幫你學習垂直

陳德前

垂直是兩條直線相交中的特殊情況，是中考中經(jīng)常涉及的知識，同學們一定要學好它.

一、要抓住“三垂”的基本特征

“三垂”是指垂直、垂線、垂足，雖然它們都有一個“垂”字，都與直角有關(guān)，卻有著很大的區(qū)別：（1）垂直，垂直是指兩條直線的一種位置關(guān)系，即兩條直線相交成直角.（2）垂線，垂線是一個名稱，是指相交成直角的兩條直線中的任意一條直線，且對此直線而言，少了另一條，垂線也就不復存在了.（3）垂足，垂足也是一個名稱，是指相交成直角的兩條直線的交點，它是一個點，如圖1，AB和CD相交于點0.且有∠AOD=90°，那么AB與CD的位置關(guān)系是互相垂直，用符號AB⊥CD來表示.AB是CD的垂線，CD也是AB的垂線，D是垂足，

在理解垂直這個概念時，還必須注意以下幾點：（1）不能認為只有水平線和鉛垂線才互相垂直.兩條直線是否互相垂直是由兩條直線的夾角是不是直角決定的，而與兩條直線的位置無關(guān).（2）兩條直線相交成直角，這兩條直線就互相垂直；反之，兩條直線互相垂直，這兩條直線就相交成直角.這里要注意后者是兩條直線互相垂直的性質(zhì)，不能作為直角的定義.（3）互相垂直的概念可以擴大到線段或射線上.兩條線段或射線所在的直線相交成直角，兩條線段或射線就互相垂直.

例1如圖2，∠1=53°，∠2=37°，CD與CE的位置關(guān)系是

.

解析：先求出∠DCE的大小，再判定CD與CE的位置關(guān)系.因為∠DCE=180°-∠1-∠2 =180°-53°-37°=90°，所以CD⊥CE.

點評：要判定兩條直線是否垂直，就是要判定兩條直線的夾角是不是90°.這是一個將形的判定轉(zhuǎn)化為數(shù)的判定的過程，是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn).

二、要熟練掌握垂線的兩種畫法

1.利用方格紙來畫.利用方格紙可以畫出互相垂直的線段.

2.利用三角板來畫，利用三角板過一點畫已知直線的垂線的一般步驟是：一靠（將三角板的直角邊緊靠已知直線），二移（沿直線移動三角板，使直角頂點與已知點重合或使另一條直角邊經(jīng)過已知點），三畫（沿另一條直角邊作一條直線）.

三、要深刻領(lǐng)會垂線的性質(zhì)

垂線具有如下性質(zhì)：（1）互相垂直的兩條直線形成的四個角都是直角.（2）在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.（3）直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.

例2如圖3，在鐵路a旁有一城鎮(zhèn)A.現(xiàn)在要建一火車站，為使城鎮(zhèn)的人來往方便（距離最近），請你在鐵路a上選一點建火車站，

解析：要使點到直線的距離最短，因為垂線段最短，所以考慮作垂線段.過點A向鐵路a作垂線，垂足為B，則點占即為建火車站的地方，如圖3所示，

點評：垂線與垂線段都具有垂直于已知直線的共同特征，但垂線是一條直線，不能度量長度，而垂線段是一條線段，可以度量長度，它是垂線的一部分.本題應用“垂線段最短”的性質(zhì)來進行決策，充分說明了數(shù)學的實用性.

四、要正確區(qū)分兩個易混淆的概念

垂線段與點到直線的距離是兩個極易混淆的概念，要注意它們的聯(lián)系與區(qū)別.從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離.必須注意：點到直線的距離是指垂線段的長度，即這點與垂足之間的線段長，它是一個數(shù)量，下列說法都是錯誤的：（1）垂線段是點到直線的距離；（2）畫出點P到直線l的距離.

五、要會應用垂直的知識解決問題

例3下列說法中，正確的是（）.

A.-條直線的垂線只有一條

B.垂線段AO就是點A到直線PO的距離

C.兩條直線相交，則交點叫作垂足

D.在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

解析：一條直線的垂線有無數(shù)條，A不正確.垂線段AO是圖形，點A到直線PO的距離是數(shù)量，兩者是不同的，B不正確.正確的說法是垂線段AO的長度就是點A到直線PO的距離.兩條直線相交，不一定垂直，所以交點不一定是垂足，C不正確.D是正確的，因此選D.

點譯：在應用垂直的有關(guān)知識解決問題時，一定要弄清概念，這樣才能判斷準確.

練一練

1.如圖4，AB⊥CD，垂足為D，EF為過點0的一條直線，則∠1與∠2的關(guān)系一定成立的是（）.

A.相等

B.互余

C.互補

D.互為對頂角

2.如圖5，O為直線AB上一點，OD平分∠AOC.OE平分∠BOC.試問OD與OE有何特殊的位置關(guān)系，并說明你的理由.

參考答案：1.B 2.垂直，理由略.