知識與能力并駕 思想與經(jīng)驗齊驅(qū)
——“一元二次方程的解法”教學案例與反思

◎胡 珺

(南京市中華中學，南京 秦淮 210006)

知識與能力并駕 思想與經(jīng)驗齊驅(qū)
——“一元二次方程的解法”教學案例與反思

◎胡 珺

(南京市中華中學，南京 秦淮 210006)

一、問題提出

“一元二次方程的解法”是“一元二次方程”這一章的核心內(nèi)容.從教材上看，本節(jié)內(nèi)容分別研究了“直接開平方法”“配方法”“公式法”以及“因式分解法”.

在此之前學生已經(jīng)掌握了一元一次方程、二元一次方程組、分式方程的解法，其中二元一次方程組和分式方程都是通過適當?shù)姆椒ㄞD(zhuǎn)化為一元一次方程求解的.如果按照教材原有的設(shè)計組織教學，學生可以按部就班地掌握這幾種解法，但這些解法中蘊含的本質(zhì)不一定能很好地體現(xiàn)出來.筆者思考：對于基礎(chǔ)比較好的班級，是否能以此為契機，通過對教材的整合，引導學生自己去探究，發(fā)現(xiàn)一元二次方程的解法中所蘊含的本質(zhì)思想，并最終將所學的方程融會貫通，建立相應(yīng)的知識網(wǎng)絡(luò)呢？

二、問題解決

選擇適當?shù)臉藴蕦σ辉畏匠踢M行分類，讓學生對不同“類型”的方程進行探究，將“直接開平方法”“配方法”“因式分解法”自然地整合到一起.

(一)教學案例

1.情境創(chuàng)設(shè)

問題1：我們已經(jīng)學過哪些方程(組)？

生：學過一元一次方程、二元一次方程組還有分式方程.

追問：那我們是如何解這些方程的？

師生活動：學生回答并相互補充，教師幫助其進行總結(jié)：二元一次方程組通過消元法轉(zhuǎn)化為一元一次方程，分式方程通過去分母轉(zhuǎn)化為一元一次方程.

【設(shè)計意圖：通過回顧一元一次方程、二元一次方程組、分式方程的解法，讓學生感受到二元一次方程組和分式方程都可以通過適當?shù)姆椒ㄞD(zhuǎn)化為一元一次方程加以解決，初步讓學生體會解方程中的核心思想——轉(zhuǎn)化思想，這時學生很容易產(chǎn)生猜想：一元二次方程也能通過這樣的方法來求解嗎？激發(fā)了學生的求知欲望.】

問題2：什么樣的方程是一元二次方程？

生：一個方程如果可以整理為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，這個方程就叫作一元二次方程.

追問1：為什么要強調(diào)“a≠0”？

追問2：規(guī)定b，c一定不為0嗎？

追問3：根據(jù)b，c是否取零，能對一元二次方程進行分類嗎？請每一類各舉出一個具體的例子.

師生活動：學生回答并相互補充，教師板書：

①b=0，c=0，如2x2=0;②b=0，c≠0，如x2-9=0;

③b≠0，c=0，如x2-4x=0;④b≠0，c≠0，如x2+8x-2=0.

【設(shè)計意圖：無論怎樣的一元二次方程，經(jīng)過化簡、整理一定可以成為以上四種形式中的一種.這樣分類以后，就給我們研究一元二次方程的解法提供了多個可以選擇的切入點，為后面學生的自主探究做了必要的鋪墊.】

2.探索活動

問題3：以上四個一元二次方程中你能解幾個？

【設(shè)計意圖：預設(shè)大部分學生能比較輕松地解①、②兩個方程，而對③、④兩個方程可以引導學生進行小組討論、交流.教師在巡視過程中也可以發(fā)現(xiàn)學生在解題中暴露出來的問題.】

師生活動：

①2x2=0

解：x2=0，∴x=0.

【說明：這里暫時不討論等根問題.】

②x2-9=0

解：x2=9.

x=±3,即x1=3，x2=-3.

③x2-4x=0

解：x2-4x+4=4,∴(x-2)2=4,∴x-2=±2.

即x-2=2或x-2=-2,∴x1=4，x2=0.

追問：為什么要在方程的兩邊加上4？

生：兩邊加上4以后方程的左邊就可以配成完全平方式了.

④x2+8x-2=0.

解：x2+8x=2,x2+8x+16=2+16,

追問1：請比較上面①、②兩個方程，它們有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？

師生活動：區(qū)別在于①中b=0，c=0；②中b=0，c≠0，但兩個方程通過等式的基本性質(zhì)都可以轉(zhuǎn)化為x2=m的形式，然后兩邊直接開平方.

追問2：如果一個方程可以轉(zhuǎn)化為x2=m的形式，m取任何實數(shù)，這個方程都有實數(shù)解嗎？

生：只有m≥0時，方程才有解.

追問3：請比較上面③、④兩個方程，它們有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？

師生活動：區(qū)別在于③中，b≠0，c=0；④中b≠0，c≠0，但通過在方程的左、右兩邊加上一個適當?shù)臄?shù)可以把方程左邊化為一個完全平方式，最終將兩個方程都轉(zhuǎn)化為(x+k)2=m的形式.

追問4：加上的這個數(shù)是怎么確定下來的呢？

師生活動：學生分組進行討論，互相補充并總結(jié)，根據(jù)完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2可以推出所加上的數(shù)應(yīng)該是一次項系數(shù)一半的平方.

追問：再請同學回頭思考一下x2-4x=0這個方程還有其他的解法嗎？

生：移項得x2=4x，兩邊約去x，得x=4.

追問：這種解法正確嗎？為什么比前面的方法少了一個解呢？

師生活動：讓學生討論后進行分析，該解法錯誤的原因是等式的兩邊約掉x的時候，沒有討論x是否為0，所以漏解了，如果對x是否為0進行分類討論，也不失為一種解法.

生：對x2-4x=0的左邊進行因式分解，得到x(x-4)=0，∴x=0或x-4=0,即x1=0，x2=4.

【設(shè)計意圖：讓學生體會一題多解和多題一解.】

3.歸納總結(jié)

師生活動：共同回顧以上幾種一元二次方程的解法，總結(jié)這些方法的名稱及步驟，教師板書.

①直接開平方法、②配方法、③因式分解法.

總結(jié)：這些方法都可以將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解決，和前面所學的二元一次方程組以及分式方程的思想方法都是相通的.可以綜合起來形成相應(yīng)的知識網(wǎng)絡(luò).

4.思維拓展

問題4：解方程x3-x=0.

【設(shè)計意圖：根據(jù)最近發(fā)展區(qū)原則，再次刺激學生的認知，感受到方程解法的核心思想——轉(zhuǎn)化思想，學會思考如何將不熟悉的方程通過合適的方法轉(zhuǎn)化為熟悉的方程.】

(二)設(shè)計說明

該教學設(shè)計以“轉(zhuǎn)化思想”為靈魂，貫穿始終，引導學生對所學方程(組)的相關(guān)知識進行回顧、歸納、總結(jié)，使之結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化；通過對不同類型方程解法的關(guān)鍵步驟之間的比較，感悟在解方程(組)過程中所滲透的數(shù)學思想，建立知識網(wǎng)絡(luò)，提高學生數(shù)學能力和素養(yǎng)；引導學生運用歸納總結(jié)出的思想方法解決新的問題，鍛煉分析問題和解決問題的能力.

由于課時的限制，對于配方法的研究還不夠深入，特別對于二次項系數(shù)不為1的情況，包括對公式法的研究也沒有進行.這些內(nèi)容將在下一課時完成.

三、問題反思

通過這次實踐，筆者深深體會到教學設(shè)計時不必拘泥于課本，在不偏離教學本質(zhì)的前提下，針對學生的實際情況，可以對教材的基本素材進行合理的調(diào)整，使之更契合學生的認知基礎(chǔ)和教學情境.

本節(jié)內(nèi)容中，原本需要3課時的“直接開平方法”“配方法”“因式分解法”用一節(jié)課的時間就完成了，雖然內(nèi)容較多，但精心設(shè)計的問題串使難點得以突破.在課堂教學中，并沒有因為“解方程”是操作技能問題而采取例題、模仿、訓練的教學模式，堅持思維領(lǐng)先，探索前進的原則，將研究一元二次方程解法的過程設(shè)計為讓學生“先實踐，再深化認識”的過程，這樣把探求解法的過程交給學生，在實踐中提高了獨立操作的能力，在歸納總結(jié)中加深對方程的理解和認識，這樣既提升學生獨立學習的信心，也提高了學生解方程的技能，體現(xiàn)了以提高學生數(shù)學素養(yǎng)為核心的數(shù)學教育理念.