不等式在解物理問(wèn)題中的應(yīng)用

華峰

有些物理問(wèn)題看起來(lái)似乎條件不足，難以入手求解.其實(shí)此類(lèi)問(wèn)題常?？梢愿鶕?jù)題意列出不等式，進(jìn)而便可順利求解.下面舉例分析，希望學(xué)生能夠從中受到有益的啟示.

一、求解力學(xué)問(wèn)題

圖1例1 如圖1所示，某人站在到公路垂直距離為d=50 m的A點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)公路上B點(diǎn)有一輛客車(chē)以v=8.48 m/s的速度沿公路勻速前進(jìn)，人與車(chē)相距s=100 m，人奔跑的速度v′=6 m/s.則人要趕上客車(chē)應(yīng)朝哪個(gè)方向奔跑才行？

解析 由圖1示可知sinα=50100=12，所以α=30°.

設(shè)人奔跑的方向與AB連線夾角為θ，車(chē)和人到達(dá)D點(diǎn)所用的時(shí)間分別為t和t′，則有vtsinθ=v′t′sinα，即

tt′=v′sinθvsinα

①

人要能夠趕上汽車(chē)，應(yīng)有t≥t′，即

tt′≥1

②

把②帶入①有：v′sinθvsinα≥1，即sinθ≥0.707，所以45°≤θ≤135°.

例2 在光滑的水平面上有兩個(gè)半徑都是r的小球A和B，質(zhì)量分別為m和2m，當(dāng)兩球心之間的距離大于2L（比2r大得多）時(shí)，兩球之間無(wú)相互作用力；當(dāng)兩球之間的距離等于或小于L時(shí)，兩球間存在相互作用的恒定斥力F.設(shè)A球從遠(yuǎn)離B球處以速度v0沿兩球連線向原來(lái)靜止的B球運(yùn)動(dòng)，如圖2所示.欲使兩球不發(fā)生接觸，v0必須滿足什么條件？

圖2解析 A球向B球接近至A、B間的距離小于L之后，A球的速度逐漸減小，B球從靜止開(kāi)始加速運(yùn)動(dòng)，兩球間的距離繼續(xù)逐漸減小，當(dāng)A、B的速度相等時(shí)，兩球的間距最小.若此距離大于2r，則兩球不會(huì)接觸，因而它們不接觸的條件是：

v1=v2

L+s2-s1>2r

其中v1、v2為當(dāng)兩球間距離最小時(shí)，A、B兩球的速度，s1、s2為兩球間距離從L變到最小的過(guò)程中A、B兩球通過(guò)的路程.

設(shè)v0為A球的初速度，則由動(dòng)量守恒定律有：

mv0=mv1+2mv2

由功能關(guān)系有：

Fs1=-12mv20-12mv21，F(xiàn)s2=12（2m）v22

聯(lián)立以上各式科解得v0<3F（L-2r）m.

例3 從地面上以初速度2v0豎直向上拋出一小球A，經(jīng)過(guò)Δt時(shí)間從同一點(diǎn)以初速度v0豎直向上拋出另一小球B.（1） 要使A、B兩球能在空中相遇，Δt應(yīng)滿足什么條件？（2） 要使B球在上升時(shí)與A球相遇，Δt應(yīng)滿足什么條件？（3） 要使B球在下降時(shí)與A球相遇，Δt應(yīng)滿足什么條件？

解析 本題實(shí)際上是一個(gè)極值問(wèn)題，但用極值求解相對(duì)困難和麻煩.若利用不等式求解則簡(jiǎn)捷、方便得多.

根據(jù)題意設(shè)在B球拋出后t時(shí)刻與A球相遇，則它們相遇的條件為：

2v0（t+Δt）-12g（t+Δt）2=v0t-12gt2，化簡(jiǎn)得

t=2v0Δt-12gΔt2gΔt-v0

①

（1） 要求0

②

把①代入②，有0<2v0Δt-12gΔt2gΔt-v0<2v0g，解之得2v0g<Δt<4v0g.

（2） 要滿足如下條件0

③

將①代入③可解得：（1+3）v0g<Δt<4v0g.

（3） 要滿足如下條件 v0g

④

把①代入④可解得：2v0g<Δt<（1+3）v0g.

當(dāng)n=8時(shí)，車(chē)停止滑行，即在x<0一側(cè)第8個(gè)沙袋扔到車(chē)上后，車(chē)就停下來(lái).故車(chē)上共有大小沙袋3+8=11個(gè).

圖4例5 如圖4所示，斜面固定在水平面上，其傾角為θ，斜面上放一個(gè)質(zhì)量為m的物體，物體與斜面間的摩擦系數(shù)為μ.現(xiàn)用一水平恒力F推物體，結(jié)果無(wú)論F多大都推不動(dòng)，求μ應(yīng)滿足的條件.

解析 由題意知不等式Fcosθ<μ （mgcosθ+Fsinθ）+mgsinθ恒成立，整理得F（cosθ-μ sinθ）

二、求解熱學(xué)問(wèn)題

例6 如圖5所示，大小不等的兩個(gè)容器被一根細(xì)的玻璃管連通，玻璃管中有一段水銀柱將兩容器內(nèi)氣體隔開(kāi)（溫度相同）.當(dāng)玻璃管豎直放置時(shí)，大容器在上，小容器在下，水銀柱剛好在玻璃管的正中間.現(xiàn)將兩容器同時(shí)降低同樣的溫度，若不考慮容積的變化，則細(xì)管中水銀柱的移動(dòng)情況是（ ）.

A. 不動(dòng) B. 上升

C. 下降 D. 先上升后下降

解析 以液面C為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件有pA+ρgh=pB

假定溫度降低時(shí)水銀柱不移動(dòng)，A、B減少的壓強(qiáng)分別為ΔpA、ΔpB，則液柱C受到向下的壓強(qiáng)p下=pA-ΔpA+ρgh，向上的p上=pB-ΔpB.

若ΔpA=ΔpB，則p上=p下，水銀柱不移動(dòng)；若ΔpA<ΔpB，則p上>p下，水銀柱向下移動(dòng)；若ΔpA>ΔpB，則p上

因此只要假定水銀柱不動(dòng)，分析氣體壓強(qiáng)的變化情況，運(yùn)用不等式就可判斷水銀柱怎樣移動(dòng).

圖5 圖6方法1 假定水銀柱不移動(dòng)，根據(jù)查理定律有pT=p-ΔpT-ΔT，化簡(jiǎn)得Δp=ΔTTp，則ΔpA=ΔTTpA，ΔpB=ΔTTpB.由于pA

方法2 假定水銀柱不移動(dòng)，作A、B等容變化圖象，如圖6所示.降低相同溫度時(shí)，由圖可知ΔpB>ΔpA，水銀柱下降.應(yīng)選C.

例7 如圖7所示，有一直立的汽缸，汽缸底到缸口的距離為L(zhǎng)0，用一厚度和質(zhì)量均不計(jì)的剛性活塞A把一定質(zhì)量的空氣封在缸內(nèi)，活塞與缸間摩擦可忽略，平衡時(shí)活塞在缸口，周?chē)髿獾膲簭?qiáng)為H0 cmHg.現(xiàn)把一個(gè)盛有水銀的瓶子放在活塞上（瓶子的質(zhì)量可以忽略不計(jì)），平衡時(shí)活塞到汽缸底的距離為L(zhǎng)，若不是把這瓶水銀放在活塞上，而是把瓶?jī)?nèi)水銀緩慢地倒在活塞上方，這時(shí)活塞下移，直到其不再下移.求此時(shí)氣柱的長(zhǎng)以及與之相對(duì)應(yīng)的條件（設(shè)氣體的溫度不變）

圖7 圖8解析 本題表面上看似乎與不等式?jīng)]有什么關(guān)系，然而如靈活運(yùn)用不等式求解，不僅給人耳目一新的感覺(jué)，而且會(huì)收到事半功倍的效果.如圖8設(shè)有足夠量的水銀一直能夠把汽缸裝滿，裝滿時(shí)水銀柱長(zhǎng)為x cm，則有

H0L0=（H0+x）（L0-x0），解之得：x=L0-H0

設(shè)瓶?jī)?nèi)水銀產(chǎn)生的總附加壓強(qiáng)為Δp，則有

H0L0=（H0+Δp）L，解之得：Δp=H0（L0-L）L

若0

則水銀沒(méi)能全部倒入缸中，解此式得：L0>H0，L

氣柱長(zhǎng)L′=L0-x=H0.

若x≥Δp，即L≥H0，水銀能夠全部倒入缸中，因此氣柱長(zhǎng)L′=L0.

若x≤0，即L0≤H0，水銀不能倒進(jìn)缸中，一定滿足L0>H0.

所以最后結(jié)論為：當(dāng)L 三、求解電磁學(xué)問(wèn)題

例8 把一個(gè)“10 V 2.0 W”的用電器A（純電阻）接到某一電動(dòng)勢(shì)與內(nèi)阻都不變的電源上，用電器A實(shí)際消耗的功率是2.0 W；換上另一個(gè)“10 V 5.0 W”的用電器B（純電阻）接到這一電源上，用電器B實(shí)際消耗的功率有沒(méi)有可能反而小于2.0 W呢？如果認(rèn)為不可能，試說(shuō)明理由.如果認(rèn)為可能，試求出用電器B實(shí)際消耗的功率小于2.0 W的條件（設(shè)電阻不隨溫度改變）.

解析 不可能.因?yàn)楫?dāng)電路的內(nèi)、外電阻相等時(shí)，電源有最大輸出功率，在一般情況下，對(duì)電源同一輸出功率，外電阻有兩個(gè)值.由題意知

用電器A的電阻RA=U2APA=1022.0Ω=50 Ω，用電器B的電阻RB=U2BPB=1025Ω=20 Ω.

當(dāng)A接到電源上時(shí)，消耗的概率P1為額定功率，所以有P1=（ERA+r）2RA=2.0 W.

換為用電器B時(shí)，B消耗的功率P2=（ERB+r）2RB<2.0 W.

由上述兩式可解得（取合理值）r>1010Ω，E>（10+21-） V.

圖9例9 如圖9所示，一個(gè)半徑為R的光滑半圓固定在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一個(gè)質(zhì)量為m的帶正電小球，從半球頂由靜止沿左側(cè)滑下且始終未脫離球面，求其電量的最小值.

解析 小球始終未脫離球面的條件是N≥0恒成立.設(shè)某時(shí)刻小球重力與所受洛侖茲力之間夾角為θ，則根據(jù)題意可列方程：

mgR（1-cosθ）=12mv2

①

Bqv+mgcosθ-N=mv2R

②

由①得cosθ=1-v22gR，將其代入②可得N=-3mv22R+Bqv+mg

圖10

由于a=-3m2R<0，故拋物線開(kāi)口向下，如圖10所示.要使N≥0恒成立，必須當(dāng)v=0和v=2gR時(shí)，N≥0；當(dāng)v=0時(shí)，N=mg>0；當(dāng)

v=2gR時(shí)，N=-2mg+Bq2gR≥0，所以q≥m2gRBR.

圖11例10 如圖11所示的兩種電路中，電源相同，各電阻器阻值相等，各電流表的內(nèi)阻相等且不能忽略不計(jì).電流表A1、A2、A3和A4的示數(shù)分別為I1、I2、I3和I4，則下列關(guān)系式正確的是（ ）.

A. I1=I3 B. I1

C. I2=2I1 D. I2

解析 從電路圖和各選項(xiàng)可以看出，選項(xiàng)A比較的是對(duì)應(yīng)電阻上的電流，只要A選項(xiàng)的比較結(jié)果能夠確定，則選項(xiàng)B就容易判斷了.選項(xiàng)C是比較同一電路中干路電流與支路電流之間的關(guān)系，顯然不正確；選項(xiàng)D是比較兩電路中的總電流，這是本題的關(guān)鍵所在.若不采用簡(jiǎn)化的方法，比較兩電路的總電阻很復(fù)雜.下面通過(guò)不等簡(jiǎn)化巧妙地進(jìn)行比較.

假設(shè)A1電阻為零，并設(shè)每只電流表的內(nèi)阻為rA，電源內(nèi)阻為r，則由電阻串、并聯(lián)知識(shí)可知（甲）、（乙）兩電路的總電阻R甲>r+（rA+R2），R乙=r+R+r2，據(jù)此可知R甲>R乙.由閉合電路歐姆定律可知I2

由此可見(jiàn)，在求解物理問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)用到不等式.當(dāng)然，不等式在求解物理問(wèn)題中的應(yīng)用還有很多，只要我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中，善于思考，勤于觀察，靈活運(yùn)用，就會(huì)通過(guò)解題技巧，收到好的效果.（收稿日期：2015-11-10）