……，N）相對應(yīng)的緊支函數(shù)NI（x）的線性組合近似為：

式中：

緊支試函數(shù)NI（x）也稱為形函數(shù)。多維問題與此類似，即：

1.2 權(quán)函數(shù)

權(quán)函數(shù)ωI（x）的選擇對計算結(jié)果影響十分巨大，而用非負偶函數(shù)進行權(quán)函數(shù)選擇時，必須滿足以下幾個條件[7]：

①當‖x-xI‖＜rImax時，ωI（x）＞0；當‖x-xI‖＞rImax時，ωI（x）=0，其中，rImax為節(jié)點I影響區(qū)域大小的度量；

③ωI（x）是關(guān)于r的單調(diào)遞減函數(shù)，其中，r為節(jié)點xI與計算點x之間的距離；

④當rImax→0時，ωI（x）→δ（r）。易知，ωI（x）在xI處的值最大，且具有緊支性。

權(quán)函數(shù)的選擇和計算與節(jié)點影響域的選擇密不可分，在三維問題中，影響域形狀一般選為球體和長方體。常用的球形影響域權(quán)函數(shù)有指數(shù)函數(shù)、高斯函數(shù)等。

指數(shù)函數(shù)：

高斯函數(shù)：

而長方體的節(jié)點影響域權(quán)函數(shù)為：

1.3 位移邊界條件的處理

無網(wǎng)格法的近似函數(shù)和有限元法最大區(qū)別在于其近似函數(shù)大都不是插值函數(shù)[8]，即NI≠δIJ，位移邊界條件的處理較為困難。伽遼金弱形式要求試探函數(shù)u（x）預(yù)先滿足位移邊界條件。在無網(wǎng)格法中，試探函數(shù)一般不能預(yù)先滿足位移邊界條件，因此需要用其他方法引入試探函數(shù)的約束條件。

常用的處理方法有：拉格朗日乘子法、修正變分原理、罰函數(shù)法、位移約束方程法、邊界變換法[9]。其中，用拉格朗日乘子法施加位移邊界條件的精度較高，位移約束方程法主要從式（3）的解向量d必須滿足位移約束方程入手進行求解，很容易在任何伽遼金型無網(wǎng)格法中實現(xiàn)，邊界變換法則是在伽遼金型無網(wǎng)格法中施加給定位移邊界條件的一種很有效的方法。本例中選用拉格朗日乘子法。

將彈性力學控制方程中位移邊界條件ui=uˉi引入式（2）中，得：

為用來離散拉格朗日乘子向量的形函數(shù)矩陣。

用拉格朗日乘子法將約束條件式Hd=d引入式（2）中，得：

由此得：

值得一提的是，在MLS近似中，如果權(quán)函數(shù)為奇異函數(shù)，則近似函數(shù)具有差值特性，因而可直接施加位移邊界條件。

2 列車工作輪毛坯熱鍛成形過程模擬

列車工作輪在列車工作運行中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，由于其工作性質(zhì)具有高速、高溫、高載荷等特點，而列車輪的可靠性又直接關(guān)乎著列車能否正常安全運行，并且列車工作輪形狀尺寸相對比較復雜，熱鍛過程中易出現(xiàn)折迭、脫碳、裂紋、充型不滿等缺陷[10]，所以對列車工作輪毛坯的鍛造要求較高。在協(xié)作廠進行產(chǎn)品研發(fā)過程中，發(fā)現(xiàn)僅以試模為基本開發(fā)手段很難完全滿足列車輪需要達到的尺寸和性能要求，成形結(jié)果也不理想，且試模過程需要很大成本投入和較長研發(fā)周期，大大降低了工作效率。所以筆者提出用計算機仿真的方法進行產(chǎn)品輔助研發(fā)，并根據(jù)實際情況，擬用不同手段對熱鍛過程進行仿真分析，對比有限元與無網(wǎng)格伽遼金法，找到更適合進行金屬熱鍛分析的仿真手段，為企業(yè)實際生產(chǎn)提供一定指導作用。

鍛造過程需要的實際模具及建模模型如圖1、2所示，本次仿真所需工藝參數(shù)如表1所示。

圖1 上模實圖及模型

圖2 下模實圖及模型

表1 列車工作輪工藝參數(shù)

對此熱鍛成形過程進行數(shù)值仿真，從以下三個工序進行分析：①模擬坯料從加熱爐取出至模具，這10s內(nèi)的熱傳遞過程。這是考慮從加熱爐里取出到鍛造之前，工件和空氣之間存在熱量交換；②模擬坯料停留在下模上，這3s時間內(nèi)與下模的熱傳遞過程；③模擬熱傳遞和金屬變形共同耦合作用下的熱鍛成形過程。

坯料在模具壓力作用下產(chǎn)生鐓粗，金屬沿阻力較小的上端流動到下部的粗段。隨著鍛錘下壓，金屬阻力逐漸增大，金屬不斷被擠入型腔，直至充滿型腔。列車工作輪終鍛成形模型如圖3所示。

圖3 成形鍛件的有效應(yīng)力分布和金屬流動分布云圖

從圖3可以看出，應(yīng)用FEM法對列車工作輪毛坯的熱鍛成形過程進行仿真分析，所得結(jié)果中有效應(yīng)力分布情況及金屬流動規(guī)律與實際鍛件成形結(jié)果相近，驗證了此次仿真的有效性和可行性，熱鍛過程的模擬結(jié)果是可以采用的。但對其仿真結(jié)果進行尺寸分析后發(fā)現(xiàn)，其成形尺寸與實際鍛件要求存在出入，這是由于有限元分析過程中網(wǎng)格畸變后重劃分所造成的誤差。

采用相同條件對無網(wǎng)格EFG法的列車工作輪毛坯熱鍛成形過程進行仿真。圖4為Y方向位移云圖，圖5為X-Z方向位移云圖。

圖4 Y方向應(yīng)力云圖

圖5 X-Z方向位移云圖

從圖中可以看出，在鍛壓過程中，列車輪毛坯內(nèi)側(cè)受到Y(jié)方向的應(yīng)力最大，所以Y方向位移變形量也最大，而充型過程中，車輪外圈由于受到橫向應(yīng)力最大，其橫向變形量也最大。由結(jié)果可看出，仿真過程與生產(chǎn)實際情況相符，EFG法由于不依賴于網(wǎng)格，很好地避免了由于網(wǎng)格畸變而造成的不良影響。

圖6 EFG與FEM內(nèi)能

圖6為兩者內(nèi)能對比，從圖中可以看出，兩種仿真方法所示的能量曲線是比較接近的，在初始階段，內(nèi)能增長較為緩慢，隨著坯料不斷成形，內(nèi)能呈現(xiàn)急劇上升趨勢。圖中可以清晰看出，EFG法仿真所得內(nèi)能的增長幅度和最終值略大于FEM法所得結(jié)果，這是由于EFG法是在全局離散條件下進行計算的，其局部變形導致質(zhì)點間相互作用所得能量疊加，致使總體能量增加幅度變大，其變形的區(qū)域也更大，內(nèi)能便更大。圖7為EFG與FEM沙漏能折線圖，從圖中可以看出，F(xiàn)EM的沙漏能在列車工作輪毛坯變形量較小時，沙漏能呈緩慢線性增長，而當變形量達到一定程度時（1.3s左右），EFG的每步變形量開始比FEM大，當鍛壓時間達到1.8s左右，F(xiàn)EM的沙漏能便開始急劇增加，此時EFG的沙漏能一直為零。這是由于EFG模擬時，背景網(wǎng)格不參與計算，所以不會出現(xiàn)沙漏現(xiàn)象。對比結(jié)果說明EFG模型比FEM模型更加精確和穩(wěn)定。

圖7 EFG與FEM沙漏能

對列車工作輪熱鍛過程進行試驗驗證，并選取D1、D2、D3、H1和H2（圖8）5個重要試驗尺寸參數(shù)與FEM和EFG結(jié)果進行對比，對比結(jié)果如表2所示。

圖8 列車工作輪示意圖

從表2可以看出，EFG與FEM的仿真參數(shù)均在工藝參數(shù)要求范圍內(nèi)，說明此次仿真結(jié)果是正確的。從兩種方法與實際試驗偏差可以看出，EFG的偏差值明顯小于FEM的偏差值，這是由于FEM法在仿真過程中由于網(wǎng)格畸變而需多次劃分網(wǎng)格造成精度下降，而EFG法由于不依賴于網(wǎng)格，所以仿真精度更高。因此，EFG較FEM更精確。

3 結(jié)論

仿真分析結(jié)果表明，EFG法由于其在處理金屬塑性成形問題時，不依賴于網(wǎng)格，沒有沙漏現(xiàn)象，且不需要在計算過程中進行多次網(wǎng)格劃分，通過EFG法及FEM法與試驗零件主要尺寸參數(shù)的對比，驗證了EFG較FEM更加穩(wěn)定和精確，充分說明了EFG法在處理金屬塑性成形問題上的可行性和優(yōu)越性，為列車工作輪的生產(chǎn)研究工作提供了一定參考。

表2 尺寸對比

[1]卿啟湘，李光耀，劉潭玉.棒材拉拔問題的彈塑性無網(wǎng)格法分析[J].機械工程學報，2004，（1）：85-89.

[2]張 雄，劉 巖.無網(wǎng)格法[M].北京：清華大學出版社，2004.

[3]趙國群，王衛(wèi)東.金屬塑性成形過程無網(wǎng)格數(shù)值模擬方法[M].北京：化學工業(yè)出版社，2013.

[4]Chung H J， Belytschko T. An error estimate in the EFG method[J].Computer Mechanical，1998，（21）：91-100.

[5]Lu Y Y，Belytschko T，Tabbara M.Element-free Galerkin methodsforwave propagation and dynamic fracture [J]. Computer Methods Application Mechanical Engineering，1995，（126）：131-153.

[6]Belytschko T，F(xiàn)leming M.Smoothing enrichment and contact in the element-free Galerkin method[J]. Computational Structure，1999，（71）：173-195.

[7]Belytschko T， Krongauz Y， Organ，D， et al. Meshless methods： an overview and recent developments[J].ComputerMethodsin Applied Mechanics and Engineering，1996，139：3-47.

[8]李長生，熊尚武，Rodrigues J.金屬塑性加工過程無網(wǎng)格數(shù)值模擬方法[M].沈陽：東北大學出版社，2004.

[9]Liu GR，Gu YT，王建明，等.無網(wǎng)格法理論及程序設(shè)計[M].濟南：山東大學出版社，2007.

[10]鍛件質(zhì)量分析編寫組.鍛件質(zhì)量分析[M].北京：機械工業(yè)出版社，1983.

Meshless EFG analysis of hot forging problems for train wheel

YANG Yinyun,LIU Hongbin,LIU Xinwei
（Faculty of Mechanical and Electrical Engineering, Kunming University of Science and Technology,Kunming 650504,Yunnan China）

The Galerkin meshless theory and the compact supported trial function weighted residual method theory have been adopted.On the premise of determining the approximate function and the nodes'support domains,the weight function has been built by use of the moving least-square approximation,which can meet the conditions.The Galerkin meshless format has been established on the basis of elastic mechanics control equation.The integral solution has been compared and selected.The suitable method to introduce the trial function's constraint conditions in order to determine the right handle way for boundary conditions has been searched.Thus in this way,the EFG3D elastic-plastic model has been established.The model has been applied into the production study of train wheel forging from some enterprise.The EFG and FEM simulation has been conducted to the whole forming process,including the material parameters and the forging size,etc. By comparison and analysis with the experiment data,the correctness of EFG model and the superiority of EFG method in analysis of hot forming process have been verified.It provides certain reference for practical production study.

Element-free Galerkin Method（EFG）;Finite Element Method（FEM）;Train wheel;Hot forging forming

TG316.4

A

10.16316/j.issn.1672-0121.2016.06.016

1672-0121（2016）06-0060-05

2016-08-02；

2016-09-24

昆明理工大學學生課外學術(shù)科技創(chuàng)新基金資助項目（2015YB017）

楊垠耘（1989-），男，碩士在讀，主攻塑性成形數(shù)值模擬、數(shù)字化設(shè)計與制造等。E-mail：840217459@qq.com