CIR利率模型下帶有隨機(jī)勞動(dòng)收入的最優(yōu)消費(fèi)投資策略

費(fèi)為銀,王曉弟,夏登峰

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 安徽 蕪湖 241000)

CIR利率模型下帶有隨機(jī)勞動(dòng)收入的最優(yōu)消費(fèi)投資策略

費(fèi)為銀,王曉弟,夏登峰

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 安徽 蕪湖 241000)

摘要：基于完備的金融市場(chǎng)條件假設(shè)的前提下，當(dāng)隨機(jī)利率服從CIR(Cox-Ingersoll-Ross)模型時(shí)，研究了帶有隨機(jī)勞動(dòng)收入的最優(yōu)消費(fèi)投資問(wèn)題.首先，利用公式以及動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，建立相應(yīng)的HJB方程并推導(dǎo)出最優(yōu)的消費(fèi)投資策略.其次，在冪效用的特殊情形下，給出了相應(yīng)值函數(shù)的顯式解以及相應(yīng)的最優(yōu)消費(fèi)和投資決策的顯式解.最后，給定相關(guān)參數(shù),利用Matlab軟件對(duì)得到的結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬，同時(shí)分析了勞動(dòng)收入不確定以及風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度對(duì)最優(yōu)消費(fèi)和投資比率的影響，并給出了相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)意義解釋.

關(guān)鍵詞：最優(yōu)消費(fèi)投資； 隨機(jī)勞動(dòng)收入； HJB方程； CIR(Cox-Ingersoll-Ross)模型； 冪效用

最優(yōu)消費(fèi)投資問(wèn)題作為金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域基本問(wèn)題之一，一直受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注.自文獻(xiàn)[1]首次研究短期利率隨機(jī)變化條件下的資產(chǎn)組合選擇問(wèn)題以來(lái)，一些學(xué)者就利率為隨機(jī)變化情形下的投資組合選擇問(wèn)題作了進(jìn)一步研究. 文獻(xiàn)[2]通過(guò)使用一般跨期均衡的資產(chǎn)定價(jià)模型研究了利率的期限結(jié)構(gòu)，建立了CIR(Cox-Ingersoll-Ross)模型.文獻(xiàn)[3]假設(shè)隨機(jī)利率服從CIR模型，研究了以消費(fèi)定義的冪效用投資者的資產(chǎn)組合選擇問(wèn)題.文獻(xiàn)[4]通過(guò)假設(shè)隨機(jī)利率為時(shí)變的均值回復(fù)過(guò)程，從長(zhǎng)期投資者的期望假設(shè)角度研究了動(dòng)態(tài)投資組合選擇問(wèn)題.文獻(xiàn)[5]研究了資產(chǎn)收益為二次時(shí)，債券利率和股票收益率波動(dòng)分別服從CIR模型和Heston模型的兩資產(chǎn)組合選擇問(wèn)題，獲得了最優(yōu)的投資組合決策.文獻(xiàn)[6]研究了帶有隨機(jī)利率和隨機(jī)波動(dòng)的最優(yōu)消費(fèi)與投資問(wèn)題，其中，隨機(jī)利率服從CIR模型，波動(dòng)服從Heston模型.文獻(xiàn)[7]通過(guò)隨機(jī)最優(yōu)控制方法，討論了隨機(jī)利率下有違約風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu)投資組合問(wèn)題.文獻(xiàn)[8]的研究考慮有限期限上的最優(yōu)投資消費(fèi)問(wèn)題，其中，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，利率服從一個(gè)遍歷的Markov過(guò)程，目標(biāo)是累積消費(fèi)和終值財(cái)富貼現(xiàn)的冪效用期望最大化.

現(xiàn)實(shí)的投資環(huán)境一般來(lái)說(shuō)是復(fù)雜的，在真實(shí)的投資過(guò)程中，投資者不僅要面臨利率隨機(jī)變化產(chǎn)生的投資風(fēng)險(xiǎn)，還會(huì)受到勞動(dòng)收入不確定產(chǎn)生的影響.因此，為了使建立的消費(fèi)投資決策理論模型更加符合現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)狀況，本文基于現(xiàn)有的研究，在文獻(xiàn)[5]模型的基礎(chǔ)上，考慮了帶有隨機(jī)勞動(dòng)收入的情形，在基于利率為隨機(jī)變化的條件下，研究了隨機(jī)勞動(dòng)收入對(duì)最優(yōu)消費(fèi)投資策略的影響，這不僅在一定程度上拓展了原有的模型，也使得研究結(jié)果更具有現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)意義.

1模型框架

假設(shè)整個(gè)金融市場(chǎng)是完備的，且在金融市場(chǎng)中僅有兩個(gè)可供投資的的資產(chǎn)，一個(gè)為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，另一個(gè)為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn). 其中無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格過(guò)程用B(t)表示，且B(t)滿足如下微分方程

dB(t)=r(t)B(t)dt,B(0)=B0>0,

這里的隨機(jī)利率過(guò)程r(t)服從CIR模型，即

r(0)=r0>0,

風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格過(guò)程用S(t)表示，且S(t)滿足如下微分方程

S(0)=S0>0,

投資者的生命周期一般可分為就業(yè)期和退休期，且投資者僅在就業(yè)期才擁有一份勞動(dòng)收入，因此，本文著重分析就業(yè)時(shí)期投資者的消費(fèi)與投資行為，退休期的消費(fèi)與投資行為暫不研究. 進(jìn)一步假設(shè)投資者在退休時(shí)刻T之前，還會(huì)得到一個(gè)隨機(jī)的勞動(dòng)收入y(t)，且y(t)服從如下的微分方程

y(0)=y0>0,

dX(t)=[r(t)X(t)+X(t)φ(t)λsr(t)+y(t)-

定義投資者的目標(biāo)最大化的期望消費(fèi)效用和終端財(cái)富效用，即

其中：U(·)為實(shí)際消費(fèi)的效用函數(shù)；V(·)反映期末饋贈(zèng)帶來(lái)的效用.假設(shè)U(·)和V(·)是嚴(yán)格遞增，且二階可導(dǎo)的連續(xù)凹函數(shù)，β>0表示主觀貼現(xiàn)率.這里用X,r,y分別表示函數(shù)X(t),r(t),y(t).

根據(jù)最優(yōu)化原理，相應(yīng)的HJB方程為

XφσsyσyrρsyHXy+yσyσrrρyrHyr+αU(C)}=βH,

(1)

其中：邊界條件為H(T,r,y,X)=(1-α)V(XT)；Ht,HX,Hy,Hr分別為H關(guān)于t,X,y,r的一階偏導(dǎo)數(shù)；HXX,Hrr,Hyy,HXr,HXy,Hyr為二階偏導(dǎo)數(shù).根據(jù)一階條件，有

αUT(C*)=HX,

(2)

(3)

其中：式(3)由3部分組成，第一部分為均值-方差部分，第二部分反映利率變化導(dǎo)致的對(duì)沖需求，第三部分是由于勞動(dòng)收入變化導(dǎo)致的對(duì)沖需求.

2冪效用情形下的顯式解

推測(cè)H有如下形式

(4)

(5)

(6)

根據(jù)最優(yōu)化的一階條件可得

(7)

(8)

對(duì)式(5)求相應(yīng)的偏導(dǎo)，即

結(jié)合式(7)、(8)，并將上式中得到的偏導(dǎo)數(shù)代入式(6)，經(jīng)過(guò)整理化簡(jiǎn)有

(9)

假設(shè)方程式(9)的解f為如下形式

f(t,r)=F(t,r)1-δ.

對(duì)f求相關(guān)偏導(dǎo)，于是有

ft=(1-δ)F-δFt,ft=(1-δ)F-δFr,

將f的相關(guān)偏導(dǎo)數(shù)代入式(9)，經(jīng)整理化簡(jiǎn)有

(10)

根據(jù)文獻(xiàn)[5]中關(guān)于f(t,X)的假設(shè)，這里同樣假設(shè)F有如下的形式

(11)

為確保消除對(duì)于r的依賴，可以將上式分解成如下兩個(gè)常微分方程，即

(12)

對(duì)常微分方程組(12)進(jìn)行求解，有

(13)

經(jīng)過(guò)上述推導(dǎo)可以得出f的顯式表達(dá)式，即

關(guān)于h的求解與f的求解方法類似. 將式(4)代入HJB方程式(1)中，結(jié)合式(2)、(3)，利用分離變量的方法，可以得到關(guān)于h(t,r)的偏微分方程，即

(14)

其中：邊界條件為h(T,r)=0.

為了便于得到相應(yīng)的結(jié)果，類似F假設(shè)，假設(shè)h有下列形式

(15)

(16)

對(duì)式(16)進(jìn)行求解，則有

(17)

當(dāng)σy=0時(shí)，于是有

(18)

對(duì)式(18)進(jìn)行求解，有

(19)

根據(jù)上述模型以及推導(dǎo)過(guò)程，可以得到下述命題.

命題1當(dāng)金融市場(chǎng)為完備的,且ρsr=-1，|ρsy|=1時(shí)，則帶有隨機(jī)勞動(dòng)收入的投資者的最優(yōu)消費(fèi)和最優(yōu)投資權(quán)重分別為

命題2當(dāng)金融市場(chǎng)為完備的,且ρsr=-1，σy=0時(shí)，則帶有隨機(jī)勞動(dòng)收入的投資者的最優(yōu)消費(fèi)和最優(yōu)投資權(quán)重分別為

同樣地，關(guān)于最優(yōu)投資權(quán)重φ*，第一項(xiàng)表示純投資需求，第二項(xiàng)為對(duì)沖利率變化的需求，第三項(xiàng)則反映對(duì)沖勞動(dòng)收入的需求.

3數(shù)值模擬與對(duì)比

為了更好地說(shuō)明隨機(jī)勞動(dòng)收入對(duì)投資者最優(yōu)消費(fèi)和投資策略的影響，本文針對(duì)命題2進(jìn)行數(shù)值模擬分析.

假設(shè)投資者在60歲時(shí)開(kāi)始退休，設(shè)定相關(guān)參數(shù)：k1=0.1,k2=0.35,k3=0.1,σs=0.18,σr=0.4,λs=0.2,δ=-2,β=0.02,α=0.68,r=0.04,X=2,y=2.5,t=35,T=60.這里只分析35～60歲階段的消費(fèi)行為，由命題2中的公式可以得到最優(yōu)消費(fèi)隨時(shí)間的變化，如圖1所示.

圖1　最優(yōu)消費(fèi)隨時(shí)間的變化Fig.1　Optimal consumption over time

由圖1可以看出，投資者的消費(fèi)隨著時(shí)間的變化在不斷變化. 當(dāng)投資者年齡處于在55歲之前的時(shí)候，投資者的消費(fèi)呈增長(zhǎng)的趨勢(shì)，原因是隨著年齡的增大，投資者所擁有的財(cái)富在逐漸增多，這也必然導(dǎo)致消費(fèi)比例的增多；在55歲左右的時(shí)候，消費(fèi)水平達(dá)到最高；在55歲之后，投資者的消費(fèi)呈逐漸下降的趨勢(shì)，原因是隨著年齡的增大，且離退休的時(shí)間越來(lái)越接近，投資者為了保障退休的生活，于是減少當(dāng)期消費(fèi)，將本該用于當(dāng)期消費(fèi)的錢儲(chǔ)蓄起來(lái)以改善退休后的生活狀態(tài)，這就導(dǎo)致了當(dāng)期消費(fèi)逐漸下降. 從圖1中還可以看出，投資者的消費(fèi)與所擁有的勞動(dòng)收入的多少也有關(guān)，投資者擁有的勞動(dòng)收入越多，則消費(fèi)水平越高；反之，投資者擁有的勞動(dòng)收入越少，則消費(fèi)水平越低.由圖1得出的模擬分析結(jié)果與現(xiàn)實(shí)消費(fèi)情況相符.

同樣假設(shè)投資者在60歲時(shí)開(kāi)始退休，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資權(quán)重隨時(shí)間的變化如圖2所示，模擬時(shí)假設(shè)α=0，即不考慮消費(fèi)情況，僅研究投資行為. 圖2(a)分析了勞動(dòng)收入因子k4取值不同時(shí)的投資權(quán)重隨時(shí)間的變化，設(shè)定相關(guān)參數(shù)：k1=0.1,k2=0.32,k3=0.1,σs=0.3,σr=0.15,λs=0.25,δ=-2,β=0.02,α=0,r=0.04,X=4,y=2.5,t=35,T=60. 圖2(b)分析了風(fēng)險(xiǎn)厭惡因子δ不同時(shí)的投資權(quán)重隨時(shí)間的變化，設(shè)定相關(guān)參數(shù)：k1=0.1,k2=0.32,k3=0.1,α=0,k4=0.6,σs=0.3,σr=0.15,λs=0.25,β=0.02,r=0.04,X=4,y=2.5,t=35,T=60.

(a) 勞動(dòng)收入因子k4取值不同時(shí)的投資權(quán)重

(b)風(fēng)險(xiǎn)厭惡因子δ取值不同時(shí)的投資權(quán)重

由圖2可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)投資者年齡處于55歲之前的時(shí)候，隨著年齡的不斷增大，投資者所擁有的財(cái)富在逐漸增多，他們一般會(huì)采取積極的投資策略，投資者敢于且有更多的資金可用于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資以獲得更多的財(cái)富，這就導(dǎo)致了投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的比例在逐漸增加.在55歲之后，投資者會(huì)逐漸減少對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的需求，原因是隨著年齡的增大，且離退休的時(shí)間越來(lái)越接近，考慮到退休后的生活，投資者不敢且不愿意承擔(dān)過(guò)多的投資風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)考慮到年齡大的原因，他們更傾向于投資一些無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)，追求一些無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的收益，比如銀行存款，于是迅速減少在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例，這也就導(dǎo)致了在55歲之后，投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的比例會(huì)迅速減少. 由圖2(a)還可以發(fā)現(xiàn)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例與投資者的勞動(dòng)收入有關(guān)，擁有的勞動(dòng)收入越多，則可承受的風(fēng)險(xiǎn)就越大，從而投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例越多；反之，擁有的勞動(dòng)收入越少，則可承受的風(fēng)險(xiǎn)就越小，從而投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例越少. 對(duì)于冪效用情形，1-δ表示風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，代表著投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的厭惡程度. 由圖2(b)還可以看出，δ越小，1-δ越大，投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的厭惡程度就越高，投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的比例就越少；反之，δ越大，1-δ越小，投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的厭惡程度就越低，從而投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的比例就相對(duì)越多. 由圖2得出的模擬分析結(jié)果與現(xiàn)實(shí)的投資情況也相符.

4結(jié)語(yǔ)

現(xiàn)實(shí)中，擁有勞動(dòng)收入的多少會(huì)直接影響到投資者的消費(fèi)與投資行為.本文基于完備的金融市場(chǎng)條件假設(shè)，針對(duì)投資者生命周期中的就業(yè)期，在現(xiàn)有模型的基礎(chǔ)上，考慮了帶有隨機(jī)勞動(dòng)收入的情形，當(dāng)利率服從CIR模型時(shí)，研究了投資者的消費(fèi)與投資行為. 特別考慮投資者的效用為冪效用情形時(shí)，利用隨機(jī)微分方程以及隨機(jī)控制等理論知識(shí)，求出了相應(yīng)值函數(shù)的顯式解以及投資者的最優(yōu)消費(fèi)和投資策略的顯式解.利用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬分析，說(shuō)明了勞動(dòng)收入的不確定以及風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度對(duì)投資者最優(yōu)消費(fèi)和投資決策的影響，同時(shí)給出了相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)意義解釋.本文的研究結(jié)果既推廣了原有模型，也使得推廣后的模型更加符合市場(chǎng)實(shí)際，理論意義和應(yīng)用價(jià)值更加明顯，可以為投資者提供一定的指導(dǎo)作用.

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OptimalConsumptionandPortfoliowithStochasticLaborIncomeunderCIRInterestRate

FEIWei-yin,WANGXiao-di,XIADeng-feng

(School of Mathematics and Physics， Anhui Polytechnic University， Wuhu 241000， China)

Abstract:Based on the complete financial market, the optimal consumption and portfolio with the stochastic labor income are studied when the stochastic interest rate is supposed to be driven by CIR(Cox-Ingersoll-Ross) model. Firstly, the corresponding HJB equation and the optimal consumption and portfolio strategies are established by using the formula of and the dynamic programming principle. Then, under the power utility, the explicit solution of the value function and the explicit solutions of the optimal consumption and portfolio strategies are derived. Finally, some relative parameters are given and the effect of uncertainty of stochastic labor income and the risk aversion on optimal consumption and portfolio ratio are analyzed by numerical simulation, then the economic significance is explained as well.

Key words:optimal consumption and portfolio; stochastic labor income; HJB equation; CIR(Cox-Ingersoll-Ross) model; power utility

文章編號(hào)：1671-0444(2016)02-0306-07

收稿日期：2015-08-31

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71171003，71571001)

作者簡(jiǎn)介：費(fèi)為銀(1963—)，男，安徽蕪湖人，教授，博士，研究方向?yàn)榻鹑跀?shù)學(xué)與金融工程. E-mail: wyfei@ahpu.edu.cn

中圖分類號(hào)：O 211.63； F 830.9

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A