一個(gè)(2+1)
——維非線性微分方程的精確解

□張瀚文 呂 娜 隋佳辰

（大連民族大學(xué)理學(xué)院 遼寧 大連 116600）

一個(gè)(2+1)
——維非線性微分方程的精確解

□張瀚文 呂 娜 隋佳辰

（大連民族大學(xué)理學(xué)院 遼寧 大連 116600）

本文主要研究一個(gè)(2+1)——維非線性微分方程精確求解的問題。借助于符號計(jì)算軟件Maple，分別利用Ricaati方程法，Exp函數(shù)法以及Tanh函數(shù)方法求得了一個(gè)非線性微分方程的精確解。

精確解；孤子理論；非線性微分方程

在非線性科學(xué)領(lǐng)域中的各種動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，往往可以歸結(jié)為非線性微分方程。由于這些非線性微分方程能夠合理地解釋相關(guān)的自然現(xiàn)象和性質(zhì)，因而一直備受數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的青睞。目前非線性微分方程被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，包括流體力學(xué)、海洋沖擊波、非線性光學(xué)、離子體物理、分子生物學(xué)等等，所以對于非線性微分方程的研究無疑將會(huì)推動(dòng)科學(xué)的發(fā)展。

本文將利用三種方法，Ricaati方程法 [1]，Exp函數(shù)法[2,3]和Tanh函數(shù)法[4]對以下方程進(jìn)行求解

其中u=u(x,y,t),b是常數(shù)，下標(biāo)表示偏導(dǎo)數(shù)。

1 基于 Ricaati方程法求解

首先我們利用Riccati方程法來求解方程（1），設(shè)方程（1）的行波解為

其中k,m,n是常數(shù)。將（2）式代入方程（1），則得到如下的非線性常微分方程

現(xiàn)在尋找方程（3）具有如下形式的解：

其中αi是稍后確定的任意常數(shù)，Φ滿足Riccati方程：

其中r是常數(shù)。平衡方程（3）中最高階線性項(xiàng)v""與最高階非線性項(xiàng)v'2，易知m=2，因此

將（5）和（6）式代入方程（3），使得φi(i=0…6)的系數(shù)等于零，可以得到關(guān)于α0,α1,α2,k,m,l的方程組，借助Maple可以求得該方程組的解：

在文獻(xiàn)[1]中，Riccati方程（5）具有如下形式的解：

其中ζ=kx+ly+mt。

結(jié)合（7）和（8），我們得到方程（1）的精確解為：

2 基于Exp函數(shù)方法求解

將方程（1）化為方程（3），考慮方程（3）具有如下形式的精確解

其中αi,bi(i=0,1,2)是稍后確定的任意常數(shù)，基于文獻(xiàn)[5]，經(jīng)過直接的計(jì)算我們可以得到，

將（11）式代入方程（10）中即可得出方程（1）的精確解。

3 基于Tanh函數(shù)方法求解

考慮方程（3）具有如下形式的精確解：

將（12）式代入方程（3）中，利用Maple求得：

將（13）式代入方程（3）中，得到原方程的解為：

結(jié)束語

本文基于Ricaati方程法，Exp函數(shù)法和Tanh函數(shù)法研究了一個(gè)(2+1)——維非線性微分方程，并給出了該方程豐富的精確解。這三個(gè)方法對于求解非線性微分方程十分有效，能夠幫助科學(xué)家們研究波的傳播規(guī)律，同時(shí)為檢驗(yàn)數(shù)值解提供了思路。

[1]X.Q.Zhao,D.B.Tang,A new note on a homogeneous balance method,Phys.Lett.A 297(2002),59-67.

[2]J.H.He,L.N.Zhang,Generalized solitary solution and compacton-like solution of the Jaulent-Miodek equations using the Exp-function method,Phys.Lett. A372(2008)1044-1047.

[3]J.H.He,X.H.Wu,Exp-function method for nonlinear wave equations,Chaos Solitons and Fractals 30(2006) 700-708.

[4]范恩貴.可積系統(tǒng)與計(jì)算機(jī)代數(shù)[M].科學(xué)出版社，2004.

[5]N.Lv,J.Q.Mei,H.Q.Zhang,New Explicit Solutions for(3+ 1)-dimensional Kadomtsev-Petviashvili(KP)Equation, 11(2011)506-512.

1004-7026（2016）17-0079-01

O572.23

A

10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2016.17.062

大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（編號：S201612026051）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（D C201502050403）。