基于奇異值分解的慣性測量組合減振系統(tǒng)非線性剛度識別

張鵬飛，蘇華昌，吳家駒

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基于奇異值分解的慣性測量組合減振系統(tǒng)非線性剛度識別

張鵬飛，蘇華昌，吳家駒

（北京強(qiáng)度環(huán)境研究所，北京，100076）

介紹了基于奇異值分解的復(fù)解析小波脊線提取方法，并用仿真算例進(jìn)行了驗(yàn)證。設(shè)計(jì)了基于沖擊響應(yīng)的非線性剛度識別程序。采用半正弦沖擊對慣組減振系統(tǒng)的非線性特性進(jìn)行試驗(yàn)研究，驗(yàn)證了方法的可行性，分析了非線性系統(tǒng)剛度和阻尼的變化規(guī)律。對于非線性特征比較明顯的結(jié)構(gòu)，使用該方法的參數(shù)識別結(jié)果具有較高精度。

非線性剛度；小波變換；奇異值分解；小波脊線

0 引 言

結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析與試驗(yàn)相關(guān)性研究的目的是通過試驗(yàn)結(jié)果修改數(shù)學(xué)模型，然后用修正后的數(shù)學(xué)模型計(jì)算復(fù)雜振動載荷下的響應(yīng)，這對于線性系統(tǒng)來說困難不大。然而，火箭和航天器實(shí)際上呈現(xiàn)出某種程度的非線性品質(zhì)[1]。非線性可能是由結(jié)構(gòu)（端頭快速連接）、幾何（飛船的支撐機(jī)構(gòu)）和材料性質(zhì)（阻尼減振器）等因素造成的。雖然業(yè)內(nèi)已有許多非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析軟件，但是大多數(shù)都需要知道特征化的非線性特征。因此，通過試驗(yàn)識別結(jié)構(gòu)非線性特征是一個亟待解決的問題。

慣性測量組合（慣組）是測量導(dǎo)彈運(yùn)動姿態(tài)的裝置。為了提高慣組在振動環(huán)境中的適應(yīng)性，經(jīng)常將慣性敏感器件通過橡膠減振器連接到載體上[2]。慣組小系統(tǒng)頻響特性測量結(jié)果表明，這個彈性環(huán)節(jié)呈現(xiàn)出很強(qiáng)的非線性。圖1為實(shí)測的慣組角振動傳遞率隨頻率的變化曲線，其傳遞率特征隨激勵量級的變化很大，系統(tǒng)的增益和諧振頻率隨激勵量級下降，這表明系統(tǒng)呈現(xiàn)出含有漸軟剛度的非線性特征。

圖1 慣組減振系統(tǒng)角振動傳遞率

目前，對于減振器非線性剛度的識別，多是基于靜剛度或正弦定頻試驗(yàn)的剛度曲線，使用最小二乘原理進(jìn)行擬合[3,4]。然而減振器使用環(huán)境多數(shù)存在沖擊載荷，在更接近真實(shí)使用環(huán)境下對非線性參數(shù)的識別結(jié)果更加適用。本文基于非線性減振系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)，給出了基于復(fù)解析小波和奇異值分解的非線性剛度識別方法，識別出剛度-載荷曲線，并用含橡膠減振器的慣組試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)論對于慣組減振器系統(tǒng)非線性參數(shù)識別和建模具有一定的參考價值。

1 基于奇異值分解的復(fù)解析小波脊線提取法

非線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)具有非平穩(wěn)信號特征。小波脊線能較好地揭示信號瞬時頻率的變化情況。復(fù)解析小波變換將小波變換和Hilbert變換緊密結(jié)合在一起，具有一定的自適應(yīng)分析能力。通過復(fù)函數(shù)連續(xù)小波變換得到小波尺度譜后，使用奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）方法降噪，然后通過求小波系數(shù)的模極大值點(diǎn)來提取小波脊線[5~7]。該方法更加適用于試驗(yàn)獲得的低信噪比信號的小波脊線提取。

復(fù)解析小波函數(shù)具有如下的表達(dá)形式：

（3）

式中

（5）

（7）

由小波變換的定義可知，小波變換相當(dāng)于一系列帶通濾波器對信號進(jìn)行多帶通濾波，帶通濾波器的中心頻率和帶寬與尺度成反比，且?guī)掚S中心頻率的變化自動調(diào)節(jié)，體現(xiàn)了對信號的自適應(yīng)分析能力。復(fù)解析小波變換實(shí)現(xiàn)了信號帶通濾波和Hilbert變換的統(tǒng)一，自適應(yīng)地提取信號的包絡(luò)等特征。

小波尺度譜可定義為

在某一時刻小波系數(shù)的最大值滿足

（9）

當(dāng)取不同的值，所有的最大值點(diǎn)的集合形成了小波脊線。理論上可以通過直接求出時頻面上每一時刻小波系數(shù)的模極大值來獲得信號中各分量對應(yīng)的小波脊線，這是最簡單的一種脊線提取方法，但極易受到噪聲干擾，因此不適合工程應(yīng)用。

SVD是一種常用的時頻濾波方法，可用于消除信號中的隨機(jī)噪聲成份，提取信號中的周期成份[9]，本文選取該方法對小波尺度譜進(jìn)行降噪。設(shè)矩陣表示信號的小波尺度譜，在奇異值理論中，秩為的×階矩陣的奇異值分解可表示為

式中和分別是×階和×階正交矩陣，=diag（σ1，σ2，…，σ，0，0，…，0）是×階對角矩陣，其對角元素為的奇異值，并按降序排列。根據(jù)Frobeious范數(shù)意義下矩陣最佳逼近定理，信號在小波域中有用的信號主要由前個較大的奇異值反映，噪聲信號由后面較小的奇異值反映，去掉代表噪聲信號的較小奇異值，則源信號中的噪聲被去除。為了確定有用的奇異值，首先定義奇異值σ所占能量比重為

（11）

然后，給定一個閾值，將滿足r<(=1，…，)的奇異值置零，再進(jìn)行奇異值分解的逆運(yùn)算，最終得到矩陣，那么矩陣就是矩陣的秩為的最佳逼近矩陣，就是降噪后的小波尺度譜。

對小波尺度譜進(jìn)行SVD濾波后，就可以通過選取各個時刻小波系數(shù)模極大值點(diǎn)對應(yīng)的尺度來提取小波脊線。

2 仿真算例

為了驗(yàn)證復(fù)解析小波及其脊線提取方法在非平穩(wěn)信號處理中的先進(jìn)性，取仿真信號進(jìn)行試驗(yàn)。仿真信號由下式給出：

式中()是方差為1的白噪聲，[0，1]。

圖2 信號f(t)的時域波形

a）直接模極大值法

b）基于SVD的復(fù)解析小波模極大值法

圖3 不同方法所得()小波脊線的對比

3 非線性剛度識別

3.1 非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)圖1中所表現(xiàn)出來的慣組減振器系統(tǒng)的非線性特征，本文對減振器采用立方剛度模型表征。這種情況下，力-位移關(guān)系具有以下形式[10]：

（14）

式中為質(zhì)量；為阻尼系數(shù)。

3.2 非線性剛度識別程序設(shè)計(jì)

對于式（14），采用諧波平衡法求解，可以得到頻率和振動幅值間存在如下的關(guān)系：

根據(jù)式（15），當(dāng)已知質(zhì)量時，根據(jù)自由衰減信號的小波脊線提取的頻率和幅值信息，采用最小二乘原理可以識別出和。對于粘性阻尼，自由衰減信號存在指數(shù)形式的包絡(luò)曲線：

（16）

非線性剛度的識別程序可以匯總為：

a）用敲擊法或基礎(chǔ)激勵法測得系統(tǒng)的加速度自由衰減時間歷程；

b）用數(shù)字積分獲得位移自由衰減時間歷程；

c）連續(xù)復(fù)解析小波變換；

d）SVD濾波降噪；

e）取小波系數(shù)模極大值得到脊線；

f）從脊線計(jì)算瞬時頻率的包絡(luò)；

g）由衰減包絡(luò)擬合得到的曲線識別出非線性參數(shù)值。

4 實(shí)際信號分析

用包含橡膠減振器的慣組來檢驗(yàn)上述方法。慣組通過橡膠減振器連接在振動平面上，電動振動臺對振動平臺施加半正弦沖擊激勵。振動控制點(diǎn)在振動平面上，慣組上安裝加速度傳感器測量減振后信號，試驗(yàn)原理如圖4所示。圖5為實(shí)測的慣組減振后加速度自由衰減時間歷程。

在Matlab軟件中使用數(shù)字積分法對加速度信號進(jìn)行積分，獲得位移的自由衰減時間歷程。初始速度和初始位移的影響可通過離散小波變換消除積分結(jié)果中的直流分量和趨勢項(xiàng)來消除。對位移信號進(jìn)行連續(xù)小波變換得到小波尺度譜，并選取每個時刻下小波系數(shù)模的最大值，得到如圖6所示的小波尺度譜的等高線和脊線。

圖4 慣組基礎(chǔ)激勵試驗(yàn)原理

圖5 自由衰減時間歷程

圖6 小波尺度譜的等高線和脊線

由于信號噪聲較大，提取到的脊線不光滑。通過SVD法對時頻譜進(jìn)行降噪，閾值取0.02，降噪后的小波尺度譜等高線和脊線如圖7所示。SVD降噪后脊線光滑，準(zhǔn)確反映了瞬時頻率隨時間的變化。

圖7 SVD降噪后的小波尺度譜等高線和脊線

對位移自由衰減信號進(jìn)行Hilbert變換后獲得其幅值包絡(luò)曲線，結(jié)合小波脊線得到瞬時頻率隨振動幅值變化的曲線，如圖8所示。取固定時間間隔為0.1 s，隨著的平移，計(jì)算出結(jié)構(gòu)粘性阻尼隨時間的變化函數(shù)，進(jìn)而得到阻尼比關(guān)于振動幅值的函數(shù)，如圖9所示。

圖8 瞬時頻率隨振動幅值的變化

圖9 阻尼系數(shù)隨振動幅值的變化

根據(jù)式（15），進(jìn)一步得到如下關(guān)系：

式中為采樣點(diǎn)數(shù)。

將圖8中的頻率和幅值代入式（17），得到最小二乘意義下的剛度和。從該組試驗(yàn)數(shù)據(jù)識別出慣組減振系統(tǒng)的線性剛度=5.66×106N/m，立方剛度=-1.68×1013N/m3。

試驗(yàn)的識別結(jié)果表明橡膠減振器符合漸軟系統(tǒng)的非線性特征：隨加載量級加大剛度變小，阻尼增大。根據(jù)沖擊響應(yīng)識別出的非線性剛度特征與文獻(xiàn)[3]中使用定頻激勵法的結(jié)果規(guī)律一致。根據(jù)識別出的頻率和阻尼特性，可以擬合出結(jié)構(gòu)的非線性頻響函數(shù)隨不同加載量級的分布，如圖10所示。從圖10可以看出，隨著加載量級的增加，結(jié)構(gòu)的共振頻率降低，共振幅值降低，這與圖1中的試驗(yàn)結(jié)果規(guī)律一致。為了驗(yàn)證參數(shù)識別的精度，將上述識別出的非線性剛度參數(shù)代入式（14）中，使用4階Runge-Kutta法得到相同激勵下的響應(yīng)曲線，并與實(shí)測曲線進(jìn)行對比，如圖11所示。從圖11中可見，實(shí)測曲線與計(jì)算曲線符合很好，說明識別出的和具有較高精度。

圖10 擬合后的非線性頻響函數(shù)

圖11 實(shí)測與計(jì)算結(jié)果對比

5 結(jié) 論

本文在電動振動臺上模擬沖擊使用環(huán)境，對慣組減振系統(tǒng)的非線性特性進(jìn)行研究，主要得到以下結(jié)論：

a）利用基于SVD的復(fù)解析小波脊線提取方法，準(zhǔn)確地得到減振后自由衰減信號的時頻分布。試驗(yàn)表明SVD法能有效降低噪聲的影響，有利于準(zhǔn)確提取小波脊線，進(jìn)而得到慣組減振系統(tǒng)的頻率-幅值曲線。

b）根據(jù)慣組減振系統(tǒng)的傳遞特性試驗(yàn)數(shù)據(jù)所表現(xiàn)的特點(diǎn)，建立了軟特性三次剛度動力學(xué)模型?？紤]到減振器的使用環(huán)境多數(shù)存在沖擊載荷，設(shè)計(jì)了基于沖擊響應(yīng)的非線性剛度識別程序。

c）使用慣組減振系統(tǒng)半正弦沖擊試驗(yàn)的自由衰減數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性參數(shù)識別，驗(yàn)證了模型和識別方法的有效性。分別在頻域和時域?qū)?shù)識別結(jié)果與試驗(yàn)進(jìn)行對比，表明非線性剛度識別具有較高的精度。研究結(jié)果對于慣組減振器系統(tǒng)非線性參數(shù)識別和建模具有一定的參考價值。

[1] 李欣業(yè), 陳予恕, 張琪昌. 火箭非線性動力學(xué)行為研究中的若干問題[J]. 河北工業(yè)大學(xué)學(xué)報, 2001, 30(6): 74-78.

[2] 姚建軍. 捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)不同隔振模式的比較[J]. 強(qiáng)度與環(huán)境, 2009, 36(2): 19-27.

[3] 樊文欣, 楊桂通, 趙俊生, 李雙虎. 金屬橡膠減振器非線性建模及仿真研究[J]. 車用發(fā)動機(jī), 2009(5): 53-56.

[4] 韓德寶, 宋希庚, 薛冬新. 橡膠減振器非線性動態(tài)特性的試驗(yàn)研究[J]. 振動工程學(xué)報, 2008, 12(1): 102-106.

[5] Staszewski W J. Identification of non-linear systems using multi-scale ridges and skeletons of the wavelet transform[J]. Journal of Sound and Vibration, 1998, 214(4): 639-658.

[6] 吳宏鋼, 秦毅, 秦樹人. 基于重分配配算法和奇異值分解的多小波脊線提取[J]. 振動與沖擊, 2009, 28(12): 9-14.

[7] Brenner M. Nonstationary dynamics data analysis with wavelet-SVD filtering[R]. AIAA-2001-1586, 2001.

[8] 張家凡, 易啟偉, 李季. 復(fù)解析小波變換與振動信號包絡(luò)調(diào)解分析[J]. 振動與沖擊, 2010, 29(9): 93-96.

[9] 錢征文, 程禮, 李應(yīng)紅. 利用奇異值分解的信號降噪方法[J]. 振動、診斷與測試, 2011, 31(4): 459-463.

[10] 陳前, 高雪. 結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的非線性問題[M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2012.

Identification of Nonlinear Stiffness of Inertial Measurement Unit with Vibration Absorber System Based on Singular Value Decomposition

Zhang Peng-fei, Su Hua-chang, Wu Jia-ju

(Beijing Institute of Structure and Environmen Engineering, Beijing, 100076)

Wavelet ridge extracting method based on singular value decomposition(SVD) was introduced. A numerical example was actualized to validate the method. Programs of identifying nonlinear stiffness based on impulse response were designed. The experiment of inertial measurement unit with rubber vibration absorber under the load of half sine pulse was conducted to validate the feasibility of the method. The changing regularities of nonlinear stiffness and damp were analysed. Using this method, the parameter identified results are high precise to nonlinear system.

Nonlinear stiffness; Wavelet transformation; Singular value decomposition; Wavelet ridge curve

1004-7182(2016)03-0068-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20160316

V214

A

2015-06-10；

2015-08-03

張鵬飛（1986-），男，工程師，主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)動力學(xué)