Lagrange乘數(shù)法速解一類高考題

◎丁揚愷

(浙江省柯橋中學(xué),浙江 紹興 312030)

Lagrange乘數(shù)法速解一類高考題

◎丁揚愷

(浙江省柯橋中學(xué),浙江 紹興 312030)

本文通過引入Lagrange函數(shù)，解決了高考真題及調(diào)研題中一類多元函數(shù)的最值問題，再分別細化到二元參數(shù)單約束條件和雙約束條件下的最值，歸納通性解法，拓寬了解題思路.

Lagrange函數(shù)；單約束條件；雙約束條件；最值

在高考復(fù)習(xí)當中，不等式的最值問題常常是眾多老師凝注的焦點，試圖尋找通解法.簡單的一元不等式最值常采用放縮或是構(gòu)造函數(shù)，但基于二元函數(shù)的最值，如果不能單純地利用條件變雙變元為單變元，則需要比較高的構(gòu)造技巧.筆者鑒于此引入高等數(shù)學(xué)中Lagrange乘數(shù)法，雖然涉及偏導(dǎo)數(shù)的知識，但對于基礎(chǔ)好的學(xué)生來說并不難理解，在“高觀點”下對于學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽或是解答高考填空題大有裨益.本文以Lagrange函數(shù)為依托，試圖解決高考中一類多變量下的最值問題，希望能引起廣大讀者的共勉.

Lagrange乘數(shù)介紹：在關(guān)系式：φi(p)=0(i=1,…,m;m

一、二元參數(shù)單約束條件下的最值問題

若改成Lagrange乘數(shù)，注意到條件極值2a+b=3ab，目標函數(shù)為4ab+2，只需構(gòu)造L(a,b)=4ab+2+λ(2a+b-3ab).

例2 (2015寧波期末)若正數(shù)x,y滿足x2+4y2+x+2y=1，則xy的最大值為________.

該題是2011年·浙江卷·理16改編，如果采用構(gòu)造Lagrange函數(shù)得：

L(x,y)=xy+λ(x2+4y2+x+2y-1).

?(2x+y-1)(x-2y)=0.

二、單參數(shù)雙約束條件下的最值問題

例4 (2014浙江高考文科)已知實數(shù)a,b,c,滿足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,則a的最大值________.

該問題是兩個約束條件下的最值問題，故可構(gòu)造L(a,b,c)=a-λ(a+b+c)-μ(a2+b2+c2-1).

欲使|2a+b|最大時，即(2a+b)2最大，構(gòu)造Lagrange函數(shù)：

L(a,b)=(2a+b)2-λ(4a2-2ab+4b2-c).

代入4a2-2ab+4b2-c=0，得c=10b2.

通過以上兩大類高考及調(diào)研試題分析，我們可以體會到在多元最值求解中，利用Lagrange乘數(shù)法具有同解性，可以有效回避不等式中復(fù)雜的思維過程和代數(shù)變形，希望能給讀者帶來啟示.

[1]丁揚愷.一題引發(fā)的背景、變式及推廣[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2015(12).

[2]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]甘志國.初等數(shù)學(xué)研究(下)[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009.