Bloch-Orlicz型空間上積分型算子與復(fù)合算子的乘積*

何忠華， 曹廣福, 何 莉

(1.廣東金融學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東 廣州 510521；2.廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006)

Bloch-Orlicz型空間上積分型算子與復(fù)合算子的乘積*

何忠華1， 曹廣福2, 何 莉2

(1.廣東金融學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東 廣州 510521；2.廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006)

Bloch型空間；Orlicz空間；復(fù)合算子；積分型算子

設(shè)D是復(fù)平面C中的單位圓盤，H(D)表示D上的解析函數(shù)全體。若f∈H(D)且

則稱f(z)為Bloch函數(shù), 其全體記為Β，它在范數(shù)‖f‖|f(0)|+‖f‖Β下成為一個Banach空間[1-2]。函數(shù)f∈H(D)稱為μ-Bloch函數(shù)(記為f∈Βμ)，如果

顯然，若μ(z)=1-|z|2，則Βμ就是Bloch空間。易知，在范數(shù)‖f‖Βμ|f(0)|+‖f‖μ下，Βμ是一個Banach空間。

其中λ>0與f有關(guān)，則稱f(z)是Bloch-Orlicz函數(shù)，其全體記為Βφ。顯然，當(dāng)φ(t)=t(t≥0)時，Βφ就是Bloch空間。不失一般性，我們可以假設(shè)φ-1在(0,∞)上是連續(xù)可微的。事實上，如果φ-1不是處處可微的， 令

從而Βφ=Βψ。由于φ是凸函數(shù)，因此不難驗證

是Βφ的一個半范數(shù)。其中

同時，易知在范數(shù)‖f‖Βφ=|f(0)|+‖f‖φ下，Βφ是一個Banach空間。

設(shè)φ是D到自身的解析映射，定義H(D)上的復(fù)合算子為

到目前為止，用函數(shù)φ的性質(zhì)來刻畫復(fù)合算子的有界性和緊性，已經(jīng)有不少學(xué)者對各種函數(shù)空間的情形做了詳細的研究[4-11]。

對于解析映射g:D→C，H(D)上的積分型算子Jg和Ig分別定義為

和

算子Jg和Ig的重要性從下式可以體現(xiàn)出來

Jgf+Igf=Mgf-f(0)g(0)

其中Mgf=fg是乘子算子。

受文獻[3,12]的啟發(fā)，本文研究復(fù)合算子Cφ和積分型算子Ig的乘積

它們最先在文獻[13]中提出，此后被廣泛研究。文中給出了上述算子在Bloch-Orlicz上的連續(xù)性、下有界性和緊性的刻畫。

1 算子CφIg和IgCφ的連續(xù)性

首先，我們給出證明中需要用到的幾個引理。

引理1[3]對任意f∈Βφ{(diào)0}，有

引理2[3]Bloch-Orlicz空間等距同構(gòu)于μ-Bloch空間，其中

引理3[3]對固定的a∈D，存在fa∈H(D)使得對任意z∈D都有

注1 對任意a∈D，fa如引理3中提到的, 則ha(z)=∫z0fa(s)ds∈Βφ。事實上, 由于

定理1 算子CφIg在Βφ上連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)

證明 令

則對任意f∈Βφ{(diào)0}，由引理2可得

從而由引理1可知‖CφIgf‖φ≤L‖f‖φ，即CφIg在Βφ上連續(xù)。

反之，若CφIg在Βφ上連續(xù)，則對任意f∈Βφ，存在L>0，使得

由引理3可知，對任意a∈D，存在ha∈Βφ，使得‖ha‖φ=1且

于是由CφIg的連續(xù)性可得

從而

即對任意a∈D，有

特別地，令a=φ(z)，則

所以

于是

與定理1類似的證明方法，易得以下結(jié)論。

定理 2 算子IgCφ在Βφ上連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)

2 算子CφIg和IgCφ的下有界性

令

集合G?D稱為Βφ的樣本集，如果存在L>0，使得對任意f∈Βφ有

定理3 設(shè)CφIg是Βφ上的連續(xù)算子，則CφIg是Βφ上的下有界算子當(dāng)且僅當(dāng)存在ε>0，使得Gε=φ(Ωε),是Βφ的樣本集。

證明 若存在ε>0，使得Gε=φ{(diào)Ωε}是Βφ的樣本集，則存在L>0，使得對任意f∈Βφ有

于是

從而CφIg是Βφ上的下有界算子。

反之，若CφIg是Βφ上的下有界算子，則存在K>0，使得對f∈Βφ，‖f‖μ=1有

于是由上確界定義可知，存在zf∈D使得

從而

(1)

而μ(φ(zf))|f′(φ(zf))|≤1，故有

令ε=K/2，則有zf∈Ωε。因為CφIg連續(xù)，所以由定理1可知，存在只與μ和φ有關(guān)的常數(shù)M>0，使得

(2)

于是由式(1)和式(2)可得

又φ(zf)∈Gε，故必有

于是Gε是Βφ的樣本集。

與定理3類似的證明方法，易得以下結(jié)論。

3 算子CφIg和IgCφ的緊性

引理4[12]算子CφIg是Βφ上的緊算子當(dāng)且僅當(dāng)對Βφ中在D的任意緊子集上一致收斂于0的有界序列{fn}，當(dāng)n→∞時,‖CφIgfn‖μ→0。

定理5 算子CφIg是Βφ上的緊算子當(dāng)且僅當(dāng)算子CφIg有界且

證明 充分性。設(shè){fn}是Βφ中的有界序列，且在D的任意緊子集上一致收斂于0，則由引理4可知，只需證當(dāng)n→∞時,有‖CφIgfn‖μ→0。令K=supn‖fn‖μ，則對ε>0，存在r∈(0,1)使得對任意滿足r<|φ(z)|<1的z∈D有

于是當(dāng)r<|φ(z)|<1時有

(3)

C(φ(z))‖φ′(z)|<∞

因此，對ε>0，存在N∈N*，使得當(dāng)n≥N時有

(4)

于是由式(3)和式(4)可得

而{fn}在D的任意緊子集上一致收斂于0，故由上式可得CφIg是Βφ上的緊算子。

必要性。若CφIg是Βφ上的緊算子，則顯然也是連續(xù)的。故若假設(shè)存在ε0>0， 使得對任意r∈(0,1)有

則對給定實數(shù)列{rn}?(0,1)使得當(dāng)n→∞時rn→1，總能找到序列{zn}?D，使得|φ(zn)|>rn且

其中wn=φ(zn)。對n∈N及z∈D，令

其中fwn是引理3中函數(shù)fa當(dāng)a=wn的情形，則{hn}?Βφ。由于

φ-1是滿足φ-1(0)=0的遞增的連續(xù)函數(shù)且

故{hn}是D在的任意緊子集上一致收斂于0的有界序列，且滿足

所以CφIg不是Βφ上的緊算子，與假設(shè)矛盾。

與定理5類似的證明方法，易得以下結(jié)論。

定理6 算子IgCφ是Βφ上的緊算子當(dāng)且僅當(dāng)算子IgCφ有界且

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Products of integral-type operator and composition operator on Bloch-Orlicz type spaces

HEZhonghua1,CAOGuangfu2,HELi2

(1. Department of Applied Mathematics, Guangdong University of Finance, Guangzhou 510521, China;2. School of Mathematics and Information Sciences, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China)

Bloch type space; Orlicz space; composition operator; integral type operator

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.01.008

2015-07-28

國家自然科學(xué)基金資助項目(11501130，11271092)；廣東金融學(xué)院省級數(shù)學(xué)建模教學(xué)團隊資助項目

何忠華(1984年生)，男；研究方向：泛函分析、算子理論和算子代數(shù);E-mail:zhonghuahe2010@163.com

O

A

0529-6579(2016)01-0044-04