彈道式再入飛行器零射程線技術研究

熊 偉，宋劍爽，張艷玲，王 智，豐 海

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彈道式再入飛行器零射程線技術研究

熊 偉，宋劍爽，張艷玲，王 智，豐 海

（北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076）

在介紹了零射程線基本概念的基礎上，提出了3種常用的零射程線工程算法，并基于其中的迭代方法，采用彈道仿真手段，分析了影響零射程線方向的主要因素，給出了零射程線技術的應用途徑，并對零射程線技術后續(xù)研究方向進行了展望。

彈道式再入飛行器；零射程線；彈道計算；仿真

0 引 言

對于彈道、制導設計而言，零射程線是一個非常重要的概念，具有廣泛的應用價值。所謂零射程線是指當沿該方向對再入飛行器施加速度增量時，不影響再入飛行器的最終落點。

圖1為零射程線方向示意，經過推進點A點和目標點的慣性彈道可以有無數條，圖中給出其中的2條。其中的彈道1和彈道2在A點的差異僅僅是速度矢量不同，彈道1在A點對應的速度矢量為1，彈道2在A點對應的速度矢量2。

圖1 零射程線方向示意

假設彈道1表示的是地面設計好的標準命中彈道，實際飛行時只要在A點給再入飛行器一個速度增量Δ，使再入飛行器在A的速度矢量從1改變?yōu)?，此時再入飛行器將沿著彈道2飛行，依然能命中目標點，但是其飛行軌跡（彈道）已經和原來的標準命中彈道（彈道1）截然不同，所需飛行時間、再入彈道傾角、再入速度也和原來彈道不相同。速度增量Δ僅僅改變了再入飛行器的被動段慣性彈道，并沒有改變再入飛行器最終落點，因此，Δ的方向就是零射程線方向。對于數值大小相等的速度增量Δ，通常零射程線方向有2個，即圖1所示的方向和其反方向。

1 零射程線方向的常用計算方法

目前，零射程線方向可通過解析法[1]、偏導數法[2,3]和迭代法等幾種方法進行計算，每種方法都有各自的特點。

1.1 解析法

解析法求解零射程線方向是以橢圓軌道理論為基礎，忽略地球攝動、再入段空氣阻力影響，利用被動段射程解析解，在軌道平面內求解確保射程不變的速度增量方向。具體求解方法在文獻[1]中有詳細說明，本文僅給出最終的零射程線方向計算公式：

在不考慮姿態(tài)控制偏差的前提下，可得到零射程線方向與發(fā)射慣性坐標系a軸方向夾角：

解析法求解零射程線方向，算法簡單，計算效率高。但由于該方法沒有考慮地球自轉的影響，且該解析公式主要是基于一階泰勒展開推導得到，略去了高階導數項，存在一定的截斷誤差，因此其求解精度不是很高。為了得到高精度的零射程線方向解析解，則需要考慮地球自轉以及地球形狀的影響，同時兼顧高階項，重新進行數學推導，此過程將非常繁瑣復雜，并且得到的解析公式也非常復雜，具有一定的局限性，難以應用于工程實際。

1.2 偏導數法

偏導數法是利用射程對速度的偏導數求解零射程線方向，具體計算過程及原理如下。

射程對速度偏導數可以采用矢量表示為

（4）

零射程線要保證落點相對原落點的縱橫向偏差均為零，應滿足偏導數與速度增量的點乘結果為零，即：

（6）

采用偏導數法計算零射程線方向，計算精度相對解析法有所提高，但是因需計算射程對3個方向速度的偏導數，需計算3條彈道，計算量有所增加。

1.3 迭代法

迭代法是基于彈道迭代[4]的思想，通過選取合適的迭代算法進行零射程線方向的求取。在再入飛行器飛行過程中，速度增量引起的射程變化與速度增量的方向有關。圖2描述了對再入飛行器在主動段結束后繼續(xù)飛行100 s時施加某個固定的速度增量引起的射程變化隨速度增量作用方向（箭體軸向方向，對于質點彈道還指俯仰程序角方向）的變化關系。若不施加該速度增量，再入飛行器的名義射程為1 209 km。從圖2中可看出，再入飛行器射程（射程減去1 209 km即為落點偏差）隨速度增量作用方向變化曲線為單峰曲線，且規(guī)律性很好。因此可以以速度增量作用方向為變量，以落點偏差為零作為目標進行牛頓迭代，通過迭代能夠得到精度很高的零射程線方向，但該方法需進行多次數值積分彈道計算[5]，計算效率較低。

圖2 射程隨速度增量方向（俯仰程序角）變化曲線

解析法、偏導數法和迭代法3種方法都能夠得到零射程線方向，但其精度和計算效率不同。為確保計算精度和效率都滿足要求，工程上可以將解析法與迭代法結合起來，以解析法得到的方向作為初值進行迭代，既能保證解算精度又能夠提高迭代的效率，以下進行彈道仿真計算分析時均采用該迭代方法來求解零射程線方向。

2 零射程線方向的主要影響要素分析

零射程線方向的主要影響要素有以下3點：

a）與再入飛行器所處的位置以及速度有關。

根據第1.1節(jié)講述的近似解析公式，零射程線方向與再入飛行器所處的位置以及速度直接相關。即對于1條已經確定的彈道，當再入飛行器處于該彈道的不同位置時，其零射程線的方向也是不同的。圖3為再入飛行器按典型慣性彈道（即400 km射程對應的慣性彈道和1 200 km射程對應的慣性彈道）飛行時，在主動段關機后，零射程線方向隨飛行時間（計時零點為主動段關機點）的變化曲線。從圖3中可以看出，零射程線方向與飛行時間有近似的線性關系。

圖3 零射程線方向隨飛行時間變化曲線

b）與再入飛行器的射程以及射向有關。

圖4描述了再入飛行器進行典型慣性彈道飛行時，在不同射程、不同射向條件下零射程線方向隨射向變化規(guī)律。從圖4可以看出，在再入飛行器產品參數和射程確定的情況下，零射程線方向隨射向變化規(guī)律近似為正/余弦關系，規(guī)律性較好，有利于快速迭代收斂。

圖4 不同射程零射程線方向隨射向變化曲線

c）與地球形狀及引力場、再入氣動力有關。

如第1節(jié)所述，零射程線方向的計算精度取決于再入飛行器質心運動彈道計算模型的精確程度。由于再入飛行器飛行全過程始終受到地球引力的影響，且在再入飛行段受到氣動力的作用，地球形狀及引力場、再入氣動力這些影響質心運動的要素必然對零射程線方向計算精度存在一定的影響。經過數值仿真分析，地球擾動引力及再入氣動力這兩大要素對彈道式再入飛行器理論落點航程的影響約為數百米至數公里，不是主要影響因素，因此其對零射程線的計算精度影響有限，這也驗證了在采用解析法推導零射程線方向時忽略地球攝動、再入段空氣阻力影響的合理性。

3 姿態(tài)控制系統(tǒng)對零射程線技術應用的影響

射程隨速度增量作用方向變化曲線為單峰曲線（見圖2），若該曲線嚴格連續(xù)且單調，則基于該曲線的零射程線方向迭代（牛頓迭代）能快速、高精度獲得，并對迭代初值不敏感；反之，如果該曲線單調連續(xù)性不好或者局部較差，則會影響零射程線的迭代速度及精度。在質點彈道設計時，不需要考慮姿態(tài)控制系統(tǒng)對質心運動的影響，且認為不存在姿態(tài)控制偏差，可嚴格控制速度增量作用方向與零射程線方向保持一致，此時圖2的單峰曲線具有較好的單調連續(xù)性。

再入飛行器實際飛行中，姿態(tài)控制系統(tǒng)通常存在一定的姿態(tài)控制偏差，通過設計飛行程序角將速度增量作用方向嚴格對準零射程線方向的難度大幅增加，圖2的單峰曲線局部單調連續(xù)性將變差。

圖5為考慮姿態(tài)控制系統(tǒng)實際作用過程的剛體彈道計算模型下，單峰曲線（射程與俯仰程序角關系曲線）在零射程線方向（對應的俯仰程序角約-78°）附近的局部規(guī)律。從圖5可知，該曲線在局部有較多毛刺或鋸齒，非嚴格的單調連續(xù)。該毛刺或鋸齒的幅值在幾十米到公里級。此時采用牛頓迭代法去迭代零射程線方向對應的俯仰程序角時，所使用的迭代步長不宜過小，否則將會使得迭代反復震蕩而無法收斂到期望的精度范圍。

圖5 剛體彈道射程（縱向落點偏差）隨俯仰程序角變化局部關系

為進一步說明姿態(tài)控制系統(tǒng)控制精度對零射程線技術應用（即設計對應的飛行程序角）的影響，通過假設姿態(tài)控制系統(tǒng)姿態(tài)控制精度依次取無偏差、0.1°跟蹤系統(tǒng)差、0.4°跟蹤系統(tǒng)差3種情況進行剛體彈道仿真計算驗證，仿真計算結果如圖6~8所示。

圖6 姿控系統(tǒng)無姿態(tài)跟蹤偏差時射程與俯仰程序角方向關系

圖7 姿控系統(tǒng)始終存在+0.1°姿態(tài)跟蹤偏差時射程與俯仰程序角方向關系

圖8 姿控系統(tǒng)始終存在+0.4°姿態(tài)跟蹤偏差時射程與俯仰程序角方向關系

由圖6～8可知，姿態(tài)控制系統(tǒng)控制精度越差，造成的鋸齒毛刺幅值越大，單峰曲線不連續(xù)單調區(qū)間段越多。通常姿控系統(tǒng)在工程實現(xiàn)時不可能完全沒有姿態(tài)跟蹤偏差，因此，對于剛體彈道的單峰曲線會出現(xiàn)一定幅度的毛刺，迭代求解零射程線方向對應的飛行程序角時，會出現(xiàn)反復震蕩難以收斂的情況，此時迭代步長要適當增大，進行變步長迭代。

4 零射程線技術的應用

零射程線的概念提出較早，其工程應用也越來越廣泛，主要包括：

a）固體再入飛行器主動段的制導。為了盡可能提高最大射程，固體再入飛行器主動飛行段普遍采用耗盡關機方式以取消推力終止系統(tǒng)[6]。此時，對于最大射程以外的其它射程情況，再入飛行器主動段的能量有富余，如果主動段狀態(tài)滿足關機條件但發(fā)動機燃料尚未耗盡，可以將再入飛行器姿態(tài)調整到零射程線方向，直至發(fā)動機完全關機[3]，以消耗完多余的發(fā)動機能量。

b）末修級標準程序設計。通常再入飛行器為了提高落點精度，需要采用液體末修級來修正實際飛行時主動段的彈道偏差。然而在設計標準彈道時不考慮飛行過程中的干擾或偏差，且末修級標準程序設計時往往有最小推進劑消耗的要求，在這種情況下，末修級標準程序應沿零射程線方向[2]。

c）多再入飛行器協(xié)同落入同一區(qū)域的彈道設計。在多再入飛行器協(xié)同飛行并需要落入同一區(qū)域的情況下，再入飛行器母艙可在不同飛行時刻沿零射程線方向進行多個再入飛行器的拋撒釋放，既可避免不同再入飛行器間潛在的相互碰撞摧毀的可能性，還可確保所有協(xié)同飛行的再入飛行器均落入到同一區(qū)域。

d）最優(yōu)再入機動能量方向求解。對于具備在飛行中段進行主動機動的再入飛行器，將推力按最優(yōu)再入機動能量方向作用可使再入機動能力最大化，最大程度地節(jié)省燃料，控制再入飛行器的整體規(guī)模。而最優(yōu)再入機動能量方向與零射程線方向通常具有垂直關系，因此通過求解零射程線方向來間接獲得最優(yōu)再入機動能量方向。

e）末級艙體處理。通常末級艙體在將再入飛行器釋放完成后，需要進行艙體處理，使其與再入飛行器拉開一定的距離，不干擾地面對再入飛行器的測量效果，同時艙體殘骸能落到指定的安全區(qū)域內，不造成人員傷亡或財產損失。末級艙體處理時沿零射程線推進，直至推進劑耗盡是一個比較好的艙體處理方案，該方案既可避免重新選擇新的落區(qū)，也可通過改變彈道形狀將再入飛行器與末級艙體在空間拉開一定的距離而不影響地面測量。

5 結束語

本文對零射程線的原理進行了簡單闡述，給出了3種常用的工程計算方法，并采用彈道數學仿真手段分析了影響零射程線方向的主要因素，提出了零射程線技術的應用方向，為實際的工程應用提供了一定的技術基礎。后續(xù)可針對考慮地球旋轉條件下，深入開展零射程線方向的快速、高精度解析方法研究[7]，以解決零射程線計算效率與計算精度的矛盾，滿足實際的工程任務需求。此外，通過神經網絡等模型代理的方法來快速構建零射程線方向與其主要影響因素之間的非線性映射關系，進而提高零射程線方向求解精度也是重要的研究方向。

[1] 陳磊. 戰(zhàn)術彈道導彈中段多彈頭進攻方法的研究[J]. 航天控制, 2000(2): 1-4, 11.

[2] 鄭偉. 彈道導彈零射程線及其應用[J]. 飛行力學地球物理攝動因素對遠程彈道導彈命中精度的影響分析及補償方法研究, 2008, 26(4): 73-76.

[3] 馬瑞萍. 一種基于零射程線的閉路制導方法[J]. 彈箭與制導學報, 2010, 3(5): 43-46.

[4] 馬丹山. 彈道導彈的標準彈道迭代方法研究[J]. 飛行力學, 2007, 25(4): 48-49.

[5] 賈沛然. 遠程火箭彈道學[M]. 長沙: 國防科技大學出版社, 1994.

[6] 廖洪昌, 陳奇昌, 王明海. 耗盡關機閉路制導導引方法研究[J]. 彈道與制導學報, 2006, 27(2): 35-38.

[7] 鄭偉. 地球物理攝動因素對遠程彈道導彈命中精度的影響分析及補償方法研究[D]. 長沙: 國防科技大學, 2006.

Research on Zero-Range Orientation and Applications of Ballistic Reentry Vehicles

Xiong Wei, Song Jian-shuang, Zhang Yan-ling, Wang Zhi, Feng Hai

(Beijing Institute of Aerospace Systems Engineering, Beijing, 100076)

On the basis of introducing the basic concept of zero-range orientation, three commonly used engineering algorithms were proposed. Aiming at the iteration algorithm, the main factors affecting the zero-range orientation by the trajectory simulation was analyzed, and applying field of zero-range orientation was put forward.

Ballistic reentry vehicles; Zero-range orientation; Trajectory calculation; Simulation

1004-7182(2016)03-0001-04

10.7654/j.issn.1004-7182.20160301

V412

A

2015-03-02；

2015-07-22

熊 偉（1981-），男，工程師，主要研究方向為軌道設計