回歸方程面面觀

徐銳

回歸方程是利用數(shù)理統(tǒng)計中的回歸分析，來確定兩種或兩種以上變數(shù)間相互依賴的定量關系的一種統(tǒng)計分析方法，運用十分廣泛. 近幾年高考所涉及的題目愈發(fā)凸顯出其應用性和問題設計的新穎、創(chuàng)造性，其時時刻刻在提醒我們“思路決定出路”. 同學們只有充分理解了回歸方程，冷靜分析問題的本質(zhì)，才能以不變應萬變. 下面我們對高考中的不同題型進行分析和研究.

相關關系

例1 在一組樣本數(shù)據(jù)[（x1，y1），（x2，y2），]…，[（xn，yn）（n≥2），][（x1，x2，…，xn不全相等）]的散點圖中，若所有樣本點[（xi，yi）][（i=1，2，…，n）]都在直線[y=12x+1]上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為（ ）

A. -1 B. 0

C. [12] D. 1

解析 根據(jù)樣本相關系數(shù)的定義可知，當所有樣本點都在直線上時，相關系數(shù)為1.

所有樣本點[（xi，yi）（i=1，2，…，n）]都在直線[y=12x+1]上，故這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關，故其相關系數(shù)為1.

答案 D

例2 下面的4個散點圖中，兩個變量具有相關關系的是（ ）

[④][③] [①] [②]

A. ①② B. ①③

C. ②④ D. ③④

解析 由圖可知：①是一次函數(shù)關系，不是相關關系；②中所有點在一條直線附近波動，是線性相關關系；③不具有相關關系；④在某曲線附近波動是非線性相關關系，所以兩個變量具有相關關系的是②④.

答案 C

點撥 相關關系與函數(shù)關系的區(qū)別：函數(shù)關系是一種確定性關系，體現(xiàn)的是因果關系；而相關關系是一種非確定性關系，體現(xiàn)的不一定是因果關系，可能是伴隨關系.

回歸方程的意義

例3 根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：

得到的回歸方程為[y=bx+a，]則（ ）

A. [a>0] ，[b<0]

B. [a>0] ，[b>0]

C. [a<0] ，[b<0]

D. [a<0] ，[b>0]

解析 根據(jù)已知樣本數(shù)判斷線性回歸方程中的[b]與[a]的符號. 依題意畫散點圖知，兩個變量負相關，所以[b<0，][a>0.]

答案 A

例4 設某大學的女生體重[y]（單位：kg）與身高[x]（單位：cm）具有線性相關關系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)[（xi，yi）][（i=1，2，…，n），]用最小二乘法建立的回歸方程為[y=0.85x-85.71，]則下列結論中不正確的是（ ）

A. [y]與[x]具有正的線性相關關系

B. 回歸直線過樣本點的中心[（x，y）]

C. 若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg

D. 若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg

解析 由回歸方程為[y=0.85x-85.71]知，[y]隨[x]的增大而增大，所以[y]與[x]具有正的線性相關關系. 由最小二乘法建立的回歸方程的過程知，[y=bx+a=bx+][y-bx（a=y-bx），]所以回歸直線過樣本點的中心[（x，y），]利用回歸方程可以預測估計總體，所以D項不正確.

答案 D

點撥 本題型考查兩個變量間的相關性、最小二乘法及正相關、負相關的概念.

線形回歸方程

（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；

（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出[y]關于[x]的線性回歸方程[y=bx+a]；

（3）已知該廠技術改造前[100]噸甲產(chǎn)品能耗為[90]噸標準煤；試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預測生產(chǎn)[100]噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術改造前降低多少噸標準煤？

解析 （1）散點圖如下：

（2）由系數(shù)公式可知，

（3）當[x=100]時，[y=0.7x+0.35=70.35]，所以預測生產(chǎn)[100]噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術改造前降低[19.65]噸標準煤.

點撥 考查散點圖與回歸方程以及運算能力，屬于常規(guī)題.

例6 某數(shù)學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm. 因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為 cm.

分析 本題主要考查線性回歸分析的知識，考查運用線性回歸方程解決實際問題的能力.

錯解 第一組數(shù)據(jù)為1，2，3，4，第二組數(shù)據(jù)為173，170，176，182.

這樣擬合求出的回歸方程為[y=x+3，]當這個數(shù)學老師兒子的身高[x=182]cm時，他孫子的身高[y=185]cm.

點撥 此題錯誤率較高，大家對線性回歸方程的概念理解不夠透徹，主要是不確定哪兩個變量具有相關關系. 以前學習時對回歸直線方程只要求會運用公式進行具體計算[a，b，]求出回歸直線方程即可，不要求掌握回歸直線方程的推導過程. 所做的題大都已經(jīng)告訴同學們題中具有相關關系的兩個變量，只需依葫蘆畫瓢地按公式去算線性回歸方程和相關問題. 因此，同學們要認真審題，理解本質(zhì).

非線性回歸方程

例7 某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費[x]（單位：千元）對年銷售量[y]（單位：t）和年利潤[z]（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費[xi]和年銷售量[yi（i=1，2，…，8）]數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

（1）根據(jù)散點圖判斷，[y=a+bx]與[y=c+dx]哪一個適宜作為年銷售量[y]關于年宣傳費[x]的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立[y]關于[x]的回歸方程；

（3）已知這種產(chǎn)品的年利率[z]與[x，y]的關系為[z=0.2y-x.]根據(jù)（2）的結果回答下列問題：

①年宣傳費[x=49]時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？

②年宣傳費[x]為何值時，年利率的預報值最大？

附：對于一組數(shù)據(jù)[（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），]其回歸線[v=α+βu]的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

[β=i=1n（ui-u）（vi-v）i=1n（ui-u）2，α=v-βu.]

解析 （1）由散點圖可以判斷，[y=c+dx]適合作為年銷售[y]關于年宣傳費用[x]的回歸方程類型.

（2）令[w=x，]先建立[y]關于[w]的線性回歸方程，

由于[d=i=18（wi-w）（yi-y）i=18（wi-w）2=108.816=68，]

[∴c=y-dw=563-68×6.8=100.6.]

[∴y]關于[w]的線性回歸方程為[y=100.6+68w，]

[∴y]關于[x]的回歸方程為[y=100.6+68x.]

（3）①由（2）知，當[x=49]時，年銷售量[y]的預報值：

[y=100.6+6849=576.6，]

[z=576.6×0.2-49=66.32.]

②根據(jù)（2）的結果知，年利潤[z]的預報值：

[z=0.2（100.6+68x）-x=-x+13.6x+20.12，]

∴當[x=13.62=6.8，]即[x=46.24]時，[z]取得最大值.

故宣傳費用為46.24千元時，年利潤的預報值最大.

點撥 本題考查了非線性擬合及非線性回歸方程的求解與應用，是源于課本的試題類型. 解答非線性擬合問題，先作出散點圖，再根據(jù)散點圖選擇合適的函數(shù)類型，設出回歸方程，利用換元法將非線性回歸方程化為線性回歸方程，求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計算方法計算變換后的線性回歸方程系數(shù)，即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進行預報預測.

回歸分析的一般步驟：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量；（2）畫散點圖，觀察它們之間的關系（如是否存在線性關系等）；（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如觀察到的數(shù)據(jù)呈線性關系，再選用線性回歸方程）；（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）；（5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性等等）.