楊輝三角與志最短路線

蔣明玉

同學(xué)們知道楊輝三角嗎？看看蔣老師怎么介紹吧。

同學(xué)們，請(qǐng)仔細(xì)觀察一下圖1，你覺(jué)得它像什么圖形？對(duì)了，它像一個(gè)用數(shù)組成的等腰三角形，

你能發(fā)現(xiàn)這些數(shù)之間的規(guī)律嗎？其實(shí)，最本質(zhì)的特征是，數(shù)1在兩條腰上，而其余的數(shù)則等于其“肩”上的兩個(gè)數(shù)之和，如第六層的第二個(gè)數(shù)5，就等于其“肩”上的兩個(gè)數(shù)1、4的和.

這個(gè)三角我們叫楊輝三角，它出現(xiàn)在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝編著的《詳解九章算法》一書(shū)中，楊輝指出這個(gè)方法出于《釋鎖算術(shù)》.在歐洲，這個(gè)三角被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家帕斯卡首先發(fā)現(xiàn)的，被稱(chēng)為帕斯卡三角，

下面讓我們?cè)诮鉀Q一些走最短路線的問(wèn)題中找一找楊輝三角.

據(jù)說(shuō)楊輝研究數(shù)學(xué)達(dá)到了如醉如癡的境界，他也非常喜歡和友人們一起研究數(shù)學(xué)問(wèn)題.一天，他的一位友人甲邀請(qǐng)他一起討論數(shù)學(xué)問(wèn)題.楊輝有一張地圖，如圖2，地圖上標(biāo)明了從楊輝家（A）去友人甲家（B）的每條路線.楊輝發(fā)現(xiàn)地圖上的好幾條到友人甲家的路線都是最短的，而且都不會(huì)重復(fù).同學(xué)們知道一共有幾條最短路線嗎？

想要搞清楚路線，先得確定從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短路線到底是多長(zhǎng)，然后確定走的方向，為了保證不走“回頭路”，只能向右或向下走.

有些同學(xué)很快找出了從A點(diǎn)到B點(diǎn)的

通過(guò)驗(yàn)證，我們確信這六條路線都是從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短路線.如果按照上述方法找，它的缺點(diǎn)是不能保證找出所有的最短路線.當(dāng)然如果圖形更復(fù)雜些，做到不重復(fù)也是很困難的.

那么，解決這樣的問(wèn)題是否有規(guī)律可循？讓我們一起往下看.

1.看C點(diǎn)：從A點(diǎn)到C點(diǎn)，只有一條最短路線，同樣道理，從A點(diǎn)到D點(diǎn)、從A點(diǎn)到E點(diǎn)、從A點(diǎn)到H點(diǎn)也都只有一條最短路線.

我們把數(shù)字“1”分別標(biāo)在C、D、E、H這四個(gè)點(diǎn)上，如圖2.，的三條最短路線.

現(xiàn)在再讓我們來(lái)觀察圖2.如果我們把圖2加上對(duì)角線，再把它旋轉(zhuǎn)一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它是楊輝三角的一部分，如圖3.

這樣，我們就可以運(yùn)用楊輝三角來(lái)解決這種問(wèn)題，既簡(jiǎn)單又準(zhǔn)確.讓我們?cè)賮?lái)試一試，

圖4是一個(gè)由18個(gè)相同的小等腰直角三角形拼成的平行四邊形，有一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿圖上的線段爬行到曰點(diǎn)，請(qǐng)求出這樣爬行的最短路線有幾條，

同學(xué)們能根據(jù)楊輝三角解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

我們只要對(duì)應(yīng)地寫(xiě)出楊輝三角，就知道爬行的最短路線有20條.